专题14 空间点点距、点线距、点面距的求法

1、第14讲：空间点点距、点线距和点面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.【基础知识】一、空间的三种距离点点距三两点扎B之间的线段加 的长度.常见求法几何袪把谨线段旗骂三角形中解三角殛.向量法利円公式I肿=兀+Ol曲+也疔 求.趴点蛀距点p到直缕&的距离曲点P到直蚩U的垂駅的长.常见魅m（I）几诃法；是扶或作直裳疣05垂线，再求垂裁段的此氐 TS娶耙垂聂段啟 再三角慝中去解三角形.向量法利用点直到直裁应的距藹公式 求斛 其中Bea, 是直红盘的方向山呈3、点到平面的距离：已知点P是平面a外的任意一点，过点

2、P作PA丄a，垂足为A，则 PA是点P到平面a的距离。即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个 平面的距离.常用求法：几何法：作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角 形中去解三角形；等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P到平面ABC的 距离，如果已知点C到平面PAB的距离，则可以根据VP罰广VC_PAB求出点C到平面PAB的距离；向量法：如下图所示，已知AB是平面a的一条斜线，n为平面a的法向量,AB - n 则A到平面a的距离为d二一-一 n二、以上所说的距离（点点距，点线距，点面距）都是对应图形上两点间的最短距离。所 以均可以用求函数的最小值法求各

3、距离.。三、以上距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解，体现了数学中的转化 思想，把空间的问题转化为平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题解答。四、在三种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。五、在这三个距离中，求点到平面的距离是重点和难点。【方法讲评】空间点点距方法一 使用情景 解题步骤方法二几何法把该线段放到三角形中比较方便解三角形 把该线段放到三角形中解答。向量法使用情景解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。使用情景建立空间直角坐标系T分别求出两个点A, B的坐标T代入空间两点间的解题步骤距离公式 I AB 1= J(x - x )2 +

4、 (y - y )解题步骤距离公式 I AB 1= J(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )21 2 1 2 1 2例1 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点0 是原正方形的中心，求：EF的长；折起后NE0F的大小.律如團，IM 0点为廈点建立空间直角坐标系旷设正方形敬边长期码则占(0， 逻芯0)(至 毋0,0)比血 逻芯0)(0Q 逻乱疋4占2222斗4 斗C0I莎卩=咨咋啓3当%务尸=茲8 = 1斗斗 斗斗斗2辰仪一与咅斗 斗41, Ji、加斗斗斗4 斗斗OE=-.OF=. co5 OEjOF l-=220E0F【点评1(

5、1)本題考查利用空间向量的坐标运算强量祀公式朮解决立体儿何问題：建立空间直角坐标系方式有多种，其中以&点棒点，筋广亠00气丙向册工轴、，轴、丁轴的正方向最対简单【变式演练1】如图，正方体 ABCDA1B1C1D】的棱长为1, P、Q分别是线段曲】和BD 上的 点，且 D1P : PA=DQ : QB=5 : 12. 求证PQ平面CDD.C.;求证PQ丄AD1 1(3)求线段PQ的长.方法一使用情景解题步骤方法二使用情景空间点线距几何法比较容易找到点在直线上的射影，解三角形比较方便。找到或作点在直线上的射影t把该垂线段放到三角形中解答。向量法找点在直线上的射影比较麻烦，解三角形比较困难，根据已知

6、条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系T分别求出直线a的方向向量a，两个点A,B的坐标,其中A电a ， B e a t代入点到直线的距离公式d = I d = I AB |2 -2，其中Beaa是直线a的方向向量图例2 正方形ABCD的边长是2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面 角（如图所示）.M为矩形AEFD内一点，如果ZMBE=ZMBC, MB和平面BCF所成角的正切值图1为2，那么点M到直线EF的距离为。解：过M作M0丄EF，交EF于0,则M0丄平面BCFE如图所示，作0N丄BC，设0M=x,1又 tanMB0= q，: B0=2x1又

7、SMBE= 2 BE MB SinMBE= 2 BE ME TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 11S BC MB sinMBC BC MN MBC 22ME=MN，而 ME=J5x2 -1，MN= ;x2 +1，解得【点评】（1）该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题 来处理。（2）该题是利用几何法求的点到线的距离，其中主要是用到了解三角形的知识。【变式演练2】平面a内有RtAABC,ZC=90,P是平面a外一点，且PA=PB=PC,P到a的 距离是40 cm,AC=18 cm,则点P到B

8、C边的距离是-.肓法一 康用情景 解题歩骤方法二 便用情養点骨平面的距离几何袪 点在平面的射器隹置比较容易卞左.找T作-证（定义）T求（解三角形）等体积法点:和平面内的点构成一个二兹锥，而二薮锥B9个咼已知解題歩骤利用=冬一曲T方法向量法康用情景点在平面内的射聂位買不好爾定.根据已知条件比较分建立半口甌写出乜 的坐标.解题步骤建空间直角坐标系T求平面兌的袪向童科求什面的斜童卫目宓坐标例3如图已知四棱锥PABCD,PA丄平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,ZA=90且AB/CD,1AB= CD.2| pf |点F在线段PC上运动，且设而仏问当入为何值时，BF/平面PAD?并证明你的 结论；二面

