无穷级数知识点

1、无穷级数级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：气=lim、七存在，称级数收敛。n T8 ,k =1若任意项级数u收敛，u |发散，则称u条件收敛，若 u |收敛，则称级数工u nnnnnn = 1n = 1n =1n = 1n =1绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。.=s,工 v =bn=s,工 v =bn = 1vXn=1 nJ3.若有两个级数 u和 v , u u仲X n Jn u仲X n Jn=1则 （u 土v ） = Sb， n=1u收敛，v发散，则（u + v）发散。nnn n=1= 1=1若二者都发散，则 （un + vn）不确定， 如 1, （一1）发散，而（1一1）

2、=0收敛。n=1k=1 k=1k=1三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数:a）等比级数：芝arn =匚收敛 1c）对数级数:b) P级数:c）对数级数:b) P级数:1n ln p nn=2收敛，p 1发散，p 0) an (a 1) n! nn 由慢到快连续型ln x xa(a 0) ax(a 1) xx由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 u1 1,发（实际上导致了 lim日 莉）n.s Unr+8 nnl = 1,单独讨论（当日为连乘时）n TOC o 1-5 h z l1 1，收、柯西根值法lim皿 =1 1,发（当r为某n次方时） n 1 = 1,单独讨论3.比阶

3、法代数式u v nu收敛nu收敛，u发散n3.比阶法代数式n nnnnnn=1n=1n=1n=1极限式lim un = A，其中:n T3 vnu和 v都是正项级数。n极限式lim un = A，其中:n T3 vnu和 v都是正项级数。n=1n =1是v的高阶无穷小Tu是vn的同阶无穷小T u的高阶无穷小vvv nv收敛nu收敛，u发散nv发散。nnnnnn =1n=1n=1n=1=kv n u和v敛散性相同。n = 1n = 1vu nu收敛nv收敛，v发散nu发散。nnnnnn = 1n = 1n = 1n = 1力 1 i n +1 ；= lnn ux n n -1n=21 i n +

4、11=；=ln=x：n n -1 vn2，3n 21 哉f 1 云/1 r 2 1 Jndx n 0 u =J ndx J n. xdx =_X ，0 1 + x2n 0 1 + x203 3n=1n 2也可选用基准级数E1就可知原级3n=1 n 28、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）limunT8 n 这是一个必要条件，如果不满足，则 （-1）nun必发散， 是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。=0”=0 u2 u 1 n （-1）nu 收敛。 若只有不满足，则不一定收敛还任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。任意项

5、级数判敛的两个重要技巧:(a )微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。(b)k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，9.幕级数党an3f)nn=01.阿贝尔(Abel)定理如果级数Y axn当x = x f x。0,因为x =0 n* ax 2 = 0显然收敛点收敛，则级数在圆 n0 I 00n/n=0n=1域|x| |气|外发散。由阿n=0贝尔(Abel)定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级 数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x = x0 (x0。0)外，该定理并没 有完全保证圆上每一点的敛散性，正

6、确理解阿贝尔定理是学好幕级数的关键。如推论：如果Ya*不是仅在x = 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确 n=0定的正数A存在，使得：当|x|v R时，幕级数绝对收敛；当|x| R时，幕级数发散；当x = R与x = -R时，幕级数可能收敛，也可能发散，我们称R为若。产的收敛半径。n=110 .幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知 # a (已知 # a (x 一 x )n，n=0若 p = limnT8an+an或p = lim邑；则根据比值判敛法有: nT8limnT8limnT8an+1anx x = p x x 1收敛 n lx x = R =lim收敛。000 pn

7、* an+1收敛半径R :a收敛半径R :anan+11 =limp nsR = +8n全平面收敛，R = 0 n只有一个收敛点x = 0,p 0p=0p = +8收敛区间收敛区间(x0 R, x0 + R):级数在 |x - xj,(1 x)2n =1 1 1e = = fv0 n!1 (n +1)!X 1) 挡=ln(1 x)n=(1 =(+1 二(n +1)!n=1e1 =、，n!n=0n=1幕级数求和方法函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装数项级数求和方法构造辅助幕级数法。付立叶级数1.周期函数展开成付里叶级数. f (x)为在

8、/, l上周期为21的周期函数，则f ( x)=与 + (a2 jn=f ( x)=与 + (a2 jn=1n冗 n兀、cos-x + b sm-x),=l Jl f (x)sin m xdx.特别地，当l =兀时f ( x)f ( x) = a0 + (a2n=1cosnx + b sinnx) 其中=1兀.1兀f (x)sin nxdx兀兀f ( x) cos nxdx冗.当f (x)是偶函数a = | ja = | j1 f (x)cos dxa = in f (x)cos nxdxn 兀o=-jl f (x )sin 四 dxlol2=一 j兀 f (x )sin nxdxf (X)

9、= 1 s 乙 cos 维2 o n ln=1l =兀 n f (x) = a +、a cosnx2o nn=1当f (X)是奇函数f (x) = b sin 阳 nln=1l =k n f (x)=工b sinnxn = 12 .非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f (x)只是定义在区间0, l或0, 一，两种区间可以令t = -x相互转换， l为了利用付里叶级数展开，必须将f (x)拓展，其方式有两种，即：(1)偶拓展 令F(x) = j f0 - x -l，使F(x)成为-l, l上的周期偶函数，展开后取f (-x)-l x 00 x l上的函数值即为f (x )的付里叶展开。(2)奇拓展 令F(x) = j f0 x l，使F(x)成为-l, l上的周期奇函数，展开后f (-x)-l x 0取0 x l上的函数值即为f (x)的付里叶展开。狄利克雷收敛定理设函数f (x)在-l, l上