数学建模作业

1、数学建模习题任课教师：郑勋烨 第132页 共132页 日期：2016年 6月10日 数学模型引论1.在现实生活中，我们总希望事情能达到最好的结果，解决最优化问题便是数学的一些最为常见的应用,比如下面的这个实际问题：配件厂为装配生产若干种部件,轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关),同一部件的产量大于需求时因积压资金,占用仓库要储存费。已知某一种部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存储费每件1元，如果生产能力远大于需求，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最少？解：存储量定义的是否合适，将是一个至关重要的问题。存储量

2、过大，存储的费用就会过高，存储量太小，会导致一次性定购费用增加，或不能及时满足需求。假设用户不允许缺货的情况出现，此时我们只需要考虑两种费用：生产准备费和产品的存储费。考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量，根据问题性质作出一些必要的假设，其中产品每天的需求量为常数r，每次生产准备费，每天c1每件产品储存费c2,根据经济学中的经济订货批量公式（EOO公式）可得：生产周期T:产量Q:每天的最小平均费用c: 无论我们进行何种工作，我们总是希望达到最好的结果，而使不好的方面或消耗等降到最低。如：计算机系统管理员要使计算机的处理能力达到最大，而使作业的延迟最少；农民会尽量调整种植空间从而使收获

3、最大等，这些以及许多其他的应用都有一个共同的数学模式：有一个或多个可以控制的变量，他们通常要受一些实际中的限制，通过对这些变量的控制，从而使某个目标达到最优。最优化模型正是要给问题的约束条件，确定受约束的可控变量的取值，以达到最优结果。许多有趣的实际问题包含着随时间发展的过程，动态模型被用于表现这些过程的演变。比如以下的高校餐厅学生就餐问题：在一高校里只有两类餐厅，一类是学校公办餐厅，另一类是私人的承包餐厅，通过调查发现，在公办餐厅就餐的学生有60%的回头率，而在承包餐厅就餐的学生有50%的回头率。按照上述规律，随着时间的推移，在这两类餐厅就餐的学生的比例随之变化，我们要解决的是当时间充分长时

4、学生在每类餐厅长期就餐的百分比。假设我们是定期统计就餐数据，比如可以是一天，一个月或更长的时间段，那么若t时刻学生在公办餐厅和承包餐厅的百分比分别为a(t)与b(t)，则在t+1时刻学生在两类餐厅就餐的百分比分别为a(t+1)与b(t+1)，根据就餐规律可得利用了数学建模的方法，我们将原本很抽象的复杂关系用简洁的式子表现出来。原问题就转化为纯粹的数学极限求解问题，从而得到最终的动态变化结果。许多现实生活问题包含有不确定性的元素。而把概率这个常见和直观的概念引入模型当中有时会带来简便，有时却是必须的。我们生活中有如下实例：某人给他的N个朋友写信，写好后，分别将这些信封装入N个信封中，并在信封上随

5、机、不断重复地写上N个收信人的地址。问他一个都没写正确和恰有r个写正确的概率各是多少？这个问题背景就是将N封写好的信放到写着正确地址的信封。而建模目的是计算所有的信都没有正确放到该放的信封的事件的概率，以及计算恰有r封信正确放到该放的信封的概率。根据建立数学模型的目的和问题的背景，用A和Bi表示没有正确放到该放的信封的事件以及恰有r封信正确放到该放的信封的事件；再利用概率论中的乘法原理和古典概率的计算公式，列出数学式子，其中k=0,1,2,3N这个问题是直接应用概率知识建的一个概率统计模型。实际上，概率统计模型的可以解决很多有规律性的随机现象问题。比如：赌博问题，巴拿赫火柴盒问题，施肥效果分析

6、问题还有典型的排队服务问题等等。绝大多数数学模型可以归为三大类型：优化模型、动态模型和概率模型。在实际应用中模型的类型可能由所遇到的问题决定，但更多的是与使用者对模型的选择有关。2.（1）汽车种类,汽车数量,天然光照时间与强度（2）作物种类,作物数量,灌溉情况,日照时间与强度（3）市场上存在的产品种类与数量,消费者心理价位,产品质量（4）疾病死亡率,药的治愈率（5）路线长度,山的高度,天气情况,能见度3.解：（1）注射一定量的葡萄糖,采集一定容子的血样, 测量注射前后葡萄糖含量的变话,即可估计人体的血液中总量,注意采集和测量的时间要选择差当,使血液中的葡萄糖含量充分均匀,有基本上未被人体吸收.