9、角FCDB为45，求二面角BPCD的大小；在(2)的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.解=(1)当兄二1时平面R4ZX证明=昵 PD 中点 则 EF/血，且EF = - CD.AS /= - CD.1 2化四辺形ABFE为平行四辺形.EF/AE.又 AE 匚平面 PAD .- KE/ffi FAD(2)V FJ.TffiABCD, CD 丄二 CD 丄FD一 一 加兩是二ffi角的平面角ZPD.4 = 45APAD两等屢直角三角Jg/.虫E_ 啟 T CD -血?=AE_ CD:.AE 平面 PCD 又 BF/AE, . . BF _平面 PCD. 丁 C 平面 PBC,

10、平面PCD丄平面PBC. Htlfi角0FCD的犬小対90-(3)在平面PCD内作EH丄PC于点H,由平面PCD丄平面PBC且平面PCD A平面PBC=PC知: EH丄平面PBC.在 RtAPCD中, PC =：PD 2 + CD 2 二、.17，EF二3代入得:EH35417.即点E到平面PBC的距离为3 3417在 RtAPEF中,EH - PF ，EF二3代入得:EH35417.即点E到平面PBC的距离为3 厶404是二角 A-SC- 的平而气在 RtAOO 中，血0 二 Jo& 十耳；二十 21 二 2胎,在R迖皿中，cosZAOA1 = 押+的-占=2AOxAO5得：二面角A - B

11、C -叫的余弦值为金【反馈训练】1.如图，正方体 是（）ABCDAiBiCiDi的棱长为1,E是A”的中点，则E到平面ABCR【反馈训练】1.如图，正方体 是（）如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P,它到直线A”】与到直线AD 的距离相等,则动点P所在曲线形状为（图中实线部分）（）1 1C D4A. 3 a4A. 3 aD.893a在AABC 中, ZC=90,ZB=30,AC=2,M 为 AB 中点，将AACM 沿 CM 折起，使 A、B 间的距离 为22,则M到面ABC的距离为（）2（6A.B.空2C.1D.2设OA,OB,OC为不共面的三条射线，若ZA0B

12、=ZA0C=60,ZB0C=90,点P为射线0A上一 点，设OP=a,则点P到平面OBC的距离为（）A.C. 2 aA.C. 2 a6.如图，已知点E是峡沖2的正方体AG的按蛆00中点,则点A S1平而EBD的距离等于则点A则点A到ABCD所在平面的距离等于,8设PA丄RtAABC所在的平面a,ZBAC=90, PB、PC分别与a成45和30角，PA=2,则PA与BC的距离是；点戸到BC的距离是求证；平面圧驱护平面屈血求中两个平行平面间的距离，估】求点耳到平面匸05距离-如图，已1三棱柱ac砂的底面是边长为2的正三角护 衬桂必F亠M均成 45角，且 Q丄砂于岛 心丄爲于丘求点A到平面B1BC

13、q的距离；当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.11、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,ZABC= , AB=AD=a,NADC=arccos5 ,PA丄面235ABCD 且 PA=a.求异面直线AD与PC间的距离；在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为6丁 *如图ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD丄平面BCD, AB丄平面BCD,AB 二 2 朽。求点A到平面MBC的距离；求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】而P1Q1 u平面CDD1C1,所以PQ 平面CDD1C1(2) AD

14、丄平面 DDCC,AD 丄 PQ,11 11又.PQPQ,AD丄PQ.由(1)知 PQ / PQ,1 1 DQiDQi=DB=12，而棱长 CD=1-DQ1= 17 .同理可求得P1D= 17 .在RtP1DQ中，应用勾股定理，立得13在RtP1DQ中，应用勾股定理，立得1317【变式演练2详细解析】解析:作P0丄平面ABC,垂足为O,PA=PB=PC,AO=BO=CO,O为AABC的外心.又NACB=90,0是AB边的中点.作0D丄BC，由三垂线定理，知PD丄BC.PD是点P到BC边的距离，且 0D丄 2AC.0D=9 cm.在 RtAPOD 中, PD = pPO2 + OD2 = 41

15、(cm).故点P到BC的距离为41 cm.【变式演练3详细解析】方法一：(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM丄MC。又因为P A丄平面ABCD，则PA丄CD,又CD丄AD,所以平面ABM丄平面PCD。(2)由(1)知，AM丄PD，又PA = AD，则M是PD的中点可得AM = 2 迈,MC = JMD2 + CD2 = 2 运则仏昌应就=2厢设D到平面JCB的距离術h,由吩仝对=切_丿阳兩2= S，设所求角炯则命唸斗设所求角炯则命唸斗可求得咲因丄弗由知欝得1测曲心5S5 故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的9。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由(2)

