常微分方程精品课件

1、常微分方程第1页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三10.1 常微分方程的一般概念10.1.1 常微分方程的一般概念10.1.2 微分方程的解第2页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三定义 1凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程， 有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.10.1.1 常微分方程的一般概念第3页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三(1) y= kx, k 为常数；例如，下列方程都是微分方程

2、 (其中 y, q 均为未知函数).(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；(4)(5)(3)第4页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微分方程，通常，n 阶微分方程的一般形式为F(x, y, y, , y(n) = 0，其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y, , y(n)是已知函数，而且一定含有 y(n).方程 (4) - (5) 为二阶微分方程.10.1.2 微分方程的解第5页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星

3、期三定义 2 任何代入微分方程后使其左右两端相等的函数，都叫做该方程的解. 若微分方程的解中含有任意常数C的个数与方程的阶数相同， 且这些任意常数是相互独立的（即不能合并），则称此解为该方程的通解(或一般解). 若再给出若干个条件（称为初始条件），以确定通解中的所有任意常数，所得到的解，称为微分方程满足初始条件的特解.第6页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同， 因此，这个解是方程的通解； 如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，得 C = 0，那

4、么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.第7页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三二阶微分方程的初始条件是即 y(x0) = y0 与 y(x0) = y0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解.通常一阶微分方程的初始条件是第8页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1 验证函数 y = 3e x xe x 是方程y + 2y + y = 0的解.解 求 y = 3e x xe x 的导数，y = - 4e x + xe - x,y = 5e x - xe - x,将 y，y 及 y 代入原方

5、程的左边，(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x = 0，即函数 y = 3e x xe x 满足原方程，得有所以该函数是所给二阶微分方程的解.第9页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三 得 C = 2，故所求特解为 y = 2x2 . 例 2 验证方程 的通解 为 y = Cx2 (C 为任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解.解 由 y = Cx2 得y = 2Cx,易证函数 y = Cx2 满足原方程.又因为该函数含有一个任意常数， 所以 y = Cx2 是一阶微分方程将初始条件 y|x

6、 = 1 = 2 代入通解，第10页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例3. 列车在平直路上以的速度行驶, 获得加速度求制动后列车的运动规律.解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得利用后两式可得因此所求运动规律为即求 s = s (t) .制动时第11页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数 y = y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线. 这就是微分方程的通解

7、与特解的几何意义.第12页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三10.2 可分离变量的微分方程10.2.1 可分离变量的微分方程10.2.2 齐次微分方程第13页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例如：形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程.(1) 分离变量该类微分方程可按照下面方法求解：10.2.1 可分离变量的微分方程(2) 两边积分第14页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三（3） 整理后即可得方程通解.我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上.第15页，共121页

8、，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1 求方程解分离变量，得两边积分，得这就是所求方程的通解第16页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 2 求方程解两边积分，得化简得分离变量，得当y = 0时， 原方程是成立的，综上所述原方程的通解是第17页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三对数的一些运算公式：第18页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三(1)为了简便起见，本章可采用下列不加绝对值的积分：(2)当左边是y的对数时，不定常数通常取lnC .第19页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三求解过

9、程可简化为：两边积分，得整理即得通解：其中 C 为任意常数.分离变量，得例 2 求方程第20页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 3 求方程 dx + 2xydy = y2dx + 2ydy 满足初始条件 y(4) =2 的特解.解将方程整理为分离变量，得两边积分，有化简，得原方程的通解：即第21页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三将初始条件 y(4) =2 代入，得 C = 1.故所求特解为第22页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 4解分离变量得即两边积分，得因此方程的通解为第23页，共121页，2022年，5月2

10、0日，20点33分，星期三作业：P1982P2001（1）（3）（5）（7） 2 (2)(4)第24页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三知识回顾：（1）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶；（2）通解、特解；（3）可分离变量微分方程的求解：分离变量；两边积分；整理即得微分方程的通解。第25页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三形如的方程叫做齐次微分方程 .令代入原方程得解法:10.2.2 齐次微分方程此类方程可通过变换转化为可分离变量的微分方程.第26页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三两边积分, 得积

11、分后再用代替 u,便得原方程的通解.分离变量，得第27页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1 求解微分方程解代入方程得，积分得，代回原变量，即得通解，第28页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三原方程可写成 解 例2 求解方程代入上式，得第29页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三两边积分 得或写成分离变量 得 第30页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 3 求解微分方程解原方程可转化为：第31页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三微分方程的解为第32页，共121页，2022

12、年，5月20日，20点33分，星期三10.3 一阶线性微分方程10.3.0 一阶线性微分方程10.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解10.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解第33页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三形如的方程称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. “线性”是指在方程中含有未知函数y和它的导数的一次项，的项都是关于y、10.3.0 一阶线性微分方程其中q(x)称为自由项。第34页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 0，则称方程 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程. 通常方程

