高中数学竞赛专题讲座复数

1、复数专题一复数与数列复数数列的题目主要表现对复数运算的规律性的掌握例1设数列z1,z2,zn,是首项为48，公比为1(62i)的等比复数列4（1）求z4（2）将这个数列中的实数项，不改变本来的序次，从首项开始，排成a1,a2,an,，试求a3（3）求无量级数a1a2an的和解：（1）r1(62i)1(cosisin6)z448r3122i426（2）使r为实数的最小自然数是6，数列a1,a2,an,是首项为48，公比为r6的等比数列所以a334（3）这个级数是公比r61的无量等比级数，进而和4812881(13)8例2今定义复数列a1,a2,an,以下，a1i,a213i,an1aka（n2)

2、，k为正11n的常数问复数an的辐角的正切与哪一个值最凑近？（当n时）剖析：追求an的一般式，再注意取极限的方法以及有关议论解：an1的辐角记作，an1a1kana1(1kkn2)kn1a2（1）当k1时，a(n1)aan(n13)i，所以tann131(n)n121n（2）当k1时，an1a1(1kn1)kn1a21kn1(31)kn13kn1k1k1ktan1(31)kn13kn3kk31(k1)(n)1kn1(0k1)例3（1）设在复数列z0,z1,zn,之间有以下关系：zn1zn(znzn1)(n1,2,3,)，其中(1)是常复数当z00,z11时，试将zn的值用表示2113i，求在圆

3、|z|10（z是复数）的内部总合含有zn的个数（）若（）中的解：（1）z2z1(z1z0),z3z2(z2z1)2znzn1(zn1zn2)n11n于是，从1得，zn1（2）13i2(cos3isin)，所以n2n(cosnisinn),要使zn在圆|z|10的内333部，它的充分必需条件是z10,，|z|2100即znzn10，而znzn12n1n22n)，n(1cos331(12n1cosn22n)100又12n1cosn22n12n122n(12n)2，333能合适(12n)2300的n不过0,1,2,3,4在逐一考证这五个点确信都在圆|z|10的内部，故切合条件的点共有5个例4设平面上

4、有点P0,P1,，以下图，此中，线段OP0,P0P1,P1P2,，的长成首项为1，公比为r的等比数列y（1）若0r1，则当n时，Pn与哪一点无穷凑近？P2（2）将（1）中的极限点用Q表示若固定r1而改动时，点Q所P12OP0 x描绘的是如何的曲线？解：（1）r(cosisin)，此时，若将表示点Pn的复数记作zn，则有znzn1n，此中z1就是原点O于是zn12n1n1(1)|zn11|n1|rn1,1|1|1|所以，若0r1，令n，则|zn1|0，zn所表示的点与1所表示的点最凑近11（2）z1，则有z1，r1固定，做改动，点总在以原点为圆心的圆周上但因1z2|1，故有|z|2于是当点在以原

5、点为中心，1为半径的圆上，点1相应的在以点4为2|z1|213圆心，2为半径的圆上3例5设在复平面上:（1）原点为O，表示复数Z的点为A，点B由|AB|k|OA|，AB,OA的交角为所确立。试求表示点B的复数。这里k是实数。yB()（2）点列A0,A1,A2,An,由下述方式确立：A0取(0,0)，A1取)由|2|，以及C(z)(1,0)，A1(n1,2,3,AnAn1An1AnAnAn1,An1An的A(z)n夹角所定义。试求被表示为An复数zn。Ox（3）若（2）中，且记S1z1z3z2n1，S2z2z4z2n，将2S1iS2化2简。解：（1）将表示B的复数记作，则对有关系OCAB的点C表

