广州市2021届普通高中毕业班综合测试(二)数学试题(含答案)

1、评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号答案15BADDCBBC二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9. BD 10.ABD 11.ACD

2、三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分12. Bx2y2333 116 1213.14.15.16.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17.（10 分）， 1 分（1）解法 1： 由，得Sn+1+2S S (n2)S S 2 S Sn1nnn1nn 2a n2得a，2 分3 分n1na 2 n2即，n1an 因为是等比数列，所以q4 分a2.n因为a1，12n1.所以a5分1 分2 分nS S (n2)2S 3S解法 2: 由，得S，Sn+1n1n312 a a 2a 3 a a得a，1231121a2a2.整理得a3 分4 分332a2 aa32因为q.na2因为

3、a1，12n1.所以a5分1 分n解法 3：设等比数列 的公比为q ，an1，由于a 1，则a 1 S n， .若q1nn 因而，与题设SS n1 2 n1 n1S (nS S S (n2)矛盾，nn1nn+1n1n所以q1.2 分+2S S (n2)由S，n+1n1n1qn11qn11q1qn1q23得，3 分1q2解得q.4分5 分因为a1 a 2n1.1n12n2 1.（2）解法 1：由（1）得S6 分7 分n12n2 1则S.n1n1211an所以b . 8 分n12 1 2 1 2 1 2 1S Snnn1nn1nn1111111 所以T 9 分 21 2 12 1 2 122 1

4、2 1 n23nn111.10 分6 分2 1n112n122 1解法 2：由（1）得S.nnaS S因为b7 分n1n1S SnS Snnn1nn1211 S S.8 分9 分nn1 1 1 1 1 11 S SS SS S所以T n1223nn111 S S1n111.10 分2 1n118. (12 分)（1）解：因为BCD是等腰直角三角形， BD 2，ACD 2 所以BC，.1 分D5E sinABD因为，5BC2 50 cosABD 1sin ABD 所以 ，2， 2 分5BDcosABDAB 5， AD ABsinABD1. 4 分在 ACD中， 2由余弦定理得 22 22 1 2

5、 21 2 22 5.5 分ACAD由正弦定理得，sin135 sinACD21102得sinACD.6 分510CDAD（2）解法 1：在 ACD中，由正弦定理得，sinCAD sinACDCDsinACD5得sinCAD.7 分AD532 550 ，得cosCAD 1sin CAD 由于 2. 8 分sinCAD 1tanCAD所以.9 分cosCAD 212 ADtanCAD在 Rt ADE 中，DE，11S ADDE .10 分11分12分24ADE1S ADBD1.在 Rt ABD中，2ABD3 SS所以 的面积为SABE.4ABDADE 5 BC 2，解法 2：由（1）知 ，113

6、22则S 2.7 分22115 1 ABBEsinABD 5BE BE， 8 分由于S225 2111S BCBEsinCBD 2BEsin45 BE， 9 分222CBE SS所以S因为S.10 分11分12 分ABECBE S，ABECBEABC134 S所以 ABE的面积为S.2ABEABC10解法 3：由sinACD0 ，且 103 10cosACD 1sin ACD 得2.7 分10 在CDE 中，sinCEDsin ACD则 sin8 分2 3 2 2242 55.9 分DECD由正弦定理得，sinACD sinCED102CDsinACD110DE 得.10 分11分sinCED

7、2 52532 BDDE 所以BE.11 35 3 BEABsinABD 5所以的面积为S.12 分ABE22 25410解法 4：由sinACD0 ，且 103 1010cosACD 1sin ACD 得2.7 分 ，因为所以10cosACBcos 90 ACD sinACD，8 分103 1010sinACBsin 90 ACD cosACD.9 分 在中，BCEsinBEC sin ACB则 sin2 3 2 222 55.10 分BCBE由正弦定理得，sinBEC sinACB53 10102 52BCsinACBsinBEC32得BE.11分511 35 3所以的面积为S.12 分A

8、BE BEABsinABD 522 25419.（12 分） 92 （1）解: 由散点图中数据和附注中参考数据得 ，5t t，tii154.2y 6.02，3 分99tyt yi183.6554.2 87.4b i1.46得i1 ， 5 分6 分606092t tii1 a ybt 6.02 1.46 513.32所以.y 7 分所以 关于t 的回归直线方程为 yt. X N 0.9772， 分（2）解：由题意，P X922 1.6 2 0.6 0.4 所以.11分12 分所以该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4 万元.20. (12 分)BC BC O（1）证明：记，连结 AO，11CC1

9、BC , .1因为侧面是菱形， 所以 分1111 ABB 因为, , 所以 ABC. 2 分11AB AC .所以 分31因为O是BC1的中点， 所以 BC. 分4z1AA1AOBC O , AOABC ,平面ABC ,因为所以平面1111C1CBC ABC .O平面5 分11BB1 y（2）解法 1：x O BCAO BC .因为， 为的中点，所以6 分1116 BC BC O，由（1）可知BC，因为111所以 AO 面BBCC .7 分11以O为原点建立如图的空间直角坐标系O,设 AO8 分t, BC 21，BO因为BB，所以BO 3 .111 B C ， A t，B 3,0,0则，1 B

