最小二乘估计理论及算法在测量平差中的应用

1、最小二乘估计理论及算法在测量平差中的应用一、最小二乘估计理论及算法从整体上考虑近似函数P3)同所给数据点(土，)(i=0,1,m)误差r = ”气)y (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差r=p(x)y(i=o,i，,m)绝对值的最大值北，即误差向量r = (r,r, r )丁的瀚一曰、口姜缩升信的有”1 0, 1, m的8氾数；二是误差绝对值的和=0 ,即误差向量r的1氾数；三是误差平方和/=0 的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方 法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，乙2因此在曲线拟合中常采用误差平方和/=0 来 度量误差r (i=

2、0, 1,，m)的整 体大小。首先介绍一些基本概念残差设耳是被解释变量的第次样本观测值，是相应的第次样本估计值。将罚与约之间的偏差记作(1)驾富-屁理-如有E(1)称为第次样本观测值的残差。最小二乘准则使全部样本观测值的残差平方和达到最小，即来确定未知参数扃南隔估计量的准则，称为最小二乘准则。最小二乘估计量未知参数爵(如如，时的最小二乘估计量3=&R乱)的计算公式为(2)p = XX)lXY(2)最小二乘估计量的推导设残差平方和卜如礼,己剥泛叫-。=Y-B河-f球十 BxxR=加琴十网盼其中皿|.为与它是”心阶残差列向量。为了得到最小二乘估计量$,我们对上式进行极小化丝=（F P -收理十g炯

3、= axvx氐菖移项后，得正规方程组根据基本假定5.，（*尸存在，用（X时左乘正规方程组两边，得 的最小二乘估计量g式（4）/的无偏估计量随机误差项”的方差/的无偏估计量为1.2 _ 孕 _%（3）（4）（5）（3）（4）（5）称作回归估计的均方误差，而称作回归估计的标准误差。（5）痂的方差Var（j5） = crY%）_1 = cr2C其中，C=（WQ，于是每个方的方差为而M） = *xmH=/t7dH，而京*1是矩阵C = （ X对角线 上对应的第+ 1个元素，扣。（6）方差的估计量方差的估计量为&） = #（* = *（6）则每个周方差的估计量为（7）S气& ） = /0度）3心=& 也

4、m+i，i=Ll,2，k（7）岗标准差的估计量为现肉广F=0,l,2把现肉广F=0,l,2把（8）数据拟合的具体作法是：对给定数据(土 yi) (i=0,1，m),在取定的函 数类中中，求P3)仁中，使误差=JCi) yi (i=0,1,m)的平方和最小，即Em p(x ) - y I =mini _i ii=0= i=0从几何意义上讲，就是寻求与给定点(土 yi)(i=0,1,m)的距离平方和为最 小的曲线y = p(x)(图1)。函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数P(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类中可有不同的选取方法.成的函数类，现求一 P= 2使

5、得I = p成的函数类，现求一 P= 2使得I = p (七) yj=,k-y, i=0T -=minI = (a#-y)2i=0 k=0为a0, 1，an的多元函数，因此上述问题即为求1 = 1 (a0, 1，a 由多元函数求极值的必要条件，得SIdaj=2E j - yt)%=0,k i=0 k=0 (乙 j+k )a ik=0 i=0(3)是关于a0, ai，ak =i=0的线性方程组,j = 0,1,，n用矩阵表示为的极值问题。(10)(11)图1 (二)多项式拟合 假设给定数据点(土 yi)(i=0,1,m)，中为所有次数不超过n(n m)的多项式构i=0 *=0/(9)当拟合函数为

6、多项式时，称为多项式拟合，满足式(9)的Pn (X)称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然i=0.乙ni Li=0i=0.乙ni Li=0iwx2ii=0.艺，.匕 xn+1ii=0a0ai乙n+1 i i=0乙2ni i=0i=0:须nyI 1i=0(12)式(11)或式(12)称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组(12)的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式(12)中解出ak (k=0,1,，n)，从而可得多项式p (x) = lLa xk可以证明，式(13)中的Pn S满足式(1)，即Pn S为所求的拟合多项式。我i称为最小二乘拟合多项

7、式Pn S)的平方误差，记作M2 = W Pn (xi称为最小二乘拟合多项式Pn S)的平方误差，记作M2 = W Pn (xi) - yji=0由式(11)可得们把i=0 由式(11)可得|,|2=潺2乙(xky )(14) TOC o 1-5 h z 2ik i i(14)i=0 k=0i=0多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形一一散点图，确定拟合多项式的次数n；xj (j = 0,1,2n)xjy(j = 0,1,2n) HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 列表计算i=0 和i=0 ；(3)写出正规方程组

