专题提升：平面向量

1、专题：平面向量【考纲解读】1理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义； 掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义， 了解向量线性运算的性质及其几何意义了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘 运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量 数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用 数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识网络构建】征跤运理ffmi枳公成|征跤运理ffmi枳公成|几何叶算 |

2、测虽【重点知识整合】1平面向量的基本概念2共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使匕=入=,y , b= , y ,则ab的充要条件是y = y1 1 2 2 1 2 2 1或者y y=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它 1 2 2 1们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写为=，即对应坐标的比值相等.3平面向量基本定理对于任意a,若以不共线的向量e, e作为基底，则存在唯12一的一组实数对入，使8=入e + ue124向量的坐标运算a= , y , b= , y ,贝a+b= + , y +y , ab= , y1 1 2

3、 2 1 2 1 2 1 2 1y ,入8=入，入y .2 1 15数量积1已知a, b的夹角为a,b=ee wO,n,则它们的数量积为ab=|a|b |cos。，其中|b|cos。叫做向量b在a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律， 但不满足结合律，即a b cHa b c；2 若 a= , y , b= , y ,贝H a b= +y y ；1 1 2 2 12 1 23两非零向量a, b的夹角公式为cos 0=；4| a2 = a a5两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算1零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意

4、向量都共 线，记为02长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单 位向量为3方向相同或相反的向量叫共线向量平行向量.例1、已知关于的方程:閒 2 +应2 +応=0日，其中点C 为直线AB上一点，0是直线AB外一点，则下列结论正确的是点C在线段AB 上点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点以上情况均有可能解析：据题意由于乩s,匚三点共纷 故由QC=-0Aou 2x,可得一远一2-=1, 解得.1 1!即左=亦+卫馬 化简整理可得；C*C ?A = fm M 二丹0 =碱 故点.匸在线段加的延长线上且点E拘线段卫Q的中点.答案：C【

5、方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点1正确理解向量的基本概念；2正确理解平面向量的基本运算律，a+b = b + a, ab=ba,入ab= 入ab与 abcHabc；3相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误考点二平面向量的数量积1. 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值 为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定.2求非零向量a, b的夹角一般利用公式cosa,=先 求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a在向量b方向上的投影 为 TOC o 1-5 h z 例二设向量m亡满足房=k = h少七=一占则

6、心+耳=jA.V：B.VSU込D.曲解析：依题意得:+E- =虫+4占二+4卫-由=5+4：；=；,则住+】禺=寸1.答熱B【方法技巧】1准确利用两向量的夹角公式cosa, b=及向量模的公 式a =2在涉及数量积时，向量运算应注意：ab=0,未必有a=0,或b = 0；| ab | W | a | b | ；abc与abc不一定相等考点三平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研 究三角函数的性质等问题，是髙考中经常出现的题型.= cos a , sin a , b = cosB , sinB, c= 1,0.1求向量b+c的长度的最大值；2 设 a =

7、，且 a丄b + c,求 cosB 的值.解1法一：由已知得b + c = cos B 1, sin B，则b + c 2 = cos B 12 + sin2 B =21 cos B .*/1WcosBW1,：0W b+c 2W4,即 OW b+c W2 当 cosB= 1 时，有 | b+c| =2,ma所以向量b + c的长度的最大值为2法二:T|b|=1, |c|=1, Ib+c|W|b| + |c|=2当 cosB = 1 时，有 b + c=2,0,即|b + c|=2.所以向量b + c的长度的最大值为2丨？法一1由已知可得占十匚=：g幼一h 血妙iaco 盟 +co 妝105(.

