弹性力学课件

1、例题第一节 差分公式的推导第二节 应力函数的差分解第三节 应力函数差分解的实例第四节 弹性体的形变势能和外力势能第五节 位移变分方程第六节 位移变分法第五章 用差分法和变分法解平面问题第七节 位移变分法例题 弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法 因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。 5-1 差分公式的推导 对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法，差分法和有限单元法。近似解法 差分法是微分方程的一

2、种数值解法。 它不是去求解函数 ，而是求函数在一些结点上的值 。fxo差分法 差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，导数差分公式的导出：导数差分公式 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别x ，y 轴。网格交点称为结点，h称为步长。应用泰勒级数公式 将 在 点展开，(a)抛物线差分公式-略去式(a)中 以上项，分别用于结点1，3，抛物线差分公式结点3，结点1，抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式， 应用泰勒级数导出

3、差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为 。抛物线差分公式线性差分公式在式(a)中仅取一，二项时，误差量级为 。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：对结点3， 得： 线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。式(d)称为向后差分公式。 例1 稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件： （在 A 中）,(a) （在 上）, (b) （在 上）. (c) 稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在 上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。 现在我们将式(a)，

4、(b)，(c)转化为差分形式。应用图51网格，和抛物线差分公式，（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则 已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已 知，则 (d)由于 所以得 这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。(e)例2 稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m4m ，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a，b的稳定温度值。ab40353025322224222017解出解（度）。思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。2.应用抛物线差分公式(5-

5、2)，试导出3阶导数 的差分公式。 对于单连体，按应力函数 求解时， 应满足:5-2 应力函数的差分解按 求解（3）求出 后，由下式求应力（假设无体力）: 按 求解差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于O点， 差分法求解：相容方程化为： 对每一内结点， 为未知，均应列出式(e)的方程 。2.相容方程(a)的差分表示 对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的 值。 为了求虚结点的 值，需要求出边界点的 ， 值。相容方程3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的 ， ， 值。边界条件 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向（图中为顺时针

6、向），当移动 时， 为正，而 为负，所以外法线的方向余弦为边界条件( f )边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得边界条件式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积分形式。再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边界任一点B，得 通过分部积分从A到B积分，得边界条件(h)由全微分 求边界点的 因为A为定点， ， 和 ， ， ，均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，所以可取 故边界结点的 和导数值，由式(g)，(h)简化为 边界条件式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号;第三式表示从A到B边界上面

7、力对B点的力距， 图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求 和 。边界条件 由式(i)的第三式，可求出边界点的 值; 由式(i)的前两式，可求出边界点 的 ， 值，然后再求出边 界外一行虚结点的 值。边界条件（2）由边界结点的 ， 值，求出边界 外一行虚结点的 值；（1）在边界上选定基点A， 令 ， 然后计算边界上各结点的 ， ， ；求解步骤4.应力函数差分解的步骤（4）求出边界外一行虚结点的 值；（3）对边界内所有结点列式(e)的方程， 联立求各结点的 值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。思考题1，将应力函数看成是覆盖于区域A和边 界s上的一个曲面，则在边界上，各点 的值与从

8、A（基点）到B面力的合力 距有关， 的一阶导数值与A到B的面力 的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与曲面的曲率，扭率有关。53 应力函数差分解的实例问题 此题无函数式解答。应用差分法求解。 正方形深梁,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。1.本题具有对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。取网格如图。 首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的 和其导数值（如书中所示）： AB间y向面力主矢量号， AB间x向面力主矢量， AB间面力对B点力矩,以注意符号为正.5. 求出应力，如AM线上各点应力，并绘 出分布图。4.