10、 A 0,1,t ，BB 3,1,0BA 3,0,t ，CA t，11 x ,y ,z设平面 ABB的法向量为n1，则有1111n B Ay 0，n BB 3x y 0，111111113 3ABB1n 令 y的一个法向量为. 9 分11t，则有 x ,y ,z设平面 ABC的法向量为n2222n 3x 0，n y 0，2222223 3y 3 z 令x，则，.222t3 3,3,则平面 ABC的一个法向量为n .10 分2t 0, 解得t1 63 36 n 33 3由题意知n.11分t221212V S 3.所以V12 分33 22C ABBABBCBBC11111 1AA1 AB解法 2：

11、作CD于 ，连接BD，D1DC1由（1）知 ABB ABC，1BBBD ，CD B D .所以所以1 6 分11B DCB ABC1B DC 90是二面角的平面角，依题意得. 7 分11 BC 2因为BB，所以 B D 2.1117因为 ，O为BCAO BC的中点，所以 .8 分111 BBCC，所以 AO 面 . 9 分由（1）可知BC1 ，因为BC BC O1111x BO 1x设，在 Rt AOB 中, 21222， 分1011在 t ADB 中, ADR AB B D x 1，222111在 t AOB中,RAO BO22x23 ，AB在 t BDB 中,R B D 2，22111 B

12、D AD,因为 AB6x1 2, 解得x.11分则3 2x2211 6 33 21 12V S. 12 分所以V32C ABBABBCBBC1111AA1 ABDO解法 3：作CD于D，连接BD，1，CDCO1由（1）知 ABB ABC，1BB CD B D1所以BD，.6 分11B DCB ABC1B DC 90所以是二面角的平面角，依题意得. 7 分11B D DCDB又CD，则 平面.11DO AB.因为DO 平面CDB ，所以8 分1 BC 21，BO 3因为BB，所以 B D 2，DO.111在 Rt BDB 中， BD 2.21211因为 Rt AOBRt BOD，6AO DOBO

13、 BD所以，得 AO .9 分2 O BCAO BC .因为， 为10 分111BC 1BC BC O面BBCC .1由（1）可知，因为，所以AO11分111811 62V S 33 21 1.所以V12 分32C ABBABBCBBC111121.（12 分）（1）解: 设 B x ,y2py是抛物线 上的任一点，则Cx20. 分1000 AB x 0 y p2200 2 y 2 p20200 y p.22 分20y 0,0因为y 0p2 p .所以当时， 3 分4 分0p2.依题意，得4y.所以C的方程为x2 F .（2）解法1：因为点 是C的焦点，所以5 分Fl1k: y 1，根据题意，

14、直线 的斜率 存在且k0，设l11l l ，则l: y x1由于.122k M x ,yN x ,y, S x y，设，1122y kx1,由消去 ，得xy24 40，x2 4y, 4k 4 4 k 1 022，x x 4k .则 分612因为S 是线段MN的中点，x x所以x2k，y 1 21 k .12222S2k,2k 1.7 分8 分所以2 2T , 1 .同理得 k k2 9 22k 1 121k k22k则直线ST 的斜率为. 9 分2k2k k k 1 2 2k 1 x2k则直线ST 的方程为 y，2kk 12x3.得 y10 分11分k 所以直线ST 恒过定点. r ST 截圆

15、 所得H : x y3r (r2所以存在定圆22H2 r的线段长恒为定值.12 分 F .解法 2：因为点 是C的焦点，所以5 分Fl1k: y 1，根据题意，直线 的斜率 存在且k0，设l11l l ，则l: y x1由于.122k M x ,yN x ,y, S x y，设，1122y kx1,由消去 ，得xy24 40，x2 4y, 4k 4 4 k 1 022，x x 4k .则 分612因为S 是线段MN的中点，x x所以x2k，y 1 21 k .12222S2k,2k 1.7 分8 分所以2 2T , 1 .同理得 k k2 H 设点，102132k 13 k 1k2122k2k

16、，由于k，9 分22kkkTHSHkk k .所以 分10SHTH所以S ， ，H 三点共线.T所以直线ST 恒过点 .11分H 所以存在定圆22rST 截圆H 所得12 分H : x y3r (r22 r的线段长恒为定值.22. (12 分)12ax 12a2 1,+(x)f(x)2a(x1)（1）解：函数 f的定义域为，.x1x11 分1 f(x)0 x 1,+对 恒成立， 若12a0，即0a，则2 (x) 1,+所以 f在上单调递增；2 分11 若12a0，即a，则方程2 12a0的两根为x 1；22时，12a11 x 1f(x)0当当；2a1 1 x 1f(x)0时， ；2a2a1 1

17、( )0时， f x当 x；2a11 1 , 12a1 1, 1所以函数 f x 在上单调递增，在上单调递减，2a2a11 ,2a在上单调递增.3 分1 综上所述,当0a时，1,+在上单调递增；f x2111211 1 , 12a1 f x1, 1当a时，在上单调递增，在上单调递减，2a2a11 ,在上单调递增.4 分2a11 f(x)ln(x1) x1 2（2）证明：当a时，221 x 0,，有(x) 0,f(x) f(0)由（1）知 f在上单调递增，即对任意，22ln(x1)(x1) 12xx 2ln(x1)即22.5 分6 分12k11k (k 1,2,n)2ln令x，则.kk2k3 52n134n11 2 ln