16、可知所求距离为5h =豎6。92 7方法二：(1)同方法一；(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则.4(0=0=0),尸(0=0=4),3(2:0=0, C(24:0), 7?(0:4:0)-设平面 zk汨 的个StfnJim = (x. v_2),由比丄 JC.n_ AM可得=-=zt = (2=-1:1).设所求角沖理，则宝11理=所以所求角的大小为arcsin8(3)由条件可得，AN丄NC 在RtNPAC中，PA2二PN - PC，所以PN二-，则10 NC 55NC二PC - PN二, 二,所以所求距离等于点P到平面ACM距离的石,设点P 3PC 99到平面ACM距离为h则h = 1二

17、 f，所以所求距离为gh = 27。【反馈训练详细解析】1.B【解析】：平面ABC1D1,点B1到平面ABC1D1的距离等于点点B1到平面ABC1D1的距离等于点E到平面ABC1D1的距离.h =亍4(H)DH)C【解析】：由已知，得点P到点A的距离等于点P到直线A1B1的距离,.点P的轨迹为 A为焦点,A1B1为准线的抛物线在正方形ABB1A1内的部分.B【解析】:设A在平面BCD上的射影为E,0在AE 上,4VA0=a, AE = 3 a VabCD=JAE=40E.设 AD=x，则 ED =斗 x,X2 -(4 a)2 =(舟X)2x =翠a Qiv)C【解析】：从点M作面ABC的垂线如

18、图，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 有MA=MB=MC=2,从而点M在面ABC上的射影一定在AB和BC的中垂线上，即AABC的外心而 由AC2+AB2=4+8=12=BC2,知AABC是直角三角形，所以AABC的外心为斜边的中点取BC的中点G,连结MG,MG即为三棱锥的高.显然MG=1.PH丄 OB,OH= 2 a,OG=a.8D【解析】：如图所示，过P作PG丄平面OBC于点G,则PG的长即为所求.由NAOB=ZAOC, 知点G在ZBOC的角平分线上.过G作GH丄OB于点H,PH丄 OB,OH= 2 a,OG=a.8在 RtPGO 中, PG = PO2 - OG2 二斗 a,故选

19、D.6【解析】：可求得Saebd-6 .设点A到面EBD的距离为d,EBD由 v =V ，得1 xV6 X d = 1X lx 2,解得 d 二卓AEBD BADE3337.【解析】：如图,AABD沿BD折起,A到A，点处，连结AC、BD交于点O,连结AZO,则ZAZOC为二面角的平面角.ZAOC=120。.故 ZAOA=60.又 AO = AO = AB = 1,2点A到面BCD的距离为d = AO sin 60。=计.8. V3 万【解析】：作AD丄BC于点D,TPA丄面ABC,PA丄ADAD是PA与BC的公垂 线易得 AB=2, AC=2 占,BC=4, AD=、3，连结 PD,则 PD

20、丄BC, P 到 BC 的距离 PD=、79-【解析】（1）证明由于血M皿b则呢“平面切同理，如W平面血込 则平面必M平面如L解=设购平行平面5L与直化间的距离为丛则待于亚到平面心的距离.易求，晒虫恥=j由于，晒虫恥=j由于赴沪Z lJ fJ 则 CO5jt_-ffic : s SRI75叫孤=叫3则;心阴起加磁代入求得叭平石平-3 261面间的距离为空L61（3）fi=曲于线段砂被平面圧驱所平分，则證、D昌平面2苗距离相等.则由知点B1到平面A1BC1的距离等于 豎1.1 1 1 61io. I解析人(i)vi丄庄 比丄“ 極虫/.麽丄平而屁跡剧面屁鈔丄面脛花厂在R也A凤中，同理第逼马又斫丛

21、二诵至卫2 2 2同理A尸毎鸟又砖卫2二瓦仃为等產直角三角形m上砂产9理过业作AJLiF,则JF为阿中点且4_平面见3即2为蛊圧到平面磁渥的距离AN=1=a1 2 2又AA面BCC B, A到平面BCC B的距离为a1 1 1 1 2.a=2,所求距离为2设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、。必和AR,则DD】必过点N,易证ADD为平行四边形.1 1111 111 1BC 丄DD,BC 丄AN1 1 111 1BC丄平面ADDA1 1 i 1 1BC丄平面ADDA得平面ABC丄平面ADDA,过A作AM丄平面ABC,交AD于M, AMA严AND, AA=AD=、3,即当AA= j3时满足条件.11.【解析】11.解：(1)BCAD, BCu面PBC, AD面PBC 从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AE丄PB,又AE丄BCAE丄平面PBC, AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a2AE= a2作CM# AB，由已知cosADC=5AtanADC=1 即CM=1DMABCM为正方形，AC=込a, PC= “3 a6过A作AH丄PC,在RtPAC中，得AH=F面在AD上找一点F,使PC丄CF取MD中点F,AACM、AFCM均为等腰直角三角形ZACM+ZFCM