8、，求出a0,a1,.an ；写出拟合多项式-弓曾。在实际应用中，nm或nJm；当n=m时所得的拟合多项式就是拉格朗日 或牛顿插值多项式。二、测量平差的主要公式及方法概述本文采用的平差方法主要是间接平差。在间接平差中，它的函数模型为：$=BX-l,随机模型为：“ W ，法方程为：* 一 平差值方程的矩阵形式为:L+V=BX”+d在间接平差中各向量的关系式为：= /+ L-/L= L+ VQn. = Q( 知 J按协因数传播律，可得L、X”、V及相互间的协因数阵：y。 _Q 邓椭W -Q = QQvx = BQ兹 Qu =Qw = BQ w if1 -BQU .gM+QM。“*再计算1”的自协因数

9、阵以及它和L、X”、V间的互协因数阵：h=Q+h二丽=。Q二史侦心/+ H疽叫Qzv =(M + Q此二。=Q，十 Q口十 9h = bnF以上是间接平差协因数阵的解算过程。对于任意控制网，采用间接平差,选择待定点的坐标为参数时,对该网进行最 小二乘法平差计算的步骤为：计算各待定点的近似高程。根据近似高程和已知点高程列出误差方程的系数和常数项，并组成误差 方程。组成法方程后，求解，计算改正数并求得平差值。按照组方程列出的协因数阵所示,分析点位平差值之间的相对精度。三、实例分析矿区开采对矿区地形有着明显的变形影响，为了了解矿区开采对地面的影响, 本文以荷泽某矿的一观测墩开采过程中先后采集的若干个

10、水准监测点数据为依 据,经过平差方法处理后作比较，以监测的区域范围作为特征区域分析该区的地 形沉降变化。1、仪器选择以及检测精度本次监测中所用的还是常规测量仪器，以水准仪为主，沉降基准点点位高程 用GPS测出。顾及本次监测的特点及所需数据精度，监测精度须满足三、四等水 准测量要求，填数据的表格如表1所示,精度要求如表2和表3所示。表1数据表格测 站 编 号后尺下丝前尺下丝方向 及 尺号标尺读数K+黑 1八、红高差中数备注上丝上丝后距前距黑面红面视距差dEd后等吸每登里高差中误基姓蹈长度Ue水准尺现3S底散闭舍策平地山地三等6宅50拄返4鬲】0瞬哉而往返、往6 .蒲表3三四等水准测量精度（b）标

11、民焚壁帆姓长度槎距E迎氟*汁堕基辅较差鬲定较巷秘雄岛J丈退测方法位器三等取而|号部363.Q三假后的前后因瓦DSI8&1.0L5能依前后后的四等单成啪S0513.05.0后后清前片1彻荻前后后2、监测点布设监测点布设在矿区内一组沉降观测墩上，以其中一点作为基准点，采用闭合 环的形式观测，将观测路线形成了两个闭合环，用以监测该校是否有区域性的不 均匀沉降。图2为其沉降基准网点位分布示意图，其中d01是沉降基准点，其余点 为沉降监测工作基准点。图23、监测数据的平差计算进行水准测量前应对水准仪i角进行检验，规范要求不大于15d。测量时按 后-前-前-后的顺序进行观测。由于本次目标是监测区内是否有不

12、均匀沉降，因此 用一个基准点便能保证监测的顺利进行。表4分别是矿区开采前后布点区域沉降 点数据的平差结果。表4矿区开采前后水准点平差结果jh n 点号开采前开采后高程（m）精度（mm）高程（m）精度（mm）d01113.220113.220d02112.1980.091112.1900.99d03112.8980.85112.8850.89d04113.5120.78113.5010.86d05113.2490.99113.2271.12d06113.3180.95113.3061.05d07114.0120.90114.0031.13d08112.5790.90112.5651.01d09113.3140.90113.3081.01D10112.9150.94112.9041.154、沉降分析沉降分析方法沉降监测结果分析一般有图形分析和数据分析两种方法。图形分析能直观的 从图上的曲线变化反映出各测点的沉降状态。但图形分析必须以数据为基础，将 采集的数据经过平差之后得到了最可靠的值,对其进行分析，才能真实的反映测 点的变化情况。沉降监测数据计算与分析步骤检查观测记录无误后才能进行平差计算,将上次测量与本次测量结果相减， 观测数据变化的幅度。假设G50是稳定的一