8、注CO 30(.丄出+勺，.处卩 + 门=工 即 cos(a)=t?asct.由空=于 S cos; ；_弟=ws|f.fi= 2A?r+ fi= 2A7T,上匚忑于杲coSJ或 亡哪=1.法二：若则门=(咅，又由曰=如、511,尸L10,得丁卩+门=【迄，芈讥5昭一1, tinffi匕丄+0 .心越+门=：,即m即+扇叩=1. .冷叩=1 为軌 平方后化简得m飒c翊一 1)=二 解得两= 或(?坤=1一【难点经检验，匚坤=J或co=l即対所求.【难点探究】难点一平面向量的概念及线性运算例1、la, b是不共线的向量，若【答案】DD【解析】只藝疋益共綁卩可，根据向重共线的条件即存在实執.使得證

9、=盛 目卩m十二3=戈, 口十由于处3不共线，根据平面向量基本走理得1 = 4二且珀=心消掉斤 得 Z-0，则+的最小值为2设向量a，b满足a =2, b = 2,1,且&与匕的万向相反, 则a的坐标为.【答案】1C 2 4,2【解析】由于畐，汞不共线，根据平面向量基本宦理丄一4门且消掉汕卩得用 _ 用 _ il十?1=器故补十n=瓠十十勺=K5十十警)三詁十4 )=乡正确选项対C.州 a _km a/ - . m 12._匸、因沟肚与E的方向相反，根据共线向重定义有=口=丄见工J), 所以=:：., z).由|创=2运，得F】=2逅今;.=一二或1=2(舍去 故 3=84, 2).【答案】(

10、1)A洱尹解析】 因酋Q十3 - 1吕斤十3$十说did处一go创卩COG = C-OGfti T所以P-曲真命题，P1為假命题.又因対玄一占1台WF 2加+Q |宀1今亍胆台绷b|cosi?=cos以曲E T,兀、所以洌対W咒辺上的高真命题，W咒辺上的高:石设上丄0B=9,那么cosB=兰二，则 品F= Ql w& =|盘| tl等于03話賤=与椭圆相交于不同的两点M, N均不是长轴的端点，AH丄MN,垂足为 H 且得 3+422+8m+4m212 = 0,由 A0 得 42+3m2aUA=恵芳+互U區+狀=Ik +站贰+农塞+豉感=丄.II： +孝:兀+ 2) 十rg = CbV Ju 即

11、;1+弹丸応+; 1+帥;兀+亡汁4 +咄=复.4車一1目加+?畔= ：，.=1削或2=；也 均适合.当；-|m时，直线过.4点，舍去.当Q和 时，直绽丁=汪+衲过定点(一【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向 量在其中起着关键作用.本题的难点是第三问，即把已知的垂直 关系和向量等式转化为的方程，确定，m的关系，把双参数直线 系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的.【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一条渐近线方程为y=，右焦点F 5,0,双曲线的实轴为AA,、N1 2两点.1求双曲线的方程；2求证：，三点共线，+3yy=0，。 0丫=,即

12、皿同理得”0【答案】3【解析】因癘阮,所限有2工4二0且十4二0,解得工二2, 1 = -2 -即s =所以7 + =曳一1” 应斗为=JI6,选左【答案】C【解析】利用晡法可得选项C是正确的，.也十创二風一即则鼻力共鏡 朋存在实 数几淒得I=z5.如选项A： I十纠二网一E时，弘b可芮异向的共线向壘选项3：若以丄乩 由正方脱得 汁勿=|处|0不成立；选项D：若存在实数J,使得沪顶 处&可次同向的共 线向重，此时显然a+b = a b不戚立. TOC o 1-5 h z 十一7Ta b =a - -ba II b a = 2b a / b | a 1=1 b I=-=-I a I I b II

13、 a I I b I I a I I b I I a II b I【答勒弓【解析】棍据向量加法、减法的几何意义可知与0-创分别为以向量孑力为邻辺的 平行四边形的两条对甫线的忌 因沏旷心应-外所凶该平行四辺形为袒形所以应丄為 故选E|PC|2(4)2|PC|2(4)2=16+fl|PB| 2=(4)2+(4- b)2=16+9b 216PAI2 -(彳-a)2 + 9b 216PAI2 -(彳-a)2 + (4)2 -9a 216b 2+ -16別2+剛=a+譽+带+b=10（豈+挣=10旳2PA2 + PB2|PC|2-10 ABBCbc =石 77 2迈 V2T【答案】A【解祈】由下團知 盍