7、 （2）调查不同年龄的人的死亡率,并估计异地国内时期的变化,还应考虑银行存货利率和物价指数,保险金和赔偿金之比大体上应高于死亡率. （3）从椅披灯管中取应顶的容量的样本侧得平均寿命马克作为该批灯管寿命的估计值,衡量估计的精度,需要从样本的寿命决定该批灯管寿命的概率分布.即可得到估计值的置性区间,还可试验用提高电压的办法加速寿命测试,以缩短测量时间. （4）根据牛吨第二定律建立向上发射后的运动方程,初速已知,若不考虑空气阻力很容易算出到达的最高点时间 若考虑空气阻力,不妨设其与火箭的速度成正比 并由试验及拟和方法确定这里系数,再解方程得到的结果. （5）司机砍刀黄灯后停车要有一定的刹车距离S1

8、假设通过十字路口的距离是S2汽车行驶的速度为U 黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口 即T(S1+S2)/V S1可由试验的到,或按照牛顿第二定律就引动方程,进一步考察不同车重,不同路口和司机的反映程度等因素的影响 （6）根据资料和经验决定维修费用车龄和行使里程的增加的关系,在考虑维修和更新费用,可以一年为一个时间段,结合租金决定应该维修后更新. （7）统计在各成上班的人数, 通过数据后计算决定运行时间,以等带的人数和时间的乘积为目标,建立优化模型,决定每部电梯运行的楼层。4.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型分析：把椅子往不平的地面上一放，通常

9、只有三只脚着地，放不稳，然而只需要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。模型假设与符号说明：1椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四角的连线成正方形。2地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。模型建立：首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚呈长方形，以中心为对称点，长方形中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这个变量来表示椅子的位置，椅脚的四角分别用ABCD表示，对角线AC与X轴重合，椅子绕中心点O旋转角度后

10、，长方形ABCD转到的位置，所以对角线AC与X轴的夹角表示了椅子的位置。记AB两脚与地面距离之和为，CD两脚与地面距离之和为，（，均大于等于0）。由假设2，f和g都是连续函数，由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，和至少有一个为零。考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。证明以下命题：已知和是的非负连续函数，对任意，证明：存在使得成立。 模型求解：如果，那么结论成立。如果与不同时为零，不妨设，。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位

11、置不变，由此可知，.而由，得，。 令，由和的连续性知也是连续函数。 又，,根据连续函数介值定理，必存在使得，即 ； 又因为，所以。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。5.人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？解：模型分析：此模型为多步决策的过程，每一步，即船由此岸驶向彼岸，或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员进行分析，做出决策，在保证安全的情况下，在有限步内使全部人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上人员状况。可以找出状态随决策变化的规律。模型假设与符号说明：记第次渡河前此岸的人，猫，鸡，米的数目分

12、别为，其中将四维向量定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记为.其中及他们的五种反状态。决策为乘船方案，记为，分别代表船上人，猫，鸡，米的数目，由条件知，需满足，且，在满足安全的条件下，允许决策集合；模型建立：设为奇数时，船由此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以，状态随决策变化规律为，求决策，使状态按照变化规律，由初始状态由经有限步到达状态。模型求解：通过编程，可以求出结果。12345678(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,1,0,0)(1,1,1,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,0)(

13、1,0,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)程序源代码：A=1,1,1,1;B=1,0,1,0;1,1,0,0;1,0,0,1;1,0,0,0;M=1,1,1,0;0,0,0,1;1,1,0,1;0,0,1,0;1,0,1,1;0,1,0,0;1,0,1,0;0,1,0,1;duhe(A,B,M,1);function duhe(L,B,M,s);h,l=size(L); for k=s:h for i=1:4 C=mod(L(k,:)+B(i,:),2); if C=0,0,0,0 print(B(i,:),C,s); fprintf(渡河成功nn

14、); break; else if fuhe(C,M)=1 print(B(i,:),C,s); S=L;C; if Panduan(S)=1 duhe(S,B,M,s+1); else fprintf(此渡河方案不可行nn); end end end end endfunction y=fuhe(C,M) y=0; for i=1:8 if(C=M(i,:) y=1; break; endendfunction z=Panduan(S)z=1; m,n=size(S); for p=1:m for q=(p+1):m if S(p,:)-S(q,:)=0,0,0,0 z=0; break;