6、示为复数，就是z，进而zkz(cosisin)，所以(1kcos)iksinz。（2）AAOPAAOQ所表示的点P,Q，则用复数分别表示为znzn1,zn1zn。由n1n,nn1POQ，推出zn1zn2(znzn1)(cosisin)，所以，数列znzn1是首项为z1z0101，公比为2(cosisin)的等比数列。所以znzn12n1(cosisin)n1（n是正整数）。所以zn12n(cosnisinn)12(cos。isin)（3）数列z2k1,z2k仍为等比数列，故可求得2S1iS2ni。专题二复数与几何有关轨迹问题：例1已知一圆B及圆外一点A，在圆上任取一点Q，以AQ为边按逆时针作正

7、三角形AQP，求点P的轨迹.解：如图：成立复平面，设ABa，圆B半径为r.PQz,z1，y、分别对应复数为则z1ar.令z0cosisinQAP，zz1z0,z1zC，.333z0zar,zaz0rz0r.故点P的轨迹是圆，圆心对应的复数oAx故z0为az0，即a3ai，半径为r.22例2已知复数z1,z2,z1z2在复平面上分别对应点A、B、C，O为复平面的原点.(1)若z31i，向量OA逆时针旋转90，模变成本来的2倍后与向量OC重合，求z2；122（2）若z1z22(z1z2)，试判断四边形OACB的形状.解：向量OA逆时针旋转90，模变成本来的2倍所得的向量对应的复数为z12i，而OC

8、对应的复数为z1z2，故z1z2=z12i.故z2z1(12i)(31i)(12i)22整理可得：z23231i.222(2)z1z22(z1z2),BAOC.又四边形OACB为平行四边形，四边形OACB为菱形.复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.依据复数的几何意义，将问题转变成几何问题求解.例3设复数z知足z1,求复数z2的辐角主值的最大值与最小值。解：z1可设zcosisin(02),z2cos2isin.设arg(z2)a,因为cos20,1sin1,故3.asin22令ytga,则可先求出y的最值。由ycos2ysin,sinycos2

9、y,cos2得12sin()2(此中),2,yytgysin()12y1y即4y21y2,3y3,3tga3,故arg(z2)min5,arg(z2)max7.333366方法二:由z1，知z对应的点Z在单位圆x2y21上，设A（2，0），依据复数减法的几何意义，复数z2对应的向量是AZ.（如图），yZ当射线AZ是圆O的切线时，z2对应的向量分别为AZ1和AZ2，此中ZAZ1，Z2为切点.连结OZ1，则OZ1AZ1，可知OAZ1为直角三角形.ox5,arg(z7由OZ11,OA2,故arg(z2)min2)maxZ66例4设Azz21zz1,zC,求A中辐角主值最大的复数z.解：知足z21的点

10、在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆内（包含圆周），知足z1的点在单位圆内，（包含圆周），A对应如图两圆共同部分.A中辐角主值最大的复数P点对应的复数zcos5isin522i4422例5若z1,z2c,求证：zz21zz2成立的充分必需条件是z、z中起码有一个是1.1112z1z221z1z2,z1z22z12证：必需性：1z2,故有z1z2z1z21z1z21z1z2.依据互为共轭的复数间关系有：z1z2z1z2(1z1z2)(1z1z2).化简整理得：z1z1z2z21z1z2z1z22212z2221z2210,z1、z2z1z2z1,z1起码有一个为1。充分性：以上过程均可逆。结论成

11、立。常用到的与复数的模有关的结论：（1）zz|z|2|z|2（2）|zz|z|z|nn22|z|z|(nN)11（3）|z1|z1|(z20)（4）|z1|z2|z1z2|z1|z2|.z2|z2|（）|z|a|z|,|z|b|z|(zabi),|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.5例6某草场上有宝.取宝法以下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记着步数，向右拐90走相同多步打个桩.而后回到绞架那边，再走到松树，记着步数，向左拐90走相同多步，又打一个桩.在这两个桩正中发掘，能够得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪影，可是橡、松二树犹存.问应如何