13、称为方程 所对应的线性齐次方程.若 q (x)若 q (x) 0，则方程成为第35页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三一阶线性齐次方程是可分离变量方程.两边积分，得所以，方程的通解公式为分离变量，得10.3.1 一阶线性齐次微分方程的通解第36页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.解所给方程是一阶线性齐次方程，且 p(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解为则一阶线性齐次方程的通解公式为第37页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 2求方程 (y - 2x

14、y) dx + x2dy = 0 的通解.解将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，则由通解公式得该方程的通解第38页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三作业：P2001（2）(4) (6)（8）2（1）（3）(5)第39页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三知识回顾：(1)形如的方程叫做齐次微分方程 .令代入原方程得解法:下面按照分离变量方程来求解。第40页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三（2）形如的方程称为一阶线性微分方程， 其中q(x)称为自由项。称为一阶线性齐次微分方程； 0，则称为一阶线性非齐次微分方程；若

15、q (x)若 q (x) 0，则方程成为(3)一阶线性齐次方程的通解公式为第41页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三对比发现只差自由项不同，10.3.2 一阶线性非齐次微分方程的通解已知一阶线性齐次方程的通解公式为因此猜想将齐次方程通解中的C改为函数u(x),第42页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三第43页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三这就是一阶线性非齐次方程的通解。第44页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定 再通过确定u(x) 而求得方程解的方法，

16、称为常数变易法.函数 u(x)，第45页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1 求方程 2y - y = ex 的通解.解法一 使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程为设所给线性非齐次方程的通解为第46页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三将 y 及 y 代入该方程，得于是，有因此，原方程的通解为第47页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三解法二将所给的方程改写成下列形式：例 1 求方程 2y - y = ex 的通解.第48页，共121页，2022年，5月20日，20点

17、33分，星期三则原方程的通解为第49页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 2 求解初值问题：解将所给的方程改写成下列形式：则第50页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三因此，所给线性非齐次方程的通解为第51页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三将初始条件 y(p) = 1 代入，所以，所求的特解为得 C = p，第52页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三解将所给的方程改写成下列形式：例 3 求方程 的通解.第53页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三因此，所给线性非齐次方程的通解

18、为第54页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三一阶线性非齐次方程的通解为第55页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 4求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.解将原方程改写为则q(y) = 1.第56页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为第57页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三作业：P2021（1）(要求用2种方法求解)（3）(5)2 （2）（4）第58页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三(1)一

19、阶线性非齐次方程的通解：知识回顾：（2）一阶线性非齐次方程的通解：第59页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三10.4 几种可降阶的二阶微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程第60页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三观察微分方程型的微分方程可知该方程右端仅含有自变量x的函数。若令则有同理，可依次求出第61页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例1 解微分方程 解 积分一次得 再积分一次得 第62页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例2 解微分方程 解 原方程整理后得 第63页，共121页，2022

20、年，5月20日，20点33分，星期三这个方程的特点是右端不显含未知函数y，. 的一阶方程如果能求出上述方程的通解 再由方程 可求得原方程的通解型的微分方程可设代入原方程，可得则 第64页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例3 求微分方程 的通解。解 这是不显含 y 的方程，令 则 于是原方程为 第65页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三第66页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例4. 求解解代入方程得分离变量积分得第67页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三利用于是有利用因此所求特解为第68页，共12

21、1页，2022年，5月20日，20点33分，星期三此类方程的特点是不显含 x ，这里的 p是y 的函数，是x 的复合函数。 则 于是原方程化为： 这是以y为自变量, p为未知函数的一阶方程型的微分方程可设 ，第69页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三假设能求出该方程的通解： 即 利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为 第70页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例5 求微分方程 的通解 解 令 代入原方程得分离变量，得 两边积分得 则第71页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三分离变量，得 两边积分得 即得原微分方程的通解：

22、 第72页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三作业：P2051(1)(3)2（2）3 （2）第73页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三(1)知识回顾：（2）型的微分方程;解法：积分n次可设型的微分方程;（3）解法：型的微分方程;解法：可设则第74页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三10.5.1 二阶线性微分方程解的结构10.5二阶线性微分方程10.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程10.5.3 二阶线性常系数非齐次微分方程10.5.0 二阶线性微分方程的基本概念第75页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期

23、三二阶微分方程的如下形式y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项。 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y， 且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项。例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性方程.而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.10.0 二阶线性微分方程的基本概念第76页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三y + p(x)y + q(x)y = f (