15、end endendfunction print(K,C,s) fprintf(第%d次渡河:,s); if K(1)=1 fprintf(人, ); endif K(2)=1 fprintf(猫, ); endif K(3)=1 fprintf(鸡, );endif K(4)=1 fprintf(米, ); endif C(1)=0 fprintf(从左岸到达右岸n); else fprintf(从右岸回到左岸n);end程序运行结果：第1次渡河:人, 鸡, 从左岸到达右岸第2次渡河:人, 从右岸回到左岸第3次渡河:人, 猫, 从左岸到达右岸第4次渡河:人, 鸡, 从右岸回到左岸第5次渡河:

16、人, 鸡, 从左岸到达右岸此渡河方案不可行第5次渡河:人, 米, 从左岸到达右岸第6次渡河:人, 猫, 从右岸回到左岸第7次渡河:人, 鸡, 从左岸到达右岸第8次渡河:人, 鸡, 从右岸回到左岸此渡河方案不可行第8次渡河:人, 米, 从右岸回到左岸此渡河方案不可行第7次渡河:人, 猫, 从左岸到达右岸此渡河方案不可行第6次渡河:人, 米, 从右岸回到左岸此渡河方案不可行第6次渡河:人, 从右岸回到左岸第7次渡河:人, 鸡, 从左岸到达右岸渡河成功第4次渡河:人, 猫, 从右岸回到左岸此渡河方案不可行第3次渡河:人, 米, 从左岸到达右岸第4次渡河:人, 鸡, 从右岸回到左岸第5次渡河:人, 鸡

17、, 从左岸到达右岸此渡河方案不可行6.药物中毒施救模型确定对于孩子（血液总量为2000Ml）以及成人（血液总量为4000ML)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小计量。解：模型分析：药物口服后迅速进入肠胃，胃肠道中药物的转移率即血液的吸收率一般与胃肠道中的药量成正比，药物又通过新陈代谢由肾脏排出体外，排除率一般与血液中的药物成正比，认为血药浓度是均匀的，可以将血液系统看做是一个房室，建立所谓一室模型。模型假设与符号说明：胃肠道中药物的排除率与药量成正比，比例系数记做（0），总剂量Tmg的药物在t=0瞬间进入胃肠道。血液系统中药物的排除率与药量成正比，比例系数记做（0）,t=0时血液中无药物。氨

18、茶碱被吸收的半衰期为5h,排除的半衰期为6h.模型建立：由假设1，,满足微分方程 （1）由假设2，满足微分方程 （2）模型求解：微分方程（1）可以分离变量，得到 （3）表明胃肠道中的药量随时间单调减少并趋于0，为了确定，利用药物吸收的半衰期为5h,即，得到将（3）带入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得 （4）表明血液系统中的药量随时间先增后减并趋于0。 为了根据药量排除的半衰期为6h来确定，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，这时候满足方程，若设在某时刻有。利用，可得 将带入（3），（4），得 （5） （6）利用matlab求解得孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为497.66mg，

19、引起致命的最小剂量为995.33mg。大人引起中毒和致命的最小剂量较小孩的翻倍。程序源代码： t=0:0.0001:20;syms xy=(exp(-0.1155*x)-exp(-0.1386*x);f=inline(y);max=max(f(t);total=200/(6*max)total = 497.6640 t=0:0.0001:20;syms xy=(exp(-0.1155*x)-exp(-0.1386*x);f=inline(y);max=max(f(t);total=400/(6*max)total = 995.32807.对于药物中毒施救模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求

20、解药物中毒施救模型的血液中的药量的变化并做图。解：模型分析：药物口服后迅速进入肠胃，胃肠道中药物的转移率即血液的吸收率一般与胃肠道中的药量成正比，药物又通过新陈代谢由肾脏排出体外，排除率一般与血液中的药物成正比，认为血药浓度是均匀的，可以将血液系统看做是一个房室，建立所谓一室模型。模型假设与符号说明：胃肠道中药物的排除率与药量成正比，比例系数记做（0），总剂量1100mg的药物在t=0瞬间进入胃肠道。血液系统中药物的排除率与药量成正比，比例系数记做（0）,t=0时血液中无药物。氨茶碱被吸收的半衰期为5h,排除的半衰期为6h.模型建立：采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到，血液中药量下降更

