锐角三角函数的常见题型及解题技巧

1、2/32/3锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。一、 化简或求值例 1 (1)已知 tan-2cot = l,且&是锐角，求 Jtan z + coF -2 的值。(2) 化简(sin + bcos) +(COSa-7sin6r) Q分析(1)由已知可以求出tan的值，化简-tan2 cz + cot2 -2可用1 = tan a cot a ； (2)先把平方展开，再利用sin2 + cos2 a = 1化简。解(1)由 tan-2cot = ltan2-2 = tan ,解关于t

2、ana 的方程得tan = 2 或 tan = -1。乂a 是锐角,/. tan = 2 o /. tan2 a+cot2 a-2 =Vtan -2tan COta+ cot = tan-cot) = Itana-COta Iil tan = 2 ,、 I 3得COta = - , tan2 z + cot2 -2 = tan-cotz = 2-一 =二。2 2(2) (6ZSinCr+ /?COSay +(COSa-?Sina)=a2 Siir a + 2ab Sin a COS a + Ir cos2 a + Cr cos -2b COSa Sina+Z? sin2 a = a2 (sin

3、2 cr +cos2 ) + b2 (sin2 +cos2 a) = a2 +b2。说明在化简或求值问题中，经常用到T叩勺代换，即sin2 + cos2 = l,tan a co,a = 5。二.已知三角函数值，求角二.已知三角函数值，求角例2在HABC中，若COSA-I +迺一 SinB 2丿2= O(ZA均为锐角),求ZC的度数。分析 儿个非负数的和为0,则这儿个数均为0。山此可得COSA和SinB的值，进而求岀ZztZB的值，然后就可求出ZC的值。COS A -= 0,COS A -= 0,2T-SinB=0COSA =解得/5 ,5AC5COS a =AB 5.5-l5 底 I.SIn

4、a-COSa _55_ 5 _ 1Sin a + COS a+35 355说明构造直角三角形解题，特别是解儿何问题是应用比较广泛的一种方 法。四、比较大小例4若太阳光线与地面成37的角，一颗树的影长10米，取3 = 1.7,则 树高h的范围是（）A 35 B 510 C 1015分析V/? = IOtan37,利用正切函数的性质估算出tan37：的范围即可。解 T 30 37 45 , : tan 30 tan 37 tan 45 o 而 ? = 10 tan 37 ,: 10ta30 IO tan37 IO tan45 ,: 10ta30 IO tan37 IO tan45 ,10-710l

5、,即510o Bo3说明掌握三角函数函数值随自变量的变化的性质，正确估算是解此题的关键。五、求齐次式的值例5已知tan = 2, （1）求皿二沁L的值；2cos + 5sin（2）求 2sin2 - sin cos+ cos2 a 的值。分析（1）可以仿造例3构造直角三角形求解。亦可考虑Sin 、COS戊及Um 的关系，在Sina-3CoSa的分子、分母同时除以COS& ,转化为Iana的代数式, 2cos + 5sin然后求值；（2） 2sin2 -sincoscos2 a 的分母是 1,利用 sin2 7 +cos2 = 1,仿造（1）求解。解（1） T tan = 2 ,Sina-3cos. Sina-3cos _ COsa _ tan-3 _ 2-3 _12cos + 5sin2cos + 5Sina2 + 5 ta no 2 + 5312COSa（2） Ttana = 2 ,c .乍 .= 2sin2 -sincos+ cos2 a 2tan2 r-tan + l 2sms SIn a COS a + cos* a =；=；sir + cos atar + l