教育与心理统计第四章差异量数

1、教育与心理统计课件第四章差异量数第1页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三第四章 差异量数学习目标1、离散程度各测度值的计算方法2、离散程度各测度值的特点及应用场合3、偏态与峰态的测度方法第2页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值第3页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三全距 （极差）(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891

2、078910 R = max(xi) - min(xi)*R越大，说明离散程度越大。计算公式为第4页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三百分位差（percentile）为了避免极端数据的影响，将数据的两端各截去10%，即P10和P90之间的距离作为差异量数。第5页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三百分等级分数表示分数在整个分数分布中所处的百分位置。其中： PR：百分等级 X ：对应的原始分数 f：该分数所在组的次数 Lb：该分数所在组的精确下限 Fb：小于L的各组次数之和 N：总次数 i：组距*百分等级一般只用整数不用小数。第6页，共57页，2022年

3、，5月20日，16点30分，星期三例：如下表示，求分数为77的百分等级分数。组别fF80787674724719125474336175解：第7页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三百分位分数意义： 1、原始分数在次数分布中的特定地位分数。2、表示总体中有p%的分数小于PP。计算公式：第8页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三【例】：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90-P10。组 别f向上累加次数65-115760-415655-615250-814645-1613840-2412235-349830-216425-164320-112715-

4、91610-77合计157注意：组位在第一次大于N*m/100的F所在组！第9页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三解：先计算P90和P10两个百分位数。 （如何确定PP所在的组位？）第10页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三四分位数(quartile)1、排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据Q1Q2Q325%25%25%25%第11页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三四分位数(位置的确定)原始数据：顺序数据：第12页，共57页，2022年，5月20日，16点3

5、0分，星期三顺序数据的四分位数解：Q1位置= (300)/4 =75 Q3位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， Q1在“不满意”这一组别中； Q3在“一般”这一组别中 四分位数为 Q1 = 不满意 Q3 = 一般甲城市家庭对住房状况评价的次数分布回答类别甲城市次数 (户)累计次数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300第13页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三数值型数据的四分位数 (9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 9

6、60 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9第14页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三数值型数据的四分位数 (10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第15页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三四分位差(quartile deviation)对顺序数据离散程度的测度也称为

7、内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差的一半。 Q = （Q3 Q1）/2反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性第16页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三四分位差解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 Q1= 不满意 = 2 Q3 = 一般 = 3四分位差： Q= (Q3- Q1) /2 = (3 2)/2 = 0.5甲城市家庭对住房状况评价的次数分布回答类别甲城市次数 (户)累计次数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300

8、第17页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三平均差(mean deviation)各变量值与其均值离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据第18页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三【例】：有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。解：已知n=5 x=18.6被试12345错觉量1618202217第19页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三平均差某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(xc)次数(fi)140150150 160160 170170 18

9、0180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计1202040求该电脑公司销售量的平均差第20页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三解：含义：每一天的销售量平均数相比， 平均相差17台第21页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三方差和标准差(variance and standard deviation)为了避免负数出

10、现，数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差第22页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三总体方差计算公式：总体标准差的计算公式：第23页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!第24页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三 样本方差自

11、由度(degree of freedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量第25页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三方差、标准

12、差的计算原始数据：【例】：计算6、5、7、4、6、8、这一组数据的方差和标准差。解：（1）公式法计算 （2）计算器计算法第26页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三分组数据的样本标准差计算某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Xc)次数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 01702002

13、40160250合计12055400第27页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三样本标准差 含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台。 *计算器的算法？！第28页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三总标准差的合成：【例】：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差如下，求三个班的总标准差。班级nxS14210316236110123509817第29页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三方差和标准差的性质和意义性质（1）每一个观测值都加上一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。（2）每一个观测

14、值都乘以一个相同的常数C，则所得的标准差等原标准差乘以这个常数。（3）每一个观测值都乘以同一个常数C（C0），再加一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。第30页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三意义：（1）方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。其值越大，次数分布越分散，反之，其值越小，离散越小。（2） 标准差具备一个良好的差异量数应具备的条件：反应灵敏，每个数据取值变化，方差与标准关都随之变化；计算公式严密确定；容易计算；适合代数运算；受抽样变动影响，即不同样本的标准差或方差比较稳定；简单明了，这一点其他差异量数比较稍有不足，但其意义还是较明确的。（

15、3）标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性，特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，就可以知道落在平均数上下各一个标准差、两个标准差，或三个标准差范围内的数据所占的百分比。 第31页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三标准差的应用差异系数标准分数第32页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三差异系数(coefficient of variation)1.标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为第33页，共57页，2022年，5月20日，16点3

16、0分，星期三差异系数某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度第34页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三解：结论： 计算结果表明，cv1 0为右偏分布4.偏态系数 0为左偏分布第48页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三偏态系数(skewness coefficient)根据原始数据计算根据

17、分组数据计算第49页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三偏态系数 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组(台) 组中值(Mi)频数 fi140 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 5-256000-243000-128000 -27000 0 17000 80000 216000 256000 62500010240000 7290000 2560000 270000 0 1

18、70000 1600000 64800001024000031250000合计120540000 70100000 第50页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三偏态系数结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数第51页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三峰 态第52页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三峰态(kurtosis)统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中峰态系数0为尖峰分布第53页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三峰态系数(kurtosis coefficient)根据原始数据计算根据分组数据计算第54页，共57页，2022年，5月20日，16点30分，星期三峰态系数结论：偏态系数为负值，但与0的差异不