21、快。设孩子到达医院时刻（t=2）就开始施救，前面已经算出y(2)=236.5，新模型（血液中药量记做）仍是一阶线性微分方程，只不过初始时刻为t=2，当时，方程的解为程序源代码：t=2:0.001:25;z=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.693*t);plot(t,z)hold onr=0:0.001:25;x=1100*exp(-0.1386*r);y=6600*(exp(-0.1155*r)-exp(-0.1386*r);plot(r,x)hold onplot(r,y)程序运行结果：8.解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天出发，沿同一路径，必定

22、相遇。（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，32队赛5轮，n队需赛n-1场，若,则需赛k轮。（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8:10,8:20,那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，。（4）步行了25分钟，设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55。（5）放学时小狗跑了3分钟。孩子上学到达学校时小狗的位置不定，因为设想放学时小狗从任何位置起跑，都会与孩子同时到家。之所以出现位置不定的结果，是

23、由于上学时小狗初始跑动的方向华北地区确定。附加1.在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有名商人带名随从过河，船每次能渡人过河，试讨论商人们能安全过河时，与应满足什么关系。解：模型分析：问题可以看做一个多步决策过程。每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。模型假设与符号说明：1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

24、2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。3船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。4. 随从会听从商人的调度。第k次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4;第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,.过程的状态 S允许状态集合第k次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2; 第k次渡船上的随从数 k=1,2.过程的决策 D允许决策集合状态因决策而改变状态转移律求，使得，（S按转移律）由（4,4）到达（0,0）模型建立： （1） （2） （3） （4） （5）得到综合（4）得和 （6）还要考虑 （7）把（2）（3）带入（7）可得化简得 （8）综合（6

25、）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式 （9）模型求解：满足条件的点如上图所示：点移动由 （8）到达（6）时，可以认为完成渡河。因为移动的格数小于等于2，只有中心点（2，2）到（6）点和（8）点的距离为2，所以中心点（2,2）成为渡河的关键点。当我们移动到（2,2）点时，就无法进行下去。故4个商人，4个随从，船容量为2人时，无法安全渡河。初等模型在2.3节中考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级（桨手体重不超过73kg），建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。解：模型分析：赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。船靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前

26、进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大,增加的阻力将抵消一部分的动力。建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩，航行一定距离所需时间，之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程保持不变,那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度,然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的。模型假设1.各种艇的几何形状相同，艇的尺寸l, b,l/b为常数，艇重U与桨手数n成正比。这是艇的静态特性。根据所给数据作出的必要且合理的简化。 2. 艇速v是常数，前进时受的阻力f与s QUOTE 成

27、正比(s是艇浸没部分面积)。这是艇的动态特性。根据物理学的知识,运动速度中等大小的物体所受阻力f符合f与s QUOTE 成正比的情况。 3.桨手数为n=8不变，每个桨手体重记作w 在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变,且p与w成正比。这是桨手的特征。w, p为常数属于必要的简化,而p与w成正比可解释为,p与肌肉体积、肺的体积成正比,对于身材匀称的运动员,肌肉、肺的体积与体重w成正比。模型建立：又根据艇重U与桨手数目8成正比，所以艇和桨手的总重量W=U+8W1，设，a为常数。客服阻力做功功率为，因此总功率满足，且对于重量级八人赛艇由上述各式可得，因此，且已知又知赛艇总重，定义，从而而由阿基米德定

28、律，艇排水体积A与总重量W成正比，可得到我们就可以知道两种艇成绩比值的关系模型求解：根据模型，我们有重量级八人赛艇比轻量级的成绩领先率为：令得W1=86kg,W2=73kg,在接近1时，模型求解的结果表明86kg重量级的比73重量级的成绩大概好5%。用2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论一下雇员与雇主之间的协议关系。解：雇员的无差别曲线族是是下凸的，原因如下：当人们占有较少的工资时，愿意以较多的时间来换较少的工资，当人们占有较高的工资时，就会要求以较多的工资来换少量的时间。如图（2）雇主的计时工资族是，是工资率，这族直线与的切点的连线PQ就是雇主与雇员的协议线，通常PQ是上升的。

29、如图：设双方在点达成协议，当雇主想使雇员的工作时间增至时，用提高工资率的方法，应在协议线PQ上找出时间为的点，工资为。如果用超时工资的办法，应从点做某一条无差别曲线的切线（粗虚线），使切点的横坐标刚好是，若点在点的下方，则工资额，则第二种方法对雇主有利，否则，第一种方法。得到这个结果的条件是在雇员没有工作时和已经工作了时（其工资为），其无差别曲线族没有变化。如图根据2.5节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量解：模型分析：社区生活污水进入均流池的流量可以看做是以小时为单位间隔。根据以小时为单位间隔的污水流入量和从均流池到精化设备的恒定流出量，可以得到均流

