线性代数B期末试卷及答案_第1页
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1、(共6页第 页）(共6页第11页)关的特征向量x+ax+a2x=a3,TOC o 1-5 h z112131e/亠#+八八、x+ax+a2x=a3,四、(本题满分10分)对线性方程组122232x+ax+a2x=a3,132333x+ax+a2x=a3.142434(1)若a,a,a,a两两不等，问方程组是否有解，为什么？1234(2)若a=a=b，a=a=-b(b丰0),且已知方程的两个解1324g=(1,1,-1)t，g=(-1丄,试给出方程组的通解.解:(1)因为1aa2a31111aa2a32221aa2a33331aa2a344412=(a-a)(a-a)(a-a)(a-a)(a-a

2、)(a-a)丰0,213132414243故R(Ab)丰R(A)，无解.五、(本题满分(2)R(A)=2,n=3，故通解五、(本题满分-2-1一k0+12-1兀=k(A勺(keR).x3y=Qnza0经正交变换8分)设二次曲面的方程axy+2xz+2byza0经正交变换化成g2+耳2-2匚2=1，求a、b的值及正交矩阵Q。解:设A=0b，由AE=0,A+2E|=0知a=2,b解:设A=b01111111111AE=111000111000101_当X=2时，A+2E011E00011当X=1=(1,1,1)T.3,E1=(MO)t,E2=(故正交阵Q=1故正交阵Q=276六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵,a为A的对应于实特征值久的特征向量，fl为At的对应于实特征值卩的特征向量，且加体证明a与fl正交.证：依题意得Aa=Xa,Axfl=pfl,将Aa=Aa的两边转置得，aTAT=Xor,在上式的两边右乘fl得,arArflMarfl,即卩aTfl=ar

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