14、五二 岡匹”以江一的二2 X匪卜_5沟二1.Hn-.ho汀二_又由余弦宦理知“5丘二越 nx，,解得肚仝-2BC1AB BCBACABCBC = BA BACABCBC = BA - CA 二(2,3)-3 = (-2,-4)。卩=諾濮 却 a。 TOC o 1-5 h z nf 1 ib。a 21 n e Z a b 2b a =巴 cos9 cos9 b a =巴 cos9 cos9 cos9 b。a =2 2b b I b I21 a。b =cos9 = 1 a。b =cos9 = 2cos29 2I b Ib。a I n e Z b。a =cos9 =2I a I2 I a I 2co

15、s9 9 e (0,-) 1 a。b 2 a。b = - 0(0,0), P(6,8) OP 竺 OQ Q (A) (-7迈,-、/ (B)424 (-A-2.-;2) (C) (-4 6, -2) (D) (-4J6, 2)【答案】A34【解析】【方法一设。户=(10 COiJOsin = 35 & =51D!55则 OQ = (10 cos(0-X losing- ) = ( 了血厂JT).4437【污法二】将向童= 按逆时针旋转于后得OM =i：S:-6),则 OO = -厶丽+尿)=-忑-Q -AABCAP = X AB AQ = (1九)AC 九 e R BQ CP 二一1 九1 士

16、 “2 2 23 士 2 迈2A【解析】如图 占kA3 = b:AC = c，则 |d|=|c| = 2=&-c =2,Y BQ=3A-Ad = -(l-/y9 CP = CAAP = . ,由 BO CP = - 得 TOC o 1-5 h z 22qb - fl - A)c (c - zfi) =-1) c -A& -(A -x2-1)5c=-、民卩n3.r“14(z-l)-4Z-2(；Z-A 1= 2,整理-4z-l=0,即(2 丄一1 厂=Ch 解得 Z=-X丄选A.a, b 45o a 1,2a b = /10 b =【答案】SV2【解析】因为2a-b = 4lQ.所以(馬&)；=

17、即4 -4-i + jfrp =10,所-q以4 +秆-锢8佔 =10，整理得印-活丽6 = ,解得1 = /2或可一Q (舍去)-是 BC 的中点，AM=3, BC=10，则AB.AC =【答案】-16【解析】法一此题最适合的方法是特例法.假设AABC是以AB=AC的等腰三角形，如图，AM=3, BC=10, AB=AC= p34cosZBACcosZBAC= 34+34-100 = _8 .2 x 34 一_17AB AC AB - AC cos ABAC = -16法二:AB AC = (- - BC + AM) (丄 BC + AM) = - - bC 2 + AM2 =-x 102

18、+ 32 =-16224413【2022高考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中, ZA = J3边AB、AD的长分别为2、1，若m、N分别是边BC、CD上的点， 且满足LB叫=空，则AM AN的取值范围是。IBCI I CD I【答案】25.【解析】设则 SM =a8C = AAD；DN = (J-a)DC = (1-a)AB,则AM-AN=（AB -羸厂X矿厉厂）=石2而）而十（1小屈又/ AS-AD=V.E 在 DC 边上的射影，蓼想让DE-DC最大，即让射戢最大，此时三豈与E点重合，射DC,所 以长度为1-16【2022髙考真题安徽理14】若平面向量a,b满足：2a-b 3， TO

19、C o 1-5 h z 则ab的最小值是。【答案】982a - b 3 o 4a2 + b2 4 a b -4ab n 9 + 4ab -4ab o ab -817【2022高考江苏9】（5分）如图，在矩形abcd中，AB = -J2 , BC = 2, 点 E 为BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 ABAF = 远，则AEBF的值是【答案】込【答案】込【解析】由忑二疋=忑,得阿片丽盟比皿养由矩形的性质得IjAcosZKdZJo 捆=匸更hf=&, nr二hcf=V5x记址和丽之间的夹角两丘 UEE二FEC = B，6 = a-fia又V5C = 2?点三共3匚的中点? -3E = la