24、x) 当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，y + p(x)y + q(x)y = 0即第77页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三定理 1 (1)如果函数 y1 线性齐次方程的解，y = C y1也是该方程的解，证因为 y1 方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以有其中 C是任意常数.则函数证毕！10.5.1 二阶线性微分方程解的结构第78页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三(2)如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，y = y1 + y2也是该方程的

25、解.证因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0和所以有则函数两式相加得的两个解，第79页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，y = C1 y1 + C2 y2也是该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数.则它们的线性组合由上面的定理，我们可以综合得到如下结论：第80页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三定义如果存在n个不全为 0 的常数使在区间 I 上恒成立.则称函数 在区间I上是线性相关的，否则称为线性无关.例如，函数和函数因为不存在两个不全为 0 的常数 k1和

26、k2，使得对所有的x都有是线性无关.第81页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三事实上, 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果不是常数，则它们线性无关.当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关，第82页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三定理 2如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，y = C1 y1 + C2 y2是该方程的通解，由前面结论知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解.又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，

27、故C1 与C2不能合并为一个任意常数，因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.则其中 C1, C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示.第83页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三求二阶线性齐次方程通解的一般步骤为：求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2；则该方程的通解 y=C1 y1 + C2 y2.第84页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三定理 3如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，则

28、线性非齐次方程的通解是证依题意有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，第85页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三将两式相加，得 因此， 是线性非齐次方程的通解。第86页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，得该方程的通解 y=C1 y1 + C2 y2.(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.那么，

29、线性非齐次方程的通解为第87页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三如果二阶线性齐次微分方程为y + py + qy = 0 ，其中 p、 q 均为常数， 则称该方程为二阶线性常系数齐次微分方程.10.5.2 二阶线性常系数齐次微分方程第88页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三y + py + qy = 0 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程具有 y = ex 形式的解，其中 为待定常数.将由于ex 0，因此，只要 满足方程y = ex 就是式的解.代入上式，得第89页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三代数方程

30、2 + p + q = 0，称为微分方程特征方程的根称为特征根.的特征方程；y + py + qy = 0 例如，其特征根是第90页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三特征方程是个一元二次方程，其解有三种可能，因而它的通解为所以 y1 与 y2 线性无关，都是 的解，则函数1 特征方程具有两个不相等的实根 1 与 2；下面根据这三种可能分别讨论齐次微分方程通解.第91页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 2 2 3 = 0, 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x

31、与 y2 = e3x,所以方程的通解为它有两个不等的实根 1 = - 1， 2 = 3,第92页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 2求方程 y - 5y + 6y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 2 5 + 6 = 0, 所以方程的通解为它的特征根 是1 = 2， 2 = 3,第93页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三作业：P2122（1）（2）3（1）第94页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三知识回顾：（1）如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，y = C1 y1;都是该方程的解，其中 C1， C2

32、 是任意常数.则y + p(x)y + q(x)y = f (x) y + p(x)y + q(x)y = 0且如果函数 y1 与 y2 是线性无关，则方程的通解就是y = y1 + y2;y = C1 y1 + C2 y2y = C1 y1 + C2 y2第95页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三y + py + qy = 0（2）二阶线性常系数齐次微分方程：（其中 p、 q 均为常数）.其特征方程是方程的通解为1 特征方程具有两个不相等的实根 1 与 2,第96页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三y + py + qy = 010.5.2 二

33、阶线性常系数齐次微分方程2 特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2，即特解 y1 = ex.其特征方程是第97页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三将 y2 及其一阶导数y2 = ex (u(x) + 2u(x) + 2u(x)，为此，设 y2 = u(x)y1，其中 u(x)为待定函数.y2 = (uex) = exu(x) + u(x)，二阶导数代入方程 y+ py + qy = 0 中，得注意到所以有 2 + p + q = 0及 2 + p = 0.ex 0且是特征方程的重根，第98页，共

34、121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三因此只要 u(x) 满足则 y2 = uex就是为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x，于是得到方程且与 y1 = ex 线性无关的解:因此，式的通解为式的解。第99页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三解该方程的特征方程是该方程有两个线性无关的解：例1因该方程的通解是第100页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三解该方程的特征方程是例2因该方程的通解是第101页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三3 特征方程具有一对共轭复根这时有两个线性无关的特解这是两

35、个复数解，为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 可得第102页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三于是有 由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx均为 式的解，且它们线性无关.因此，这时方程的通解为第103页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 3求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 22 + 2 + 3 = 0，它有共轭复根所以方程的通解为第104页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三例 4求方程 y + 4y = 0 的通解.解所以方程的通解为2 + 4 = 0，该方程的特征方程为它有共轭复根 1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2. 第105页，共121页，2022年，5月20日，20点33分，星期三 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是