连续介质力学第二章

1、连续介质力学第二章第1页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三则梯度为：标量的梯度：标量函数：展开后有：原式第2页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三矢量的梯度：左梯度第3页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其中：右梯度第4页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三两者关系左梯度右梯度写成矩阵形式为： 第5页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三张量的梯度： 设T为任意二阶张量 它的左梯度gradT定义为： T的右梯度定义为：一般地 第6页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三4散

2、度矢量场的散度 矢量场的左散度定义为：原式第7页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三右散度表示为： 显然 今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别第8页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三张量的散度 关于二阶张量场 的左散度定义为： 第9页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三展开后有：原式第10页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 关于二阶张量场 的右散度定义为： 一般地， ，当T为对称张量的时候，两者相等第11页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三5旋度原式展开后有：矢量场的旋度：左旋度：第1

3、2页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三第13页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三右旋度：第14页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三.张量场的旋度 设T为任意二阶张量，则它的左旋度定义为：其中：第15页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三右旋度定义为： 其中：第16页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三小结：哈密顿算子梯度散度旋度第17页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三展开后有：原式2.2 Laplace算子公式：第18页，共92页，2022年，5月20日，19点14

4、分，星期三2.3 物质导数若则：第19页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2.4 积分定理1 Gauss定理有向面积：第20页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三根据Gauss定理有：左边右边第21页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2Stokes定理根据Stokes定理有：左边第22页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三右边证明第23页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2.5 曲线坐标 基矢量 度量张量 曲线坐标 1 设空间中任一点P，其位置可用矢径P表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或

5、下标。 在斜角坐标系 中，P为 的函数，即P也可用另外三个变量 ， ， 来表示，即 这种坐标系记为 。这两组变量 和 表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：第24页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 若 是的线性函数，则 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：这里 为变换系数，它是常数。 若 不是 的线性函数，则 称为曲线坐标。 在曲线坐标系 中，若雅可比(Jacobi)行列式J不为零，即则坐标变换具有逆变换，即有第25页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标系和球面坐标系。现叙述如下。柱面坐标系

6、 设直角坐标系为 曲线坐标系为则式 的具体形式取为：第26页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其中 由此可见，不是 的线性函数，故 属于曲线坐标系。这种坐标变换的雅可比行列式为 第27页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三除 外， ，故有逆变换的具体形式如下： 由此可得坐标曲面： (i) (常数)为以z轴为公共轴的圆柱面(当 时，即为z轴)； (ii) (常数)为通过z轴的平面； (iii) (常数)为垂直于z轴的平面；第28页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 (i) 和 的交线(z线)是直线； 和 的交线(r线)是直线；(ii

7、i) 和 的交线( 线)是圆。这种坐标系称为柱面坐标系 和坐标曲线： 第29页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三球面坐标系 设直角坐标系为 ，曲线坐标系 则式 的具体形式取为：其中 第30页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 由此可见， 不是 的线性函数，故 属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为 第31页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三除 ， ， 外， ，故有逆变换的具体形式如下：第32页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 由此可得坐标曲面： (i) (常数)为中心在原点的球面(当 时，即为原点)

8、； (ii) (常数)为以原点为顶点的圆锥(当 或 时变为直线，当 时为 面)； (iii) (常数)为通过 轴的平面； 和坐标曲线： (i) 和 的交线( 线)是圆； (ii) 和 的交线(r线)是直线； (iii) 和 的交线( 线)是半圆。 这种坐标系称为球面坐标系。第33页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2基矢量度量张量 给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量： 取 为，则 在斜角坐标系中，设其协变基矢量为由于 是常数，故有 第34页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 对于一个矢量a可有两种类型的分量 和 ，设其

9、对应的基矢量为 和 ，则 由 的定义可知，下列混合积等式成立： 这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和 。由此定义可知第35页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 对于矢量 ，则有令它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量 第36页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三考虑到矢量a的任意性 可知：基矢量 与 是正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系： 第37页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三由于故知 和 互为逆阵。因为它们均为正定矩阵，故行列式第38页，共92页，2022年，5月20日

10、，19点14分，星期三可以证明这样的等式： 爱丁顿张量可以写成下列形式： 在直角坐标系下， ，故有第39页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 在曲线坐标系中，任意张量例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：(1)不变性记法 (2)分量记法 (3)并矢记法 (4)基张量记法 第40页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2.6 克里斯托弗尔符号 在基矢量组 ， ， 中把 按下式分解 这里分解系数 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号 定义：第41页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三性质：克里斯托弗