20、.: 左二窈彳疋冃豆中:皿呂二匡口乔卜卿 空一涉 =|左冃丽h m 口ig”1 一血空如#) =屈晌斗苏陰辭罔血忙阴血沪赵NCJ3HFJ：沁迈| J5 1二JL【2022年高考试题】12022年高考四川卷理科4如图，正六边形ABCDEF中， BA + CD + EF A0B BE C ad D cf答案：D22022年高考全国卷理科12A0B BE C ad D cf答案：D22022年高考全国卷理科12设向量a、满足=,a-b = -2，=600，则的最大值等于A2B-3 J2D1B构造 AB = a , AD = b , AC = C ,ZBAD = 120,上 BCD = 60 所以 A

21、, B, C, D 四点共圆， 可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为2二、填空题：12022年高考浙江卷理科14若平面向量，B满足卩卜1，昨1，且以向量a，B为邻边的平行四边形的面积为丄，则a与B 2的夹角e的取值范围是。【答案】亡竺6 6【解析】2X丄aillsine=又, a = 1,p| 1，又2 2 20 G 0,兀,e G ，孚6 622022年高考安徽卷理科13已知向量a,满足(a2b) (a-b)=6,且 =6,且 ab = 2，则a与b的夹角为【答累】5【解析】(a+2b-(a-b = 则才+ a即 F 十：由-*労二a-b =L所囚um仏云=十丄所川a-b =L所囚um仏

22、云=32022年高考重庆卷理科12已知单位向量C,7的夹角为60。，则i j解析：“32 +cj2 一 4c c f 4 2 一 4c c f 4 +1 - 4 x cos60 二 J3i j42022年高考安徽卷江苏10已知孑,e是夹角为2兀的两个单2 3位向量，e = e-2e,e = ke+a,若ee二o，则的值为1 2 1 2【答案】5【解析】a-b = (e -2e )(ke + e ) = k? + (1 一2k)e -e -2e 2 = k + (1 一2k)cos 2 -2 = 解 12 12 1 1 2 2 3得k = 54【2022年高考试题】(2022全国卷2理数)(8)

23、 mbc中，点d在ab上，cd平方 ZACB 若 CB = a， CA = b， |a| = 1， |b| = 2，则 CD =(A) 1a+2b (B) 2a+lb (C) 3a+4b (D) 4a+3b33335555【答宪】E【解析】因为CD平分【解析】因为CD平分Z.4CB,由角平分线定理得単|LCAPEI1CB-I三 等 分点.， 且 AD = AB = (CB-CA)33、2 一 12 - 1 -CD =CAAD =-CBCA=-a-b,故选弓.6 （2022辽宁理数）8平面上0,A,B三点不共线，设鬲=,OB = b，则厶0AB的面积等于A Ja |2| b |2 -(ab)2

24、B Ja bl b I2 +(ab)2C1 罰a bl b I2 -(ab)2 D1 点a bl b I2 + (ab)222【答案】C 【解析】三角形的面积S二 J a I2I b I J a I2I b I2 -(ab)2 =1 J a I2I b I2 -(ab) cos2 2、 2、cos2 =11 a II b I sin 7 （2022重庆理数）2已知向量a，b满足a b = 0,|a| = 1,|b| = 2,，2i a IIb2i a IIb丨匸则 |2a - b =2、迈解析：|2a -b = J(2a -b)2 = ,;4a2 -4a -b + b2 =、:8 = 2、辽8

25、 (2022四川理数)(5)设点M是线段BC的中点，点A在直线 BC 外，BC2 = 16,丽+AC = ab-ac|,则am| =(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1解析:由卫C =16,得3C =4-.AB-AC = AB-AC = 5C =4而貝丘+且匚=2故込W = 2答案：C9(2022江西理数)13已知向量a，b满足la = 1，bl = 2，a与b的 夹角为60，则|a-b =【答案】朽【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三 角形法则、余弦定理等知识，如图a =OA, b = OB, a - b = OA - OB = BA， 由余弦定理得：|a-b|“10(2022 广东理数)10 若向量a=(1,1,), b=1,2,1, c =1,1,1, 满足条件(C - a) - (2b) =-2,则 x =解析：c-a = (0,0,1 x)， (c-a)-(2b) = 2(0,0,1 x)-(1,2,1) = 2(1 -x) = -2，解得11 （2022江苏卷）15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系Oy中，点A1,2、B2,3、C2,1。 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 设实数t满足ab-tOCOC =0,求t的值。