平行四边形和特殊的平行四边形知识梳理+典型例题

1、 平行四边形的性质知识点一、概念1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段是平行四边形的对角线.理解：只有两组对边都平行时，四边形才是平行四边形，只要是两组对边分别平行的四边形都是平行四边形。2、平行四边形的基本元素：边、角、对角线3、表示方法：用口表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作口ABCD，读作平行四边形ABCD，字母注意同一方向，要按顺时针或按逆时针，中间不能有跳跃。（顺序性）【典型例题】【例1】如图，在平行四边形ABCD中，过点P作线段EF、GH分别平行于AB、BC，则图中共有个平行四边形。【例2】如图，在平行四边形ABCD中，Z

2、A:ZB=2：7,则NC的度数是.【练习1】在-ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=，那么的取值范围是.【练习2】如图，在平行四边形ABCD中，NA=130,在AD上取DE=DC,则NECB的度数是（例1图）（例2图）（练习1图）（练习2图）知识点二、平行四边形性质定理平行四边形的有关性质都是从边、角、对角线、对称性四个方面的特征进行：（1）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（2）角：平行四边形的对角相等；邻角互补；（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。补充：若一条直线过平行四边形的

3、两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中心，且这条直线二等分平行四边形的面积。如右图：有OE=OF,且四边形AFED的面积等于四边形FBCE的面积。知识点三、平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.如右图，若直线ab,点A、B分别在直线a、b上，且AB，a,AB，b,则线段AB的长度叫做直线a与直线b之间的距离。平行线间的距离处处.知识点五、平行四边形的面积、周长（1）S平行四边形底边长x高=ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离）。即如图，有S=BCAE=A

4、DCFABCD（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.（3）周长是四边之和，一组邻边的2倍，即：C=2（AB+BC）【典型例题】TOC o 1-5 h z【例5】E为平行四边形ABCD的一边AD上任意一点，若EBC的面积为S1,平行四边形ABCD的面积为S,则下列S与S1的大小关系中正确的是（）A.S=1SB.S1SD.无法确定21212B必【练习4】如图，ABCD的周长是22cm,ABC的周长是17cm,则AC的长为（） HYPERLINK l bookmark2 A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm平行四边形的判定一、平行四边形的判定方法1、从边上看（1）方法1：两组对边分

5、别平行的四边形是平行四边形。（定义）（2）方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（定理）（3）方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（定理）2、从对角线上看方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形（定理）3、从角上看方法5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定理）识别文字语言图形语言符号语右两组网功分别平行的四边启超邛行四过虑匚出文）八14*ABCDtAD/BC工是千行四地形为如对动分别*的四边形显平等四过形A.日AB=CD5AD=BC二是平平四边形一组对地平行旦阳等的叫边照尼平F四口第门一一.CA曰=SD,AB48二是平行四j力彬0t角Qj对向俄相平分的四边形是产行四边形

6、口NABVoa=octob=od二是平平四四形、平行四边形的判别方法的选择:多边形内外角和知识点一：多边形及有关概念1、多边形：在平面内，由若干条不在同一直线的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。2、对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫多边形的对角线。3、正多边形：在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。知识点二：多边形的对角线1、从n边形的一个顶点出发，作n-3条对角线，把n边形分成n-2个三角形。n（n一3）2、n边形共有条对角线。知识点三：多边形的内角和1、n边形的内角和=（n-2）180，其中n是3的整数。（n一2）180。sc360。2、正多边形的每个内角

7、和二或180。-nn。知识点四：多边形外角和的概念及外角和定理1、多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫这个多边形的外角，多边形一个顶点处的内角和外角互为补角。多边形外角和定理：多变形的外角和都等于360。注：1、多边形的外角和是一个定值，它与边数无关；360b2、正多边形的一个外角为。【注意：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】知识点五：平面图形的密铺（或镶嵌）1、定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌（密铺）.理

8、解平面图形的密铺：（1）要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360.（2）单一多边形密铺：任意三角形（6个）、四边形（4个）、正六边形（3个）可以密铺；（3）单一正n边形密铺的条件：如果360除以正n边形的一个内角等于整数,则可以单独用它密铺，即正多边形的一个内角度数能整除360.（4）平面镶嵌的条件：各个顶点处内角和恰好为360度（5）正多边形镶嵌：三角形，四边形，正六边形2、密铺的方法：（1）用同一种正多边形密铺，可以用、或（2）用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【注意：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在

9、一起时，其和等于并使相等的边互相平合】分析数据正11边形拼图每个内角的度数与360口的关系结论n=3*6X60=360能住嵌n=44XWT=3在能爆嵌n-5A3X108360不能镶嵌口=63X120=360能搜微特殊的平行四边形一个箱是直角一组邻边相等一个角是直佯直角梯形知识点一：矩形1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质定理（1）矩形的四个角是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、判定定理（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形（2）对角

10、线相等平行四边形为矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形归纳补充：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题3、矩形的面积S矩形长乂宽=26知识点二：菱形1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质定理:（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心2、判定定理

11、：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边都相等的四边形是菱形注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形归纳补充：1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形2、性质定理（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角（3）正方形既是中

12、心对称图形，又是轴对称图形3、判定定理（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）对角线相互垂直的矩形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形（4）有一个角是直角的菱形是正方形方法总结：（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）注意：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边

13、形的性质和判定都是从、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系4、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形5、正方形的面积b2设正方形边长为a，对角线长为b，则S正方形2”知识点四、梯形1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形（上底，下底，腰）2、特殊的梯形：直角梯形：有一个角是直角的梯形等腰梯形：两腰相等的梯形3、等腰梯形性质：（1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等（2）等腰梯形的对角线相等4、等腰梯形的判定：1）证明两腰相等2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形5、面积：面积=（上底+下底）高26、关注：梯形中常见的

14、几种辅助线的画法对角线相等的梯形是等腰梯形，但不能作为定理.补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.梯形中位线定理：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。注：已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积.中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。典型例题题型一菱形的性质【例1】如图，在菱形ABCD中，M,N分别在AB,CD上，且AM=CN,MN与AC交于点0,连接BO.若NDAC=28,则N0BC的度数为（）A.28B.52C.62D.72【巩固1】菱形ABCD中，AE垂直平分BC,垂足为E,AB4cm.那么，菱形ABCD的面积是对角线

15、BD的长是.（例1图）（巩固1图）【巩固2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,DHLAB于H,连接OH,求证：NDHO=NDCO.题型二、菱形的判定【例2】如图，在ABC中，AB=AC,NB=60,NFAC、NECA是ABC的两个外角，AD平分NFAC,CD平分NECA.求证：四边形ABCD是菱形.【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EFXAC交BC于点E,交AD于点F,连接AE、CF.则四边形AECF是（）A.梯形B.矩形B.菱形D.正方形题型三矩形的性质TOC o 1-5 h z【例3】矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边

16、分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等【巩固1】矩形的两条对角线所成的钝角是120,若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（） HYPERLINK l bookmark12 A、6B、5.8C、2（1+飞1r3）D、5.2【巩固2】如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是SrS2的大小关系是（）A.S1S2B.S1=S2C.S1Vs2D.3sl=2S2题型四：矩形的判定【例4】如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由;（2）当4ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.题型五直角三角形斜边中线定理【例5】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为题型六矩形的翻折问题【例6】如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一