9、 求出边界外一行虚结点的 值。3. 对每一内点列差分方程 ，求 出 。2. 由边界点 的导数值，求出边界外一行 虚结点的 值。比较：材料力学解AM上 为直线分布，弹性力学解AM上 为曲线分布， 由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。比较（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性 力学问题的有效方法。（2）差分法简便易行，且总能求出解答。（3）差分法可配合材料力学，结构力学解 法，精确地分析结构的局部应力状态。 差分法优点：差分法评价（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精 度。如 的误差为 ，则应力 的误差为 。 缺点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计 算较麻烦。（2）差分法比较适用于

10、平面问题或二维 问题。思考题:1.试用线性向前或向后差分公式，导出 的 差分方程。a（Z向厚度 ）AyB2FFFxaaa2.用差分法计算 图中A点的应 力分量。54 弹性体的形变势能 外力势能弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。泛函是以函数为自变量（宗量）的一 种函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。应力变分法取应力函数为自变量，并以 余能极小值条件导出变分方程。 本章只介绍位移变分法。位移变分法取位移函数为自变量，并以 势能极小值条件导出变分方程。 弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。

11、当取 时的外力功和能为零，则：(b)外力功和外力势能1.弹性体上的外力功和外力势能外力功：形变势能（2）因为应力和应变均从0增长到 ， 故单位体积上，应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系（1）作用于微小单元上的应力，是邻近 部分物体对它的作用力，可看成是 作用于微小单元上的“外力”。2.应力的功和形变势能（内力势能）线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系（3）对于平面应力问题 或平面应变问题 单位体积上应力所做的功都是 (c) 形变势能（4）假设没有转化为非机械能和动能，则 应力所做的功全部转化为弹性体的 内力势能，又称为形变势能，或应变 能， 存贮于物体内部。 -单位体积的形变势能

12、（形变势能密度）。形变势能（5）整个弹性体的形变势能是 (d)形变势能（6）将物理方程代入，平面应力问题的形 变势能密度 ，可用形变表示为 对于平面应变问题， 将形变势能再将几何方程代入， 可用位移表示为3.形变势能 的性质（1） 是应变或位移的二次泛函， 故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时， 总是正的，即（3） 的大小与受力次序无关。（4） 对应变的导数，等于对应的应力： (g)形变势能的性质4.弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和，(h)1.试证明在线性的应力与应变关系， 2. 试由式(e)导出式(g)。3. 试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)，

13、(e)和(f)相比较。思考题55位移变分方程 在位移变分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移函数 ， 。现在来导出位移变分方程。1.实际平衡状态的位移 ， ，必须满足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的应力边界条件（在 上); 位移边界条件（在上）。实际位移(a) 其中，属于静力平衡条件，属于约束条件。（在 上）。 2.虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分） ， 表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。 虚位移应满足 上的约束边界条件，即虚位移(b) 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种

14、邻近状态。(c)虚位移微分是在同一状态下，研究由于位 置(坐标)改变而引起函数的改 变。其中的自变量为坐标变量x,y； 而因变量为函数，如位移，有 (d) 变分与微分的比较变分与微分变分是在同一点位置上，由于状态改 变而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如 ， ， ，有 变分与微分(e)由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序，如 变分与微分( f )当发生虚位移（位移变分） 时，虚位移上功和能 由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功（外力功的变分）：3.在虚位移上弹性体的功和能 形变势能的

15、变分，即实际应力在虚应变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在,所以作为常力计算，故无 系数。虚位移上功和能 ( j )（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功 ）。所以位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出（2）位移变分方程 将式(g)的 代入上 式，得它表示，在实际平衡状态发生位移的变 分 时，所引起的形变势能的变 分 ，等于外力功的变分 。位移变分方程位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。（3）虚功方

16、程 将式(j)的 代入上 式，得其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分, 如式( g )所示。位移变分方程（4）最小势能原理式(k)可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为证明如下：位移变分方程由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程位移变分方程 这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。最小势能原理：数学表

17、示如图(a)，物理意义如图(b)uu（实际位移）(a)(b)（5）位移变分方程的又一形式 式(l) 中 可化为 又一形式应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。又一形式由在 上，虚位移 ，得 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( l ) ,可得又一形式的位移变分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须（在A中）(v)（在 上）(w)又一形式 由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。5.结论 实际平衡状态的位