12、取宝.解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点为原点O，成立以下图的坐标系，设A、B为橡、松二树，其坐标分别为（-1，0），（1，0）.令点Z表示绞架，Z1、Z2、Z0分别表示第一个桩、第二个yZZ1Z2桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z,z1,z2,z0.AOBX由复数减法的几何意义，知AZ1对应的复数为z11；BZ1对应的复数为z21.依据乘法的几何几何意义，知AZ1可由AZ逆时针旋转90获得.z11(z1)i,即z11(z1)i同理,z21(z1)i,此中点Z对应的复数为z0z1z2i.即Z为虚轴上的点i.无论绞架地点020在哪儿，宝的地点总对应虚轴上相

13、应于复数为的那一点，故宝可取.例7某人在宽大的大草原上自由闲步，突发以下想法：向某一方向走1后向左转30，后向前km走1km后向左转30，这样下去，能回到出发点吗？YCB3解：以出发点作为坐标原点O，走第一个1km时所沿的直线作为Ox轴，成立以下图的复平面.O30A0X第一个1的终点A对应的复数是1，第二个1的终点B对应的复数是kmkm1+(cos30isin30)，第三个1km的终点C对应的复数是1+(cos30isin30)+(这样下去，走第n个1km时所达到的点对应的复数是1+(cos30isin30)+(cos60isin60).cos60isin60)+cos(n1)30isin(n

14、1)30，即1+(cos30isin30)+(cos30isin30)2+(cos30isin30)n1=1(cosn30isin30)当n=12时，上述复数为0，即可回到出发点。1(cos30isin30)专题三复数与方程n次方程必定有n个复数根例1求zn1的根解：设zr(cosisin)，依据隶莫佛定理，rn(cosnisinn)1，进而方程的根是cos2isin2（n0,1,2,3,）nn注：这n个根的模都等于1，它的辐角按2增添，因而可知，这n个根均位于单位圆上把圆周作了nn平分例2设在1的立方根中，记此中不等于1的一个根为，问21的值是多少？再问，当n是整数时，3n1的值是多少？解：

15、x31(x1)(x2x1)0，于是210例3（1）设是1的5次方根（1），当1时，求3n212的值（2）以原点位中心，以(1,0)为极点作五边形求与(1,0)相邻的两个极点的x坐标的值（3）试结构一个以232为一个根的整系数二次方程解：（1）21)2122111(4321)1,(22432512又1，故有110，所以1（2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形2isin2cos5,5451224是点(1,0)2cosisin,及的相邻两极点，他们的横坐标都是cos，于是555有142cos22，而由（1），1获得210，解得1525（舍），514（3）51，即415，两边平方，1628

16、15，所以42210（1）4232x（2）（1）(2)2，422x，所以422x，将此式代入（1），有4(2x1)22(2x1)10，于是有16x220 x50根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍能够应用到复数范围内例4设对于x的方程2x23axa2a0起码有一个模等于1的根，确立实数a的值解：2x23a2a0.（1）ax（1）实根的情况：D9a28(a2)a280，所以a0或a8（2）aa将x1代入（1）式，23aa2a0，所以a22a20，解得a1i，因为a是实数，所以不切合条件其次，用x1代入（1）整理后有a24a20，解得a22，这是实数，且在（2）的范围内，故合适题中条

17、件（2）虚根的情况：D9a28(a2)a280，所以，8a0解（1）有，aax3aa28ai，为使它的模等于1，只须(3a)2(a28a)21，整理后，a2a20，444a2（舍）或a1综上，知足条件的a为22,1判断根的个数的问题，能够当解方程有困难时，能够调用不等式，函数单一性等手段来办理问题例5试求知足z32|z|10非实数的复数z的个数式中zxyi(x,y为实数时)剖析：依据xyi作为根的条件，求出x,y的关系式，由此对单变数x的函数求导，再求根解：知足z32|z|10（1）的非实数的复数记为：zxyi(x,y为实数时，y0)，代入原方程，(xyi)32x2y210，所以(x33xy22x2y21)i(3x2yy3)0，x33xy22x2y2103x2yy30