小学数和代数问题研究市公开课获奖课件

1、小学“代数初步”问题研究姚安县长寿小学 於仕萍第1页第1页一、小学代数知识内容及课程原则要求二、小学数学代数部分教材编排特点分析。 三 、小学数学代数知识教学内容分析四、 代数知识教学迷惑。第2页第2页一、小学代数知识内容及课程原则要求：1.小学代数初步知识内容有：式与方程： 用字母表示数： 用字母表示运算定律，表示计算公式，表示数量关系 简易方程： 方程，方程解，解方程比和百分比 意义和性质，求比值，化简比，百分比尺，正反百分比，解百分比处理问题 第3页第3页2.课标对代数初步知识要求 第一学段：没有提出详细要求第二学段：明确提出要求 式与方程 要求：1在详细情境中能用字母表示数。2结合简朴

2、实际情境，理解等量关系，并能用字母表示。3. 能用方程表示简朴情境中档量关系（如3x+25，2x-x3） 理解方程作用。4理解等式性质，能用等式性质解简朴方程。第4页第4页比和百分比要求1在实际情境中理解比及按百分比分派含义， 并能处理简朴问题。2通过详细情境，结识成正百分比量和成反百分比量。3会依据给出有正百分比关系数据在方格纸上画图， 并会依据其 中一个量值预计另一个量值。4能找出生活中成正百分比和成反百分比关系量实例， 并进行交流。第5页第5页课程原则对代数初步知识要求改变 数与代数改变 第一学段: 在内容结构上没有改变。没有出当代数初步知识详细内容 第二学段：增长“结合简朴实际情境，理

3、解等量关系，并能用字母表示”。 调整内容： 1. 将“理解等式性质”，改为“理解等式性质” 2. 将“会用等式性质解简朴方程(如3x+25，2x-x3)”， 改为“能解简朴方程(如3x+25，2x-x3)”。 3.使一些目的表述愈加准确和完整。比如将“会用方程表示 简朴情境中档量关系”，改为“能用方程表示简朴情境中档量关系， 理解方程作用”。 第6页第6页原课标： “符号感”主要表现在：能从详细情境中抽象出数量关系和改变规律，并用符号来表示；理解符号所代表数量关系和改变规律；会进行符号间转换；能选择适当程序和办法处理用符号所表示问题。”修改稿： “符号意识”主要是指能够理解并且利用符号表示数、

4、数量关系和改变规律；知道使用符号能够进行普通性运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号使用是数学表示和进行数学思考主要形式。 “意识”有两个意思：第一，用符号能够进行运算，能够进行推理；第二，用符号进行运算和推理得到结果含有普通性。 第7页第7页二、小学数学代数初步知识 教材编排特点分析人教版小学数学代数部分教材编排分三个阶段 一、前期渗入、孕伏阶段 ( 14 年级 ) 二、集中生发、形成、发展、应用阶段（5上）三、后期拓展、应用阶段（5下6下）第8页第8页一、前期渗入、孕伏阶段 ( 14 年级 )一上教材第70页填未知加数是结合10加减法安排。教材第70页上插图：盒子里能放10枝圆珠笔，已

5、经放了7枝，还要放几枝才干装满。让学生明确图意列出算式：7+（ ）=10，明白括号表示一个数。初步孕伏方程思想。第9页第9页一年下册：体会加法、减法之间关系同时，初步孕伏方程思想。第10页第10页重点是让学生明确符合要求数有多个，即答案多样性，（ ）不是某个特定数，为以后学习代数知识打下了基础。第11页第11页二年级下册89页：这是在学生学习了表内乘法以后第一次出现填最值练习，为以后学习用竖式计算除法作些准备。它采用变式让学生灵活应用乘法口诀寻找答案，使学生明确在括号里只能填一个符合题意最大整数，同时渗入一点“最值”思想。第12页第12页二下教材第22页 练习四思考题：这是第一次出现用或表示加