30、池中污水（以小时为单位间隔，随时间变化）的容量，均流池的容积应该按照污水的最大容量并考虑保留一定裕量来设计。模型假设与符号说明：以表2社区一天的生活污水流量为依据，并保留25%裕量进行设计。模型建立： 记均流池中污水的容量为c（t），t=0,1,2，.，23，显然c（t）与流入量f（t）和恒定流出量g之间的关系为 经过转化 继而可得到 是的插值函数，t0是某一个初始时刻。又因为需要求出均流池的最大容量，就要令，可以求出t0，带入到。模型求解：由表二 再由散点图我们大致可以知道，有。利用MATLAB的插值函数spline，可以知道h时，达到最大值。利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求，再利用M

31、ATLAB求得最大值为，若考虑25%的裕量，可按照来设计均流池的具体尺寸。编程源代码：散点图h=0:1:23;y=150.12,115.56,84.96,66.6,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.6,250.92,261,271.44,273.96,279,291.6,302.04,310.68,290.52,281.16,248.4,210.24,186.84;x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,-,x1,t)hold onplot(h,y,x1,r*)均流池的裕量a=876.15;x=0:23;y=150

32、.12,115.56,84.96,66.6,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.6,250.92,261,271.44,273.96,279,291.6,302.04,310.68,290.52,281.16,248.4,210.24,186.84;h=0:0.001:23;t=interp1(x,y,h,spline);t1=t(2:22209);m=0.001*(sum(t1)-203.67*22.208;Max=m+a在2.6节中从机理分析的角度建立车速与车流密度的对数模型。解：模型分析：在车辆行驶过程中，将第n辆车的的位置和速度分别记作

33、和。在稳定状态下每辆车的速度和车流密度都是常数。若前面第n-1辆车突然减速，稳定状态被破坏，则第n辆车将施加制动力，随之减速，当两车速度差越大时制动力越大，同时当车流拥挤，即两车距离越小时，制动力也越大。经制动作用后稳定恢复。若加速，则可做类似分析。 模型假设1.车速v是车流密度k的函数，k= eq f(kj,e) 时，v=v1，k=kj（堵塞密度）时，v=0。2.在稳定状态下车速v及相邻两车的车头间隔d都相同，因而车流密度k等于1/d是常数。3.当第n-1辆车减速或加速致使稳定状态被破坏时，第n辆车施加的制动力或驱动力与两车速度差成正比，与两车间隔成反比，制动或驱动后稳定状态恢复。根据牛顿第

34、二定律和假设3可以写出微分方程 eq f(dvn, dt) = eq f(vn-vn-1,xn-xn-1) （1）其中是比例系数。注意到vn(t)和xn(t)之间的导数关系，（1）可写作 eq f(dvn, dt) = eq f(d,dt) (lnxn-xn-1) （2）对（2）两边积分可得 vn(t)=ln xn(t)-xn-1(t)+c （3） 其中c是待定常数。根据假设2，稳定状态恢复后vn(t)=v，xn(t)-xn-1(t)=d= eq f(1,k) ,于是（3）式为 v= -lnk+c （4）利用假设1的条件确定（4）式中的和c， =v1 c=v1lnkj即得到车速与车流密度的对数

35、模型: 5.乙安全线表为；可以用MATLAB计算出其导数，通过导数及二阶导数就可以说明相关结论。在用MATLAB时，取求导代码： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); dy1=-diff(F,x)/diff(F,y) %一阶导数 dy1 = (50/(1/2)(x/y)*log(1/2)/(y*(50/(1/2)(x/y)*x*log(1/2)/y2 - 1) dy2=diff(dy1,x)+diff(dy1,y)*dy1;%二阶导数 dy2=simplify(dy2) dy2 = (50*(1/2)(x/y)*y3*log(2)2*(1/2)(x/y)*y - 100)/(5

36、0*x*log(2) + (1/2)(x/y)*y2)3 绘制函数图像:代码： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); ezplot(F,0,100,0,100)图像由此看出来是一条上凸的曲线。通过改变和取值，可以判断出曲线如何变化。代码： clear syms x y F=y-50/(0.5(x/y); G=y-60/(0.5(x/y); ezplot(F,0 100,0 100) hold on ezplot(G,0 100,0,100)图像：其中data1的取值60，data2的取值50.同理可知。图像如下：代码： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); G=