11、尔符号不是张量 和 关于指标i和j对称。 由于 根据偏导数的性质 同理可得：第42页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三和 的指标可用度量张量升降。事实上同样地 在直线坐标系中， 事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，故 和 。第43页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。 事实上，由于 对指标进行轮换，则有另外 第44页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三由于第45页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三由于 ，故有 于是第46页，共92页，2022年，5月20日，19

12、点14分，星期三2.7 协变导数逆变导数 在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为1 设T为任意张量，则 构成新的张量，称为T的梯度。为简单起见，现以 为例给出它的梯度的并矢形式如下： 第47页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其中：称为张量 的协变导数 第48页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三不难证明下列结果 对于矢量a，这是特殊情形。此时，我们可写出 可见，度量张量和爱丁顿张量对于 或 有如常数可以移进或移出于其内或外。第49页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三这里称为协变矢量 的协变导数。 另一方面，我们也可以写出称为逆变矢量

13、的协变导数 这里第50页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2逆变导数 由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：第51页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2.8 不变性微分算子1梯度 2散度 若T为矢量a，则： 第52页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三即考虑到：3旋 度第53页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 若T为矢量a，则有拉普拉斯算子4若f为标量，则有第54页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2.9 内禀导数 设区域内的曲线C定义为：

14、 其中t为一参数。若 是一个可微的矢量并且 是属于 类的，则称为 对t的内禀导数 这里第55页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，则有对于度量张量，由于故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。第56页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 若矢量a还和t显示相关，亦即其中：称为a 的物质导数 第57页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，则其物质导数为 对于度量张量，由于g 和g 和t没有显示关系，所以 第58页，共92页，2022年，5月2

15、0日，19点14分，星期三2.10 非完整系物理标架下的微分算子1非完整系物理标架 对于正交曲线坐标系，它满足下列条件： 我们将基矢量 的大小记作 ，称为拉梅(Lame)系数，即第59页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三 如果我们取与同向的单位矢量 作为基矢量则构成所谓非完整系物理标架(或称单位正交活动标架)。 非完整系物理标架基矢量，具有如下性质：第60页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2偏导数算子，克里斯托弗尔符号非完整系物理标架下的偏导数算子 定义为它对标架每个矢量作用，仍是一个矢量。 我们不妨记为 这里 称为非完整物理标架下的克里斯托弗尔符

16、号 第61页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三几何意义：非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示 在 轴上的投影，即由对其两端作用偏导数算子 由此可见 的后两指标具有反称性。第62页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三下面我们研究 的具体表达式。第63页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三注意到 将指标轮换 ， ， 得再轮换可以得到：第64页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三显然，在 、 、 互不相等时总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有第65页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三3梯度 哈密顿

17、算子 1标量函数的梯度 2定义非完整物理标架下的哈密顿算子 设标量函数 ，则它在非完整系物理标架下的梯度 定义为一个矢量第66页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其并矢形式为: 这就是标量函数f的梯度在非完整系物理标架下的表达式 第67页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三矢量场的梯度 3 设矢量场 ，则它在非完整系物理标架下的左梯度 定义一个二阶张量它的并矢形式为：第68页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其中 类似地，我们还可以定义 的右梯度， ，可以证明张量场的梯度 4 设二张量场 ，则它在非完整系物理标架下的左梯度 定义为

18、一个三阶张量 第69页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三其中这是 的分量形式 的右梯度 定义为 一般情况下第70页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三4散度 1矢量场的散度 设矢量场 ，则它的散度 定义为一个标量其展开形式为：第71页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2张量场的散度 设任意二阶张量 ，则它的左散度 定义为一个矢量其并矢形式为:第72页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三这是 的分量形式。定义： 的右散度 第73页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三5旋度1矢量场的旋度 设任意

19、矢量场 ，则它的左旋度定义为一个矢量 其并矢形式为第74页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三第75页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2张量场的旋度 设任意二阶张量场 ，则它的左旋度定义为一个二阶张量其并矢形式为第76页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三这就是 的分量形式 定义：二阶张量 的右旋度 第77页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三6拉普拉斯算子1作用于标量场拉普拉斯算子 拉普拉斯(Laplace)算子定义为 当拉普拉斯算子作用于标量函数 时，即第78页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三2作用于矢量场的拉普拉斯算子 当拉普拉斯算子作用于矢量场 时，则第79页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三7双重哈密顿算子 作用于标量场的双重哈密顿算子 称为双重哈密顿算子 设f为任一标量函数，双重哈密顿算子对f作用，则有：第80页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三作用于矢量场的双重哈密顿算子 设 为一个矢量场，双重哈密顿算子对a的点积作用为 第81页，共92页，2022年，5月20日，19点14分，星期三8物质导数标量函数的物质导数 设 是关于标性变量(例如时间)位置