6、数。初步渗入符感。 第13页第13页二下册：这题是用乘法口诀求积、求商变式练习。通过这个练习，首先提升学生应用口诀进行计算纯熟程度，另首先孕伏方程思想。如，4=36，式中“”就是要求未知数，将它用一个字母代替，就变成了一个方程，使学生详细地、早期地感受方程思 想。第14页第14页 三上教材：是培养学生初步符号感。 第15页第15页 三上教材：用 表示横、竖式中数，培养学生初步符号感。 第16页第16页三年级上册：53页练习十二第三题这样题型是第二次出现，这种练习有助于学生掌握除法试商办法。同时渗入一点“最值”想。第17页第17页三年级下册：这道题目是比较抽象等量代换练习，事实上是二元、三元一次

7、方程组一个直观表示法，为以后学习简朴代数知识做准备。第18页第18页四下教材第三单元用字母表示加法乘法五大运算定律：加法互换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法互换律:axb=bxa乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)乘法分派律:(a+b)xc=axc+bxc 初次用字母表示定律，引导学生体会用字母表示定律比较简练，能够帮助记忆，为以后进一步学习用字母表示数打下知识基础。第19页第19页从上面解读中我们不难发觉，除了四年级下册出现用字母表示定律外，其它1-3年级都是用（ ）、 等表示数，都是零碎在练习中穿插进行，没有系统教学，这称之为渗入、孕伏阶段。第20页第

8、20页二、集中生发、形成、发展、应用阶段 5年级上册教材第四单元简易方程小学阶段正式教学代数初步知识 本单元内容分为两节：第一节主要内容：用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系 第二节主要内容是方程意义，等式基本性质和解简易方程，以及列方程处理一些比较简朴实际问题。第21页第21页第一节：用字母表示数共安排了4个例题 ：例1用字母表示数例2：用字母表示运算定律；例3：用字母表示计算公式；例4：用字母表示数量关系； 第二节内容安培分为三个层次， 先结识方程意义，等式性质1，性质2； 再学习解方程，包括方程解，设置4个例题； 例1：解形如xa=b方程 ； 例2：解形如ax=b或xa=b ；

9、 例3：列方程解加减计算问题 ； 例4：列方程解乘除计算问题解方程。第22页第22页最后学习稍复杂方程例1： 解方程axb=c及其应用 例2：解方程axbcd及其应用 例3： 解方程axbxc 及其应用 第23页第23页教材这样安排，在小学数学知识结构中地位和作用：一、是有助于培养学生抽象概括能力，发展学生思维灵活性。 从详细事物数抽象出字母表示可变，抽象数是结识上一个奔腾用字母表示数到列方程处理问题又是数学思想办法结识上一次奔腾 二、是有助于巩固和加深理解所学算术知识 三、是有助于加强中小学数学衔接。 引入等式基本性质或方程同解原理，然后 重新学习依据等式基本性质或方程同解原 理解方程，有助

10、于加强中小学数学教学衔接。第24页第24页三、后期拓展、应用阶段（5下6下） .五下教材用字母表示长方体正方体体积计算V=abhVaaa=a3Vsh 在学习用字母表示数基础上，引导学生自觉用字母表示计算公式，是对新知识高度概括，也是用字母表示数知识应用。第25页第25页六上教材用字母表示圆周长面积计算公式：c= d 或 c=2rS=r2 引导学生自觉用字母表示计算公式，是对新知识高度概括，也是用字母表示数知识应用 用方程处理分数除法问题，用方程解鸡兔同笼问题，是在学生已经学习了列方程处理实际问题以及利用分数乘法处理一些实际问题基础上进行教学，是方程知识拓展应用 。第26页第26页 用字母表示正

11、百分比意义，是对新知识高度概括，也是用字母表示数知识应用 。第27页第27页用字母表示反百分比意义用字母表示数知识应用。第28页第28页第29页第29页第30页第30页 像解百分比，用方程求实际距离，百分比应用题等利用转化思想将含有未知数百分比式转化为方程，利用解方程办法解题。 利用正反百分比关系解答比较简易应用题。这些其实就是方程处理问题拓展应用。第31页第31页三、小学代数知识初步教学内容分析一、五年级上册第四单元简易方程教学分析：教学目的： 1、初步结识用字母表示数意义和作用，能够用字母表示学过运算定律和计算公式，能够在详细情境中用字母表示常见数量关系。初步学会依据字母所取值，求含有字母

12、式子值。 2、初步理解方程意义，初步理解等式基本性质，能用等式性质解简易方程。 3、感受数学与现实生活联系，初步学会列方程处理一些简朴实际问题。 第32页第32页 教学重点难点： 重点是解方程与列方程处理实际问题。 列方程处理问题又是教学一个难点， 难点一是思维方式发生了改变，难点 二是找相等关系。第33页第33页例1（用字母表示某个详细数）通过复习以前所学知识，巩固用符号、字母表示某个详细、特定数，渗入求未知数思想，从符号表示逐步过渡到字母表示，并引出例2。第34页第34页例2（用字母表示运算定律）（1）使学生结识用字母表示运算定律简明性、优越性，一是能够表示普通规律，二是叙述以便。在这儿，

13、字母不止表示一个特定数，而是表示普通数（2）两字母相乘表示法（3）教材上只给出乘法互换律表示法，要求学生自己写出其它定律。 “你知道吗？”简介单位名称字母表示法，此后教材中单位名称普通用字母表示。第35页第35页例3（用字母表示面积和周长计算公式）（1）两个过程：用公式表示面积、周长公式是一个普通化过程（详细到象），而依据公式计算某一详细图形面积和周长则是一个特殊化过程（代入求值）。代入求值在这儿要多加训练，后面解方程验算就是一个代入求值过程。（2）平方表示，数与字母相乘表示。第36页第36页例4（代数式）（1）用一个代数式能够表示两个含义：数量、数量关系。如a30能够表示父亲年龄，也能够表示

14、父亲与小红年龄之间关系。（2）通过归纳法，从详细到普通，得出代数式表示法，渗入函数思想，第1小题是加减法数量关系，第2小题是乘除法关系。（3）渗入函数中自变量取值范围（定义域 )第37页第37页解简易方程1.方程意义（1）通过用天平称量物体活动引出方程概念，与后面利用天平原理解方程相一致。（2）前面已有了列代数式基础，因此天平左边代数式学生比较容易列出来。（3）通过两边物体轻重直观比较引出不等式及方程。（4）依据方程概念自己写一些方程，范围可以很广，能够包括多元方程，只要符合方程定义即可。第38页第38页第39页第39页天平原理（等式性质）（1） 利用直观形式使学生理解天平平衡两条原理（在方程

15、中相称于作同解变换）：天平保持平衡原理1：两边同时加上或减去相同数，左右两边仍然相等；天平保持平衡道理2：两边同时乘上或除以相同数（0除外），左右两边仍然相等。（2）其中第二、四个图蕴含理解方程思绪即天平左边只留下一个物体，在解方程时，最后目的是使方程左边只剩余未知数）。 第40页第40页 方程解和解方程概念（1）利用前面天平平衡素材直接给出现成方程，因此不包括到怎样列方程。（2）利用已经有知识，经过四种不同方法求出未知数值，其中一个方法就是后面要学到普通解方程方法。再给出方程解和解方程等概念。 第41页第41页 解基本方程 例1：（x+a=b）（1）情境相对简朴，利用直观即很容易列出方程，因

16、此重点不是列方程而是解程。（2）天平原理直观演示与抽象:方程解法相相应。（3）重点突出“为何要减3”这一问题，目的是使方程一边只剩余未知数。（4）验算。就是前面所学代入求值过程 。第42页第42页例2（ax=b）（1）详细过程同例1。天平原理直观演示与抽象方程解法相相应。“除以几”要求学生依据直观图自行摸索。（2）xa=b、xa=b这两种类型解法要求学生利用所学知识进行迁移类推，不出专门例题，在“做一做”中出现。（3）方程普通性方法、环节也要求学生自行总结。 第43页第43页例3（列方程处理形如xa=b问题）（1）结合现实情境“洪泽湖蒋坝 水位超出警戒水位”。（2）先给出算术解法，但在用 算术

17、办法解答时实际已经把“今 天水位超出警戒水位0.64米”转 化成了“警戒水位比今天水位低 0.64米”，就是所谓逆思考。（3）列方程处理问题时由于 未知数是参与运算，因此 第一步要把未知数设成一个 “假设已知数”。（4）第二步，依据题目中 信息叙述方式，通过顺向 思考列出数量关系。由于是 刚接触方程，列出文字性 数量关系对于学生正确地列 出方程是很主要。（5）依据数量关系列出方程（此时数量关系中每一部分都是作为“已知数”参与运算），解方程和验算过程在这儿不是重点，可让学生独立完毕。 第44页第44页例4（列方程处理形如ax=b或xa=b问题）（1）基本过程同例3，可更多地让学生自主探究，列方程

18、过程中要注意单位统一。第一步要把未知数设成一个“假设已知数”。第二步，依据题目中信息叙述方式，通过顺向思考列出数量关系。依据数量关系列出方程。（2）渗入环境保护教育。第45页第45页例1（列方程处理形如axb=c问题）（1）结合现实素材引入，这种问题用算术方法处理思考起来比较麻烦。列方程解就显得较容易。重点是列方程，解方程。（2）能够列出不同方程，如2x20=4，2x4=20，关键是使学生了解数量关系。（3）解方程过程其实是由解若干基本方程组成（y-20=4，2x=24），需要强调把2x当作一个整 第46页第46页例2（列方程处理 形如axab=c问题）（1）依据不同思绪 列出不同数量关系，

19、进而列出不同方程。 2x2.8210.4， （2.8x）210.4（2）两个方程之间有 内在联络， 从2x2.8210.4到（2.8x）210.4实 际是利用了初中“ 合并同类项”，而从后者到前者实际是“去括号” 过程。（3）在解法上第一个 解法只是在例1基础上多了一步，可自行处理。（4）第二种解法重点 第47页第47页（列方程解形如axbx=c问题）（1）这类问题称为“和差、和倍、 差倍问题”，用算术方法解比较难。（2）有两个未知数，不过两个未知 数之间存在和差关系或倍数关系， 因此其中一个未知数能够用另一个 未知数形式来表示，因此用方程 解就显得比较简朴。（3）重点是设谁是x，普通为了 解

20、方程方便，设倍数关系中 单位量为x。当然，也可任意设， 只是解答起来比较困难。教课时， 可能有学生海洋面积为x亿平方 千米，列出方程是 xx2.45.1，只是解方程 方法超出学生接受范围， 教师适当引导即可。（4）解方程过程就是一个乘法 分 配 律进行合并同类项过程。（5）求海洋面积时能够依据不同数量关系用不同方法求（地球总面积陆地面积、陆地面积2.4倍 第48页第48页新课标教材对于解方程这部分内容与原教材相比有下列改进：（1）用字母表示数教材编排更贴近学生认知特点 （2）以等式基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。（3）调整简易方程内容，突显利用等式基本性质解方程优势。（4）解方程与

21、处理实际问题教学有机整合。第49页第49页二、六年级上册比结识内容分析比结识和应用安排在六年级上册第三单元分数除法最后一节学习第50页第50页 老式算术教材在讲比意义时，只强调比一个情况，即两个同类量倍数关系 。 现在小学数学教材， 既讲同类量比，又 讲不同类量比（必须 相关联）。 第51页第51页 比读、写及比各部分名称，并计算出其中一个比比值，阐明“比值通常用分数表示”。然后根据分数与除法关系，阐明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵提出问题，引导学生联系比与除法、分数关系，同时思考比后项可不可认为0。 由同类量比和不同类量比概括出比意义第52页第52页 在比较两个量关系时，能够把除法、比

22、、分数看作是形式不同，它们能够相互转化。比基本性质可由商不变性质和分数基本性质导出。 第53页第53页比基本性质应用教学化简比： 1.简化整数比题目已知两面旗长和宽，要求这两面旗长和宽最简朴整数比。这里两个答案相同，渗入了两面旗按百分比缩小相同变换思想，同时也便于学生感悟化简必要性，即能使数量关系愈加简朴明了。选取这一素材，既有思想性、趣味性，且数据真实，又有数学内涵。2.化简分数、小数比第54页第54页比应用两个内容:百分比尺和按百分比分派 例2，以清洁剂浓缩液稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知比分成两部分。简介了两种解法。一个是先求出每份是多少，再求几份是多少。即转化为整数除法

23、、乘法来处理。另一个是把比转化成每种成份占总数几分之几，变成求一数几分之几是多少，用分数乘法来处理。教学时: 1.注意相关知识复习。充足利用学生原有知识基础，学习新内容。2.让学生感悟相关知识联系和区别 .第55页第55页三、六年级下册百分比教学内容分析1.百分比意义和基本性质2.正百分比和反百分比意义，3.百分比应用三部分内容 第56页第56页 百分比是小学数学数与代数最后一个知识点，是前面学习一个综合应用，是数与计算发展。同时又是进一步学习中学数学、物理、化学知识基础。 百分比是在比知识基础上并结合一些常见数量关系学习。到了中学学生就要学习正百分比函数、反百分比函数等知识。本单元教学一个重

24、点是：对学生渗入函数思想，进行辩证唯物主义观点启蒙 教育。第57页第57页 百分比意义和基本性质 百分比意义百分比基本性质解百分比正百分比和反百分比意义成正百分比量 成反百分比量百分比应用百分比尺图形放大与缩小用百分比处理问题教学内容及知识间联系第58页第58页教材前后知识间联系小学（三六年级）已有知识新授知识后续知识1、比知识 2、常见数 量关系1、百分比 2、正百分比、反百分比 3、百分比尺 4、图形放大与缩小5、用百分比处理问题 1、正、反百分比函数 2、相同图形 3、处理问题小学（六年级下册）中学循序渐进、螺旋上升（承上启下）第59页第59页4理解百分比尺，会求平面图百分比尺以及依据百

25、分比尺求图上距离或实际距离。5结识放大与缩小现象。3结识正百分比关系图像，能依据给出有正百分比关系数据在有坐标系方格纸上画出图像，会依据其中一个量在图像中找出或预计出另一个量值。单元教学目的 知识 与 能力1、能利用方格纸等形式按一定百分比将简朴图形放大或缩小，体会图形相同。2、通过观测、比较、判断、归纳等办法， 建立明晰概念，把握概念内涵。3、能找出生活中成正百分比和成反百分比量实例. 4、学会用转化办法解百分比。情感、态度、 价值观 过程与 办法1理解百分比意义和基本性质，会解百分比。2理解正百分比和反百分比意义，能利用百分比知识处理简朴实际问题。1、渗入函数思想，使学生受到辩证唯物主义观

26、点启蒙教育。2、养成检查良好习惯。 第60页第60页教学重点教学难点1、会解百分比。2能正确判断正百分比和反百分比，并能利用正、反百分比知识列出算式。1、理解百分比意义和基本性质，会解百分比。2会判断正百分比和反百分比，能利用正、反百分比知识处理简朴实际问题。3、会依据百分比尺求图上距离和实际距离。1、理解百分比意义和基本性质。2能正确判断正百分比和反百分比，并能利用正、反百分比知识处理简朴实际问题。1、理解百分比意义和基本性质，会解百分比。2会判断正百分比和反百分比，能利用正、反百分比知识处理简朴实际问题。3、会依据百分比尺求图上距离和实际距离。第61页第61页在百分比意义和基本性质中涵盖三

27、部分知识：(1).百分比意义： 表示两个比相等式子,通过比值是否相等判断是否构成百分比。(2).百分比基本性质：在百分比里两个外项积等于两个内项积。(3).解百分比： 其解百分比办法就是把百分比转化成方程。第62页第62页2、成正百分比和反百分比量： 在成正反百分比意义中涵盖 成正百分比量和成反百分比 量两部分（1）正百分比意义： 首先是两种相关联量， 当这两种相关联量比值 一定，也理解为商一定期， 能够用字母y:x=k(一定)表示， 我们就说y和x成正百分比关系（2）反百分比意义： 同样是两种相关联量， 这两种相关联量乘积一定， 能够用字母x y=k(一定)表示， 我们就说x和y 成反百分比

28、关系。第63页第63页3、百分比应用在百分比应用中涵盖：认识百分比尺、图形放大与缩小、用百分比处理问题三部分。认识数值百分比尺和线段百分比尺；会求百分比尺，能依据百分比尺求图上距离或实际距离；应用百分比尺画图；掌握图形放大与缩小方法；知道按照一定百分比放大缩小后，图形形状相同，大小不同；用正反百分比意义处理问题，以及实际应用自行车里数学第64页第64页 4.比和百分比知识逻辑线索：比和百分比这部分知识教材分别放在六年级两个学期中，百分比知识生长点就是比，教材按照这样一条线索来编排，学生首先理解除法意义，然后学习分数，包括分数意义与基本性质，分数与除法关系，分数乘除法计算办法等知识，再次基础上来

29、结识比，研究比意义和比基本性质。教材把比最基础知识提前安排在六年级上册第三单元分数除法这个单元中教学，表达着比与分数有密切联系。单元知识呈现由概念到办法技能递进关系。教科书按照知识逻辑顺序来编排，既有助于教师教，有助于学生学。 第65页第65页5.教学提议1.注重基本概念教学。 百分比、正百分比、反百分比是本单元学习几种基本概念，十分主要。学习百分比相关知识以及百分比应用都有赖于对这些概念理解 和掌握。如解答含正反百分比关系实际问题，首先要对两个量成何百分比做出判断，然后依据正百分比或反百分比数量关系特点解答教学中要通过观测、比较、判断、归纳等办法帮助学生建立明晰概念，把握概念内涵。同时通过应

30、用，不断加深对这些概念理解和掌握。第66页第66页2提升学生综合利用知识能力。本单元知识综合性比较强。因此学习中既要注意新旧知识联系，又要注意发展学生综合利用知识能力。教材编写也注意表达知识综合应用，比如百分比尺一些练习，不但限于计算图上距离和实际距离，并且涉及到测量、图形、方向与位置知识以及依据实际设计百分比尺。第67页第67页教学策略1、创设与实际生活紧密联系且学生熟悉情景。便于学生在情景中体验、感知、理解知识，同时又能在情景中灵活 利用知识。如：百分比意义 、解百分比、图形 放大或缩小等。2、注重基本概念教学。尤其是百分比、正百分比、反百分比几种基本概念，教学中通过观测、比较、判断、归纳

31、等办法帮助学生建立明晰概念，把握概念内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念理解和掌握。3、提升学生综合利用知识能力。比如解百分比用到方程相关知识：百分比尺练习，不但限于计算图上距离和实际距离，并且涉及到测量、图形、方向与位置知识以及依据实际设计百分比尺。4、加强新旧知识联系，找准连接点，让旧知为新知服务。比如用百分比处理实际问题，要用到正、反百分比关系;解百分比用到方程相关知识。第68页第68页代数初步知识教学中迷惑1. “简易方程”教学中问题 （1）代入公式求值计算结果要不要求写上单位名称？ 代入公式求值计算结果原义务教材不要求写单位名称，现课标教材要求写单位名称。这种改变原因一是为了与中学统一，二是考虑到代入公式求值结果应与以前学习直接列式计算结果统一。另外代入求值，课标教材先写出公式是为了便于学生更加好记忆和应用（事实上，如果没有明确要求，能够不写出公式，用已知数据直接写出算式）。第69页第69页（2）“等式性质”教学：是否需要归纳出等式 性质1和性质2？ 以往教材是利用四则运算各部分间关系来解方程，现在课程原则要求“会用等式性质解简朴方程”。为了减轻学生记忆承担，课标教材没有给出“等式基本性质”名称，也没有用文