37、y-50/(0.7(x/y); ezplot(F,0 100,0 100) hold on ezplot(G,0 100,0,100) 图像：其中data1的取值0.5，data2的取值为0.7.6.在2.7节核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化：（1）甲方提高导弹导航系统的性能。（2）甲方增加导弹爆破的威力。（3）甲方发展电子干扰系统。（4）双方建立反导系统。解：列表如下甲的残存率乙的残存率甲的威慑值乙的威慑值（1）不变变小不变不变（2）不变不变变小不变（3）变大不变不变变大（4）变大变大变大变大分别作图：（1）甲方提高导弹导航系统的性能。乙的残存率变小而威慑值不变，说明乙安全区

38、应该减少，起点Y0不变，虚线上移。甲方增加导弹爆破的威力。甲的威慑值变小，说明X0应该左移，整体虚线左移。（3）甲方发展电子干扰系统。甲的残存率变大而威慑值不变，所以X0不动，甲安全区变大；乙的威慑值变大而残存率不变，Y0上移。（4）双方建立反导系统。由于两方0威慑值和残存率均变大，前者使平衡向右上方移动，后者使平衡向左下方移动，综合情况无法确定。下图两种虚线都是可能的结果：7.解：模型分析：包装越大的商品，重量越重，而相比小包装同重量的商品往往又比其便宜，这与生产成本、包装成本和其它成本因素有关，比如销售一样重量的商品，包装小的商品使用的包装成本较包装大的商品高。其中单位重量价格等于总价格除

39、以总质量。 比例方法是一般指正比例与反比例，正比例指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的比值一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系。而反比例指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量他们的关系叫做反比例关系。而本题中的比例关系多为正比例关系。模型假设： 根据以上分析作如下假设：不考虑商品的生产效率和包装效率。包装材料、形状不因包装大小而有较大区别。商品是一样的产品，不包含不同成分。符号说明：商品价格：P；商品重量： ；单位重量价格：c；商品包装面积：S；商品总成本：

40、C；生产成本：C1；包装成本：C2；其它成本：C3模型建立：商品包装面积与重量的关系：因为形状一定时，一般有S=L2 ，=g*g1*L3（g为重力加速度，g1为物体密度）推出S 2/3 ，所以设S =a*2/3生产成本与重量的关系：生产成本主要与重量成正比，所以设C1=b*包装成本与重量的关系：包装成本与包装表面积成正比，所以设C2= c* S=a*c*2/3其他成本与重量，商品包装面积无关，为固定常数。（a, b, c为大于0的常数）因此总成本：C=C1 + C2+ C3 = b* +a*c*2/3 + C3 =x *+ y*2/3+z（x, y, z为大于0的常数）因此单位商品价格：c =

41、C/=x +y*-1/3+z*-1模型求解：（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。又因为形状一定时一般有 s和w(2/3)成正比，故商品的价格可表为C=Xw+Yw(-1/3)+Z （X,Y,Z 为大于0的常数）。（2）单位重量价格 c=C/w，代入C可知，显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜；c的曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。9.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 QUOTE 应多大(如下图)。若知道管

42、道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢？解：取布条的边缘宽度为 QUOTE 带宽，则可将此看成在管道上的上升的螺旋曲线则满足螺旋方程：为上旋转的角度设曲线上一点恰好延曲线运动上升的高度恰好为L，带入上面方程则有要使布条不重叠则上升一周的高度L恰好为所以有：解得：设已知的管道长度为l,需要布带长度为s,不考虑两边影响时，布带覆盖道，则两者表面积应相等，所以有：解得如果是其他形状只需要知道管道截面周长h，则可知表面积hl，利用表面可求出所需布带长度为将管道展开如图4，可 QUOTE ，若d一定， QUOTE 若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为若考虑两 端的影响

43、，则应加上对于其它形状管道，只需将改为相应的周长即可。程序源代码：function arfa,chang=suru(d,w,l)arfa=atan(3.14*d/w)chang=l/w*sqrt(w2+d2)+2*sqrt(d2-w2运行结果 假设d=3,w=1;l=9;运行程序结果如下suru(2,1,9)arfa = 1.4129chang = 23.5887ans =1.412911.雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。解: 模型分析：雨滴在重力和空气阻力的作用下是匀速v下降的。模型假设和符号说明：设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的特

