平面标量场精品课件

1、平面标量场第1页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三第一章 复变函数1、复数与复数运算2、复变函数3、导数4、解析函数5、平面标量场第2页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三1.5 平面标量场1.5.1 用解析函数表述平面场 物理和工程技术上经常要研究各种各样的场，例如电磁场，声场，温度场。如果场与时间无关，则称为恒定场，例如静电场。 如果所研究的场在空间某个方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该平面上研究它，这样的场称为平面场。 许多不同的稳定平面物理场，都可以用一个复变函数来表示，在大量的实际问题中，人们遇到的不是一般任意的复变函数，而是构建一个能表示平面

2、场的解析函数，这就是解析函数的物理意义。这个解析函数就是给定平面场的复势函数。第3页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三1.5.2 静电场的复势 1. 静电场的复势 考虑定义在xy平面的区域D内的平面静电场，其场强设为 若再假设平面场内没有带电物体，那么该场也是一个无源无旋平面向量场. 我们可以构建它的复势. 设其电势为 ，则由电磁学知道电场是电势梯度的负值。 由于该区域没有电荷，则由高斯定理知道，场强满足即为（1）（2）第4页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三 将(1)代入（2）即得到故势函数 是二维调和函数因此可以将 看成是在区域D内的解析函数 的实部

3、或虚部。设电势为解析函数的实部，则由C-R方程可以求出对应的虚部，从而确定此解析函数，这样得到的解析函数称为静电场的复电势（简称复势）。 第5页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三由解析函数性质可知是区域D内正交的两组曲线族，其中 是静电场的等势线，而与等势线正交，因而是电场的电力线。因此，只要知道了复电势，就很容易作出等势线和电力线。第6页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三 是电力线族，同时 的值本身也具有物理意义。在平面内取两定点A 和B ，任意曲线连接A和B，计算通过曲线AB的电通量易得又故于是通量函数第7页，共25页，2022年，5月20日，7点3

4、2分，星期三同理，在液体的无旋流动中，速度矢量可以表示为某个标量的梯度，这个标量叫作速度势。借助于速度势把平面无旋液流问题标为平面标量场问题。因此，某区域上解析函数的实部或虚部总可以必是该平面上的速度势。此解析函数就叫该平面无旋液流的复势。设 为速度势，则曲线族 就是流线族， 是流量函数，它在两点间取值差就是两点间穿过的流量。同样，在物体的稳定温度分布中，有所谓的平面温度场。也可以用复势来表示。设 是温度分布，则曲线族 就是热流线族， 是热流量函数。通常借用平面温度场的词汇把解析函数实部和虚部为常数的曲线族叫做等温网。第8页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三1.6.1 多值

5、函数的基本概念1. 单值分支以根式函数为例可以给出两个不同的值*1.6 多值函数称为多值函数的两个单值分支。*实数函数的单值分支互相独立， 而多值函数的单值分支不互相独立。第9页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三从某点Z0出发，沿闭合路径 绕行一周回到Z0，辐角增加 ， 对应的的辐角增加 ，从而进入另一个分支。如果绕曲线 一周，其值不变。第10页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三2. 支点 从前面分析可以看成，Z0具有这样的特点：当Z绕该点一周回到原处时，对应的函数值不复原。 一般地说，对于多值函数 ，若Z绕某点一周，函数值 不复原，而在该点各单值分支函

6、数相同，则称这点为多值函数的支点。 若当Z绕支点n周，函数值复原，便称该点为多值函数的n1阶支点。故Z=0是函数 的一阶支点。第11页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三除了Z=0外， 也是 的一阶支点。只要令 ，则有 ，当t绕 一周回到原处时， 的值不还原，绕两周后还原，故 ，即 为 的一阶支点。问： 有几阶支点？ 的支点是多少？第12页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三小结复数的运算，要熟练指数和三角形式的运算复变函数可导的充要条件 函数解析的充要条件 会熟练运用柯西黎曼方程 了解解析函数描述平面标量场第13页，共25页，2022年，5月20日，7点3

7、2分，星期三第二章 复变函数的积分复变函数的积分柯西定理不定积分柯西公式第14页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三2.1 复变函数的积分图2.1第15页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三2.1.1复变函数的积分 设函数 在给定的光滑或逐段光滑曲线 上有定义，且 是以a为起点，b为终点的一条有向曲线，如图2.1所示把 曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段上任意取一点 ，并作和 则当n无限增大，且每一小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，而且和每个点的选取无关，那么和的极限值称为函数沿曲线L的积分，记 ，即路积分（复积分）第16页，共25页，

8、2022年，5月20日，7点32分，星期三把 和 都用实部和虚部表示出，则这样，复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线积分，他们分别是路积分的实部和虚部。因而，实变函数线积分的许多性质对路积分也成立。第17页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三 (1)若 沿 可积，且 由 和 连接而成，则 (2) 常数因子 可以提到积分号外，即 (3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即 2.1.2 复积分的性质第18页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 为 的负向曲线(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即

9、 这里 表示弧长的微分，即 第19页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三复积分的计算典型实例 公式 提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分。当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分。 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段。 【解】 直线的方程可写成或第20页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三解：利用 以及有第21页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三第22页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三例2.1.3计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数.解: 的方程可写成所以第23页，共25页，2022年，5月20日，7点32分，星期三例2.1.4计算 的值，其中 为