18、移必须满足 a. 上的约束(位移)边界条件； b. 上的应力边界条件； c.域A中的平衡微分方程。结论 位移变分方程可以等价地代替静力条 件b,c。 结论 由此得出一种变分解法,即预先使位 移函数满足 上的位移边界条件，再 满足位移变分方程，必然也可以找出 对应于实际平衡状态的位解答。 1.微分和变分各是由什么原因引起的？ 2.试导出式(u)。 3.试比较4.中变分方程 (1)-(5)的不同的 物理解释。 4.试证明二阶变分 。 思考题 位移变分法是取位移为基本未知函数的。 位移函数应预先满足 上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。5-6 位移变分法(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函数是未

19、知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令 1.瑞利-里茨法 其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令 （在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法 所以 已满足了 上的位移边界条件。而 ， 用来反映位移状态的变化，故位移的变分为瑞利-里茨法(d)瑞利-里茨法 位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程将式(d)，( f )代入(e)得因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须:瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于 ，的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。2.伽辽金法 （1

20、）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足 上的位移边界条件， 而且也满足 上的应力边界条件 （用u,v表示）。伽辽金法 将位移的变分 ， （式(d )）代入，同样由于 ， 为完全任意的和独立的变分，得到伽辽金法（2）于是，由5-5中式(u)可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程:伽辽金法 式( j )也是关于 ， 的线性代数方程组，从上式解出 ， ，便得到位移的解答。伽辽金法思考题 试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较。例1 图示矩形板ab，在上边及

21、右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。5-7 位移变分法例题应用瑞利-里茨法 ，设定位移 满足两个约束边界条件 例题 (a)(b)其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程代替（其中 ）：(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0），例题 且其中的 ， 应代入相应的边界方程。将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出 和 ，得位移解答：例题 (d) 对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解。例题 (e)例2本题全部为位移边界条件：本题以y轴为对称轴，所以u应为x的奇函数,v应为x的偶函数。例题 (f)设定位移势函数为

22、 位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边界条件(e)。 因 全部为位移边界条件且均已满足，所以从55 式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。例题 将位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法 给出的结果相同。 因 ，故伽辽金变分方程为 例题 (h)第五章例题例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题例题1设图中的矩形域为 ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。ab40353025322224222017解：对结点a, b列出方程如下：解出例题2用差分法计算图中A和B点的应力分量。FaBxy3aaaA.71（

23、Z向厚度 ）F65 解：为反映对称性，取A为基点。令 边界点的应力函数值： 边界点的导数值： 由上式及 . 求出边界外一行虚结点的 值： 对1点列差分方程：代入各 值，解出 。 再求出应力分量： 例题3 正方形 的板块，厚度 ，受一对集中力F的作用，如图。试 取 ，应用差分法求解该问题的应力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF 解：本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在 y 向外荷载作用下，取 网格结点编号如图所示。 计算各边界结点处的 ， ， 值。 在A点及J点，各取 布置于两侧，以 反映荷载的对称性，按公式（其中 即AB之间面力对B点的

24、力矩，图中以顺 时针方向为正）。 读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上 值的对称性。求出边界上各结点的值，如下图所示。结点A B CDEGH I J 0 0 0 0 F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh0000 计算边界外一行结点的 值。 由 得到 由 得到 对内结点1，2，3，4分别列出下列类型 的方程：0点：对结点1，对结点2，对结点3，对结点4，解出按照应力公式及 ，求得AJ及EI截面上的应力分量： 例题4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。例题 对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为解：平

25、面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：例题 (a)代入，得显然，方括号内将式中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式， 例题 (c) 从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第1，2，3项均大于平面应力情况下的值，而第4项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。例题 例题5 图中表示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？例题 CDEFAB解： 当AB线切开时，AB线上的应力趋于0。而形变势能是正定的， ，当这部应力 时，相应的形变势能也失去。因此，板的总的形变势能减少。例题 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：(b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值