44、征尺寸L，重力f1,空气阻力f2., 雨滴下降速度为v.模型建立：根据已知条件可知： , .可得我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的，从而可以得出： f1=f2 .又因为由以上关系可以得出：简单的优化模型1.在3.1节贮存模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。解模型分析：生产周期短，产量小，会使贮存费用小，准备费大；而周期长，产量多，会使贮存费大，准备费小。所以一定存在一个最佳周期，使得总费用最少。我们先考虑不允许缺货的情况，再考虑允许缺货的情况。模型假设与符号说明：在不允许缺货的情

45、况下，考虑生产周期和产量均为连续的情况。做出如下假设：1.产品每天的需求量是常数。2.每次生产准备费用为。3.生产能力无限大（相对于需求量），当贮存量降到0时，件产品立刻生产出来供给需求。4.每天每件产品的贮存费用不变。5.购买单位货物本身费用不变。6.每天平均费用为。模型建立：对不允许缺货的模型，假定每隔时间补充一次贮存，那么必须满足如下关系，即供需平衡。准备费用为，每件货物费用，总的准备费用为，则平均费用为。而时间内的平均贮存费为。 则=+。模型求解：由微积分可以知，得。由于关于的二阶导数大于零，可以知，。模型建立：对允许缺货的情况，设单位时间单位物品贮存费用为，每次订购费为，缺货费为，产

46、品每天的需求量是常数，设最初贮存量是，可以满足时间的需求。在的时间内处于缺货状态。则时间所需贮存费，时间的缺货费，订购费为，则总平均费用为 模型求解：用多元函数求极值，对其进行求偏导数。求解即得：。所得结果与上面一致。当，即为不允许缺货的情况。建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr。在每个生产周期T内，开始的一段时间(0tT0)一边生产一遍销售，后来的一段时间（T0tr和k=r的情况。解模型分析：应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系。一般来说产品销售速率不变，只能调整生产速率，使得总费用最小。模型假设：为了处理的方便，考虑连续模型，

47、即设生产周期T和产量Q均为连续量。根据问题性质做如下假设：产品每天销售速率为常数r每次生产准备费为c1,单位时间每件产品贮存费为c2贮存量降到零时，产品又开始生产出来供给需求，即不允许缺货模型建立：将贮存量表示为时间的t的函数q(t)，t=0生产0件，在T0之前，q以k-r的增长率增加，T0之后以r需求率减少，直到q=0。qqrk-rrk-rTtTtTT0(0tT0)内的贮存费是，（T0tt1）火势蔓延速度降为，其中消防队员的灭火速度可以设为；显然应有。每个消防员单位时间的费用c2，于是每个队员的救火费用是c2(t2-t1)；每个队员的一次性支出是c3。模型建立：由于消防员的平均灭火速度只与火

48、势相关，故只需在原模型（灭火速度恒定）进行替换即可。根据假设条件2,3，火势蔓延程度在线性地增加，在线性地减小。记时，。烧毁面积有，而t2满足于是根据假设条件1,4，森林损失费为，救援费为。将（1），（2）代入，得到救火总费用为C（x）即为这个优化模型的目标函数。模型求解：求x使C（x）达到最小，令，代入可以得到应派出的队员人数为4.（1）证明若条件（3）成立，则是单调减、下凸的曲线。由隐函数求导规则，在条件（3）成立的条件下，由于等效用线的斜率为，故可知其一阶导数小于零，而二阶导数由条件（3）可知大于零，故为单调减，下凸的曲线。（2）验证（4），（6），（8）式给出的效用函数是否满足条件（3

49、）。第4式，效用函数为，验证的图像，取一组特殊的值，绘图可知程序为 ezplot(1/(1./x+2./y)-1,0,5)求导数程序为 syms x y; f=1/(1.x+2.y); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy第6式，效用函数为，验证的图像。取一组特殊的值，绘图可知程序 ezplot(x.(1/2)*y.(1/3)-2,0,5)求导程序为： syms x y; f=x.(1/2)*y.(1/3); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy dydx = -(3*y)/(2*x) 第8式，由题知：效用函数

50、为，验证的图像。取一组特殊的值，绘图可知图中取。程序为：ezplot(x.(1/2)+2*y.(1/2).2-10,0,5)对其求导，可知一阶导数小于零，二阶导数大于零。求一阶导数程序： syms x y; f=(x.(1/2)+2*y.(1/2).2; fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy dydx = -y(1/2)/(2*x(1/2)（3）若消费者的效用函数为（8）式，求最优比例，并分析参数a,b的意义。设效用函数为，则由效用最大化模型可知，在甲乙两种商品价格为时，消费者准备付出的钱是，购得甲乙两种商品的数目是，满足时，使得效用函数最大，可知其满

