对数函数及其性质运算 省赛获奖-精讲版课件

1、对数函数（2）高一数学多媒体课堂xyo重点归纳 1、对数函数 y = log a x ( a0 且 a 1 ) 是指数函数 y = a x ( a0 且 a 1 ) 的反函数。2、对数函数的图象与性质：函数y = log a x ( a0 且 a1 )底数a 10 a 1图象定义域( 0 , + )值域R定点( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0值分布当 x1 时，y0当 0 x 1 时， y0当 x1 时，y0当 0 x1 时，y0单调性在 ( 0 , + ) 上是增函数在( 0 , + )上是减函数趋势底数越大，图象越靠近 x 轴底数越小，图象越靠近 x 轴1xyo1xyo【互

2、为反函数的两个函数图像关于直线 yx 对称】yx0yxyxyx0y 2xy ( ) xylog2x y= log x 1 2 3 4 5 6 7 88 76543218 76543211 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-3 -2 -1-1-2-3-1-2-3对数函数 (a 0，且 a 1 )与指数函数 (a 0，且 a 1)互为反函数yx0(1,0)y=1分析一：借助对数函数图象进行比较比较 与 的大小y= log 0.1x y= log 0.2x 3分析二：用换底公式学点二 比较大小比较大小：（1） ， ；（2） , ;（3） , .【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.解

3、:当a1时,函数y=log ax在(0,+)上是增函数,于是log a5.1log a5.9; 当0a1时,函数y=log ax在(0,+)上是减函数,于是log a5.1log a5.9. loga5.1 , loga5.9 ( a0 , a1 )分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:作函数 y = log 3 x 和 y = log 4 x 的图象引入中间量 log 5 7（或，log 4 6)，由函数单调性 log 5 6 log 4 5 得到 log 57log 47， log 5 6 0且log x0

4、即 x1函数y=的定义域是x|001-x01-x1即-1x1且x0函数y= log（1-x）（1+x） 的定义域是x|-1x1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.-4,+).R.y|y0, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.求值域：

5、（1）y=log2(x2-4x+6); （2） .(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又y=log2x在(0,+)上是增函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是1,+).(2) -x2+2x+2=-(x-1)2+33, 0或 . 函数的值域是 , 指数、对数函数二次函数化归已知函数y=f(x),x,y满足关系式lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)求函数y=f(x)的表达式，定义域及值域.定义域为（0,3）表达式为：求表达式例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x0 时, f(x)=log3x,求f(x). 解：当x=0时,f(0) = 0;当 x0 时,x

6、0,又f(x) 为奇函数, f(x)=f(x)=log3(x).例3.求函数 y = log 2 ( 1x 2 ) 的值域,单调区间.解: 1x20 且1x21即 0 1x21 y 0故 函数的值域为 (,0 ).此函数的定义域为 (1 , 1 ), 且 y = log 2 t 在(0,+ )上是增函数.又t=1x2 在区间(1,0上单调递增在区间0,1)上单调递减. 故此函数的单调递增区间为 (1,0 单调递减区间为 0 ,1 )(-2,1)依据：复合函数的单调性的判定方法.注意：要优先考虑函数的定义域函数y=logaf(x)的单调性：1a0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域

7、的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则当a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减.当0a0,a1), 当x3,9时， 函数的最大值比最小值大1,则a=_例3:定义域为A，求函数的最值。已知集合 函数已知x满足不等式-3 , 求函数f(x)= 的最大值和最小值.- 3 ，即 x8, log2x3,f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x- ）2 - ,当log2x= ,即x=2 时，f(x)有最小值- .又当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,f(x)min= - ,f(x)max=2.21-例1:四、综合应

8、用：一.函数奇偶性的判断偶函数奇函数奇函数是R上的减函数奇学点六 求变量范围已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切xR,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值， a0 =4-4a0，（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+).当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需 a0 =4-4a0综上所述，0

9、 a1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立，当a1时，因为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以1a2.当0a1,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a0解得f(x)的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)= = = = -f(x),f(x)是奇函数.（2）证明:设x1,x2(1,+)，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-

10、10,u(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0,y=log u在(0,+)上是减函数,log u(x1)log u(x2),即log log ,f(x1)1)（1）求函数f(x)的定义域；（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来;如果不存在，请说明理由.（1）由 0 x - 10 p - x0当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1).（2）因为f(x)=所以当 1,即1p3时，f(x)无最大值和最小值；当1 3,x= 时，f(x)取得最大值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值例.单调性，并证明。a=1递增奇函数（-1，1）课堂小结对 数 函 数新教材1. 对数函数的概念，对数函数与指数函数是互为反函数；2. 对数函数的图象、性质，注意对数函数与指数函数之间的区别和联系；3.函数值变化规律4.图像变化规律例3、设 0 x1，a0 且 a1，试比较 | log a ( 1x ) | 与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。解： | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |