二次函数的图象与性质-完整精讲版课件

1、2.2二次函数的图象与性质2.2二次函数的图象与性质（1）知识回顾，问题引入1.什么是二次函数？ 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的形式，则称y是x的二次函数.2.在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？-24-11010124合作学习，探究新知画二次函数y=x2的图象（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象y=x2（1）这个函数的图象形状是怎样的？（2）图象与x轴的交点坐标是什么？

2、（3）y随x的变化而怎样变化？（1）图象是一条抛物线；（2）有交点，坐标为（0,0）；（3）当x0时，y随x的增大而减小， 当x0时，y随x的增大而增大；（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0；（5）是轴对称图形，对称轴是y轴 （直线x=0），如（1，1）和（-1，1）等.（4）x取何值时，y的值最小？是多少？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点. 二次函数y=x2的图象是一条抛物线， 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0） 二次函数y=-x2 的图象也是一条抛物线，它与二次函数y=x2的图象关于x轴对

3、称 二次函数y=-x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么关系？图象开口方向对称轴顶点坐标y=x2y=-x2 向上 向下y轴（0，0）抛物线增减性： y=x2 : x 0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大 y=- x2: x 0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而减小最值： y=x2: x=0时，y最小值=0 y=- x2: x= 0时，y最大值=0例题讲解 已知二次函数y=x2.求：（1）当x=5时，y的值；（2）当y=4时，x的值；（3）当x为何值时，y随x的 增大而增大？解：（1）把x=5代入，得 y=52=25. （2）把y=4代入，得 x2=4

4、， 解得x=2（3）当x0时，y随x的增大而增大.1.二次函数y=-x2中，当y=-16时， x =_.2.已知函数y=ax2的图象过点（3，9），和（2，t）（1）求a和t的值；（2）试判断这个函数的图象是否 过点（-3，9）.过点（-3,9）a =1,t =4能力小测试：1.抛物线y=-x2与直线y=kx+3交于点 （2，b），则k=_.2.如图，抛物线y=x2中，当-1x2时， y的取值范围是_.-3.50y4拓展练习：二次函数y=x2的图象是怎样的二次函数y=x2的性质有哪些作业：习题2.2 二次函数y=-x2的图象是怎样的二次函数y=x2的性质有哪些归纳小结2.2二次函数的图象与性质

5、（2）知识回顾，问题引入1.二次函数y=x2、y=-x2的图象 是什么形状的？2.二次函数y=x2、y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值是怎样的？抛物线可列表进行比较 在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：（1）图象：_开口方向：_对称轴：_顶点坐标：_（2）它与y=x2的图象的相同点：_；不同点：_.抛物线向上y轴（0，0）形状、开口方向、对称轴、顶点坐标开口大小合作学习，探究新知相同：形状开口方向对称轴顶点坐标不同：开口大小a越大，开口越小 在图2-4中画出y= x2的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？想一想函数y=ax2（a0）的图

6、象性质图象：开口方向：_, 对称轴：_顶点坐标：_.向上y轴（0，0）增减性： x0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=0函数y=ax2（a0）的图象性质图象：开口方向：_， 对称轴：_顶点坐标：_.向下y轴（0,0）增减性： x0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而减小最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=0画出二次函数y=2x2+1的图象y=2x2+1y=2x2y=2x2+1的图象：由y=2x2的图象向上平移1个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0，1） 二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、顶

7、点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2+1y=2x2-1的图象：由y=2x2的图象向下平移1个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0,-1） 二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2-1函数y=ax2+c（a0）的图象性质平移：由y=ax2向上或向下平移c个单位得到开口方向： 对称轴： 顶点坐标：向上y轴（0，c）增减性： x0时，y随x的增大而减小 x0时，y随x的增大而增大最值： 当x=0时，y取得最小值 y最小值=c函数y=ax2+c（a0）的性质平移

8、：由y=ax2向上或向下平移c个单位得到开口方向： 对称轴： 顶点坐标：向下y轴（0，c）增减性： x0时，y随x的增大而增大 x0时，y随x的增大而减小最值： 当x=0时，y取得最大值 y最大值=c 抛物线y= x2+4是由抛物线y= x2怎样平移得到的？并说明：（1）顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况；（2）函数的最值.例题讲解 解 ：抛物线y= x2+4是由抛物线 y= x2向上平移4个单位得到的.（1）顶点坐标：（0，4） 对称轴：y轴 当x0时，y随x的增大而减小， 当x0时，y随x的增大而减小，（2）函数的最值：y最小值=41.二次函数y=3x2- 的图象与二次函数 y=3x2的图

9、象有什么关系？它是轴对 称图形吗？它的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？画图看一看.2.二次函数y=-2x2- 的图象与二次函 数y=-2x2+ 的图象有什么关系?随堂练习y=3x2 y=3x2-1.y=3x2- 的图象：由y=3x2的图象向下平移 个单位得到开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：（0，- ）2. y=-2x2- 的图象： 由y=-2x2+ 的图象向下平移1个 单位得到y=-2x2+ y=-2x2- 已知函数y=ax2+c的图象经过点（1， ）和（-3，-1）.（1）求函数的关系式；（2）指出顶点坐标；（3）抛物线y=ax2+c与x轴的交点知识拓展解 （1）由题意，得解得此

10、函数的关系式为y=- x2+2（2）顶点坐标为（0,2）（3）当y=0时，- x2+2=0解得此抛物线与x轴交点为（ ，0）（- ，0）二次函数y=ax2的图象、性质分别是什么二次函数y=ax2+c的图象、性质分别是什么作业：习题2.3 抛物线y=ax2+c与y=ax2有怎样的关系归纳小结2.2二次函数的图象与性质（3）知识回顾，问题引入1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？抛物线分a0和a0两种情况32032501818882021882281832 对于同一个y值，这两个函数对应的x值相差1（在对称轴

11、同侧）合作学习，探究新知画出二次函数y=2(x-1)2的图象（1）完成下表： 观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？x-4-3-2-1012342x2 2(x-1)2（2）画函数出y=2(x-1)2的图象y=2x2y=2(x-1)2y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位得到；开口方向：向上；对称轴：直线x=1；顶点坐标：（1, 0 ）； x1时，y随x的增大而减小， x 1时，y随x的增大而增大. 二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x

12、取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左平移1个单位得到. 类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？y=2(x+1)2y=2x2对于二次函数y=-3(x+2)2：（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（2）当x取哪些值时，y的随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？随堂练习：（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象向左平移2个单位得到； 它是轴对称图形； 开口方向：向下； 对称轴：直线x=

13、-2； 顶点坐标：（0,-2）.(2) x-2时，y随x的增大而增大， x -2时，y随x的增大而减小. 由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.y=2x2y=2x2-y=2(x+3)2-y=2(x+3)2 y=2x2- 的图象：由y=2x2的图象向下平移 个单位得到. y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到. y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移 个单位得到（也可由y=2x2的图象向下平移 个单位，再向左平移3个单位得到）.

14、形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移h个单位（h0时，向右平移，h0时，向左平移），再沿y轴方向平移k个单位（k0时，向上平移，k0时，向下平移）得到. 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？ 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线.开口方向对称轴顶点坐标y=a(x-h)2+k 向上（a0） 向下（a0）y轴（h，k）增减性： a0时，xh，y随x的增大而减小 xh，y随x的增大而增大 a0时，xh，y随x的增大而增大 xh，y随x的增大而减小最值： a0时，x=h，y最小值=k a0时，x=

15、h，y最大值=k（1） 填空：二次函数y=-(x+3)2+2的开口方向是_，对称轴是_，顶点坐标是_；当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y最大值=_.（2）此抛物线怎样由抛物线y=-x2平移得到？向下（-3，2）-3=-32直线x=-3 由抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位或先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到.例题讲解 已知一个二次函数的图象的形状和抛物线y=-2x2相同，且它的顶点坐标为（1，3）.（1）求该二次函数的关系式.（2）x取何值时，y随x的增大而增大？（1）y=-2(x-1)2+3（2）x1知识拓展练一练：1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当

16、x=_时，函数取最大值为_.2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_时，y随x的增大而减小.3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？24-1 由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是怎样的作业：习题2.4 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有怎样的关系二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些归纳小结2.2二次函数的图象与性质（4）知识回顾，问题引入1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是什么形状的？2.二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶

17、点坐标、增减性、最值分别是怎样的？抛物线分a0和a0两种情况 学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质之后，现在你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？化成y=a(x-h)2+k的形式呗！合作学习，探究新知例1 :求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶点坐标.解 y=2x2-8x+7 =2(x2-4x)+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2，-1）.解 （1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4 对称轴： 直线x=1 顶点坐标： （1，4） （2） y=2x2-12x+

18、8 =2(x-3)2-10 对称轴： 直线x=3 顶点坐标： （3，-10）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=- ,顶点坐标为（- ， ）.解 y=ax2+bx+c =a(x2+ x)+c =ax2+2 x+( )2-( )2+c =a(x+ )2+ 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的 对称轴和顶点坐标 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.开口方向对称轴顶点坐标y=ax2+bx+c 向上（a0） 向下（a0）直线x=-（- ， ）增减性： a0时，x- ，y随x的增大而减小 x- ，y随x的增大而增大 a0时，x- ，y随x的增大而增大 x - ，y随x的增大而减小最值： a0时，x=- ，y最小值= a0时，x=- ，y最大值= 做一做： 如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？解 （1）y= x2+ x+10 = (x+20)2+1 左侧钢缆最低点坐标为（-20，1） 钢缆最低点到桥面的距离是 15=5（m）（2）左、右两侧抛物线关于y轴对称 左、