51、足。通过求偏导数知，则可知本题最优比例为，其中分别表示对商品甲乙的偏爱程度。（4）若商品甲的价格p1增加，其余条件不变，讨论消费点Q的变化。商品甲的价格增加，由于增加，等效用线的斜率增大，在同一条等效用线上，消费点会向左移动。（5）若消费者购买商品的钱s增加，其余条件不变，讨论消费点Q的变化。当买商品的钱增加，由于商品单价没有发生改变，则等效用线的斜率不会发生变化，而会使等效用线向右上方移动，或者是切线的截距变大，使得消费点向右上方移动。（6）推广到消费者购买m(2)种商品的情况。购买多件产品时的情况，有两件商品情况推广，设购买种商品，单价分别为，设消费者拥有的钱数为，设分别购买这种商品件，则

52、满足，所求的效用函数为一个维的函数，记为，即求在条件下的。在3.5节最优定价模型中，如果考虑到成本q随着投入x的增加而降低，试作出合理的假设，重新求解模型。解：模型分析：生产者的利润等于产品的产值减去成本，当然这里假定产品可以全部销售出去变成收入。模型假设：模型建立：记生产者对产品的投入量为x，产值和成本都是x的函数，分别记做f(x)和c(x)，则利润r(x)为使利润达到最大值的投入量可以从得到，即有在市场经济中除了少数生活必需品外，大多数商品的销售量与价格直接相关，价格p越高，销售x越小，简化假设二者成线性关系将都代入上式，得模型求解：考虑到成本q随着投入x的增加而降低，不妨设。当给定后容易

53、求出使利润达到最大的定价为6.考虑最优定价时设销售期为，由于商品的损耗，成本随时间增长，设 ，为增长率。有设单位时间的销售量为 （为价格）。今将销售期分为 和两段，每段的价格固定，记为。求的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期内的总销售量为，再求的最优值。解：模型分析：生产者的利润等于产品的产值减去成本，当然这里假定产品可以全部销售出去变成收入。根据不同阶段时期成本和销售量的不同，要进行分段处理。模型假设：模型建立：按分段价格，单位时间内的销售量为因为 .所以总利润为=模型求解：, 就可以得到最优价格为：在销售期T内的总销量为：于是得到如下极值问题：于是利用拉格朗日乘数法，解得：即为

54、的最优值.数学规划模型1.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需要按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府以及代办机构的证券总共至少购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.3%，投资应否改变？若证券C

55、的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解模型分析：问题分析 这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 模型假设：1.假设银行有能力实现5种证券任意投资。2.假设符号0表示没有投资。3.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资。4.假设各种投资的方案是确定的。5.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资。6.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的

56、。7.假设各种证券是一直存在的。模型建立：决策变量 用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A、B、C、D、E证券的数值， 单位：百万元 目标函数以所给条件下银行经理获利最大为目标。则由表可得： MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1） 约束条件 为满足题给要求应有： X2+X3+X4 = 4 (2) X1+X2+X3+X4+X5=10 (3) 6X1+6X2-4X3-4X4+36X5=0 (4) 4X1+10X2-X3-2X4-3X5=0 (5) 且 X1、X2、3X、X4、X5均非负。 模型求解：（1）设投资证券A，B，C，D，

57、E的金额分别为 （百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型 Max 0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5s.t X2+X3+X4大于等于4 X1+X2+X3+X4+X5小于等于10 （2*X1+2*X2+X3+X4+5X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于1.4 即6X1+6X2-4X4+36X5小于等于0 （9X1+15X2+14X3+3X4+2X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于5 即4X1+10X2-1X3-2X4-3X5小于等于0X1，X2，X3，X4，X5大于等于0用LINDO求解并要求灵敏性分析，得

58、到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.2983637 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 3.818182 0.000000 2) 0.000000 0.029836 3) 0.000000 0.000618 4) 0.000000 0.002364 RANGES IN W

59、HICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.027818 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOW

60、ABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 3.818182 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.883721 4 0.000000 231.428574 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000即证券A，C，E分别投资2 182百万元，7 364百万元，0 454百万元，最大税后收益为0 298百万元。模型的评价：兼于银行投资问题对银行的重要性，本题中我建立了相应的投资决策最优化模型，为银行在投资过程的决策提供了参考，我的模型有以下优点：对问题一，兼于银行的1000万有不同