对称性在微积分学中的应用20150711课件

1、（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则 有 二重积分的对称性其中 同上.（3）如果D关于原点对称,则 有 推论:若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称,则积分区域 D 关于 直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y, x)D.二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分，则：简述为“你对称，我奇偶”.则2.二重积分的对称性（1）如果D关于y轴对称,则 有 其中其中（2）如果D关于x轴对称,则 有 称为关于积分变量的轮换对称性若 D 关于直线y = x对称，

2、则简述为“你对称，我奇偶”运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，D 位于 y=x 轴右下方的部分为D1 , 则则补充：利用对称性化简三重积分计算关于z是偶函数关于z是奇函数注:关于对弧长的曲线积分的对称性若 L 关于 y 轴对称其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段若 L 关于直线 y = x 对称(即x与y对调后L表达式不变)原理: 积分值与被积变量用什么字母表示无关注 关于对弧长的曲线积分的对称性若 L 关于xoy 平面对称其中 是 的关于 xoy 平面对称的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后, 1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x, 2.(三字母轮换)表达式

3、不变,则的表达式不变,则对面积的的曲面积分的轮换对称性:1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x积分域不变,则2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域 不变,则完全类似于三重积分的对称性利用对称性化简对坐标的曲线积分若 分段光滑曲线L 关于 y 轴对称,且L在y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同例1. 计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数, 则解法2 从点的一段. 例1. 计算其中L 为沿抛物线

4、解:从点的一段. 注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同（逆时针方向）.其中C: 求解：oyx补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算轮换对称性在微分学中的应用1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x函数的表达式不变,即函数,如果满足只需将上式中的将x,y换为y,x,就得到对变量y的偏导数:则称此函数关于自变量 x,y具有轮换对称性例1 . 求解法1解法2在点(1 , 2) 处的偏导数.先求后代先代后求函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例 但是 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例1.可见：多元函数的可导既不是连续的充分条件，

5、也不是连续的必要条件.例2. 证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性 , 有方程练习P69，6（1）解 :例4. 设解: 利用轮换对称性 , 可得注意: x , y , z 具有 轮换对称性 例4. 设解: 利用轮换对称性 , 注意: x , y , z 具有轮换对称性 可得三重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系；在各种坐标系系下相应的先一后二(穿针法)与先二后一(截面法)；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；二重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。*2在掌握基本运算的基础上

6、，还应了解如何根据对称性及轮换对称性等方法来计算重积分. 此外,还要会用对称性,交换积分次序,变量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题(计算题及证明题).*1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算各种积分例5.证:(1) 若(2) 若偶倍奇零利用对称性计算定积分 证明 解决：采用适当的换元证明 令 则 所以 所以，原命题成立。 换元 换限 练习 P253 2. 分析 (1) 积分区间相同；(2) 被积函数不同.x 轴(y=0) 对称，利用对称性计算二重积分D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 则在 D 上在闭区域上连续,设区域D 关于 则证:(1)

7、不妨假设积分区域是X-型的由积分区域 D 关于 x 轴对称性:证（2）积分区域由积分区域 D 关于 x 轴对称性:于是，f(x, y) 关于 x 为奇函数：f(x, y) 关于 x 为偶函数：命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 其中D 位于 y 轴右方的部分为 证 不妨假定D的右半部分D1为X型区域：由D关于y轴的对称性，D的左半部分D2为：则所以则命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则 有 其中 同上.（3）如果D关于原点对称,则 有 推论:若 D 关于 x 轴 和 y 轴都对称,则积分区域 D 关于 直线y=x对称，即

8、若(x,y)D,则(y, x)D.二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分，则：简述为“你对称，我奇偶”.则4. 则提示: 如图 ,由对称性知在上是关于 y 的奇函数在上是关于 x 的偶函数AP182 1(2) 关于关于 轴解: 积分区域如图所示，将区域分成 设 是以 为顶点的三角形区域， 是区域 在第一象限部分.四个小区域，由于区域轴对称，区域4. 证明轴对称，故0809B 而故解： 利用对称性简化计算因为D关于 x 轴对称，3. 设其中解： 利用对称性简化计算,因为D关于 y 轴对称，3. 设其中x

9、yo解计算二重积分所围成的闭区域.例5.和解:D（画出积分区域草图）.其中D 为 利用对称性简化计算,因为D关于 y 轴对称， 且1011B例5. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数f(x, y, z) 关于 z 为奇函数：f(x, y, z) 关于 z 为偶函数：命题 4 若空间区域关于 xOy 面 (z = 0) 对称，则证 不妨假定的上半部分1为XY型区域：由关于xOy坐标面的对称性，的下半部分2为：利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性计算对弧长的曲线积分命题 5若曲线 L 关于 y

10、轴 (x = 0) 对称，则当 f(x, y) 关于 x 为奇函数当 f(x, y) 关于 x 为偶函数f(x, y) 关于 x 为奇函数：f(x, y) 关于 x 为偶函数：证 设 L 的右半部分 L1 由以下参数方程给出：由 L 关于 y 轴的对称性，L 的左半部分 L2 的参数方程为：命题 5若曲线L关于 x 轴 (y = 0) 对称，则当 f(x,y) 关于 y 为奇函数当 f(x, y) 关于 y 为偶函数f(x, y) 关于 y 为奇函数：f(x, y) 关于 y 为偶函数：当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数f(x, y, z)

11、 关于 z 为奇函数：f(x, y, z) 关于 z 为偶函数：命题 6 若空间曲线 关于 xOy 面 (z = 0) 对称，则证 设 的上半部分 1 由以下参数方程给出：由 关于xOy面的对称性， 的左半部分 2 的参数方程为：利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性计算对面积的曲面积分当 f(x, y, z) 关于 z 为奇函数当 f(x, y, z) 关于 z 为偶函数f(x, y, z) 关于 z 为奇函数：f(x, y, z) 关于 z 为偶函数：命题 7 若曲面 关于 xOy 面 (z = 0) 对称，则证 设 的上半部分1由以方程给出：由 关于xOy面的对称性， 的下半部分2的方程

12、为： 利用对称性计算三重积分1.关于积分区域的对称性:2.关于函数f(x,y,z)的奇偶性若则称f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数*类似地可定义f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数.若(x,y,z),有(x,y,z),则关于xoy坐标面对称。*类似地可定义关于yoz,zox坐标面的对称性。若则称f(x,y,z)在上是关于y,z的奇或偶函数.*类似地可定义其他.若则称f(x,y,z)在上是关于x,y,z的奇或偶函数4. 利用对称性计算三重积分的有关结论:若关于xoy坐标面对称, f(x,y,z)在上是关于z的奇或偶函数, .*类似地可表示其他一些结果.3.积分区域,被积函数f(x,y,

13、z) 的轮换对称性:将积分区域的边界曲面方程(或被积函数f(x,y,z) )中,变量x,y,z依此轮换,方程(或函数f(x,y,z)的形式不变若关于三坐标面都对称, f(x,y,z)在上是同时关于x,y,z的奇或偶函数, 则.若关于yoz,zox坐标面都对称, f(x,y,z)在上是同时关于x,y的奇或偶函数, 则.*类似地可表示其他一些结果.例1D由下列曲线所围:D3oxyDD1D2D4解:由积分区域D与被积函数特点,构造“对称性”例2由所围成.解1:D考虑截面法DZ解2:的投影区域D:D考虑用柱坐标即“穿针法”D1D2例3DZxyzoRRR解1：与的特点（？）其中x解2：yzoRRRDxyzoRRRD解3:例4.设f(x)在a,b上