二项式系数性质的应用强化训练

1、二项式系数性质的应用强化训练1. (X2+3x+2)5展开式中x项的系数是答案 240解析 (X2 + 3x + 2)5= (X2 + 3X)+25 = Co(X2 + 3X)5 + Ci(X2 + 3X)4 2 + C2(X2555+ 3x) 3 22 + C3(X2 + 3x) 2 23 + C4(X2 + 3X)24 + C5 25,555显然在(X2+3x)n中，n1时展开式中不含x项.x的系数为C43 24 = 240.5知识点二 多个二项式相乘问题(1A2.(X2+2) 71 5的展开式的常数项是vX2丿 答案 3(1 A解析(X2+2) -1 5X2丿X25+ 2对于X-g 的通

2、项为 +1 =-谐5-r(-1)r= ( 1)rCrX 8+2r.5令 8+ 2r= 0，即 r= 4即 T = (1)4C4=5.55(1 A对2：15的通项为 vX2丿T+1 =-嗚-r(T)r令 5r=0,即 r=5, T =-.6 TOC o 1-5 h z (1A(x-+2) -1 5的展开式的常数项为52=3.X2丿3在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记Xmyn项的系数为f(m, n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.答案 120解析 f (3,0) +f(2,1) +f(1,2) +f(0,3) =C3Co+C2Ci+CiC2+CoC3=12O.6

3、 4 6 4 6 4 6 4知识点三 近似计算与整除问题4. (1. 05) 6的计算结果精确到0. 01的近似值是( )A1.23 B1.24 C1.33 D1.34答案 D解析 (1.05)6= (1 + 0 O5)6=Co+C】XO .05+C2X0.0 52+C3XO . 053+ = 1 6 6 6 6+0.3+0.0375+0.0025 +1.34.5233除以 9的余数是答案 8解析 233=(23)11=811=(91)11=Co 9ii X(1) 0+C1 9io X(1)i+Cio9iX(1) io+Cii9oX(1) ii.11 11 11 11分析易得：其展开式中 Co

4、 911 X(1) o + C1 910 X(1)1 + + C1o9】X(1) 1011 11 11 能被9整除，而最后一项为 1，则233除以9的余数是8.6设 aez,且 0WaV13,若 512015+a 能被 13 整除，则 a=.答案 1解析V 512015 + a= (52 1)2015 + a = Co 522015 C】522014 + C2 522013 +201520152015C20145211+a，2015能被13整除，0WaV13故1+a能被13整除，故a=1.7求证2n+23n+5n4能被25整除(nN*)证明 原式=4(5 + 1)n+5n4= 4(Co 5n

5、+ C】 5n-1 + C2 5n-2+ + Cn) + 5n 4 = 4(C。5n + C】 5n-1 +nnnnnn+Cn-252)+25n,以上各项均为25的整数倍，故得证.n知识点四 二项式系数的应用8已知m，n是正整数，f(x) = (1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7，对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到001)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，解根据题意得：Ci+Ci=7,mn即m+n=7,f(X)中的X2的系数为, m m, n n皿+山一mnC2+C2=2

6、 I=2m n 2 2 2(735将变形为n=7m代入上式得：X2的系数为m27m+21=m2J2+4, 故当m=3,或m=4时，X2的系数的最小值为9.当m=3、n=4时，X3的系数为C3+C3=5；34 当m=4、n=3时，X3的系数为C3+C3=5.43f(0.003) =(1+0.003)4+(1+0.003)3QC0+C1XO .0 O3+Co+GXO.OO3 = 2.02. TOC o 1-5 h z 4433由题意可得a=C4=70,再根据8fCr 2r$Cr+1 2r+1,f5,1 88即 vlCr 2rMCr-l 2r-1,r6,88求得r=5或6,此时，b=7X28, b=

7、128a=亍9设(29设(2”j3x)100=a +a x+a X2+a0 1 2 100X100,求下列各式的值求 a ；0a +a +a +a +a ； TOC o 1-5 h z 1234100a +a +a +a ；13599(a +a +a )2 (a +a +a )2；021001399|a0|+|a1|+|a100|.0 1 100解(1)令x=0,则展开式为a =2100.0(2)令 X=1,可得a +a +a +a = (2. 3)叫 012100V所以 a +a +a = (23) 1002100.1 2 100 v(3)令 X=1,可得 a a +a a +a = (2+

8、：3)100.0123100v与式联立相减得先/3loo+、3 looa +a +a = TOC o 1-5 h z 13992由可得，(a +a + + a )2 (a +a + a )2= (a +a +a +a )(a a +a o 21oo1399o 121oo o 12+80。) = (2：3) 100 (2+ ；3)ioo=1(5)|a I + |a I+|a |,o11oo即(2 + j3x)100的展开式中各项系数的和，在(2 + j3x)100的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为(2+召)100一、选择题1.卜2+2)3的展开式中常数项为()A. 8 B. 12 C. 2

9、0 D. 20 答案 C(1 A (解析X2 + x2 3 = l xX 6的展开式的通项公式为Cr(1)rX62r，令6 2rkX2丿IX丿6=0，得r=3，则展开式中常数项为C3(1)3=20.62在(1+x)6(2+y)4的展开式中，含X4y3项的系数为()A. 210 B. 120 C. 80 D. 60答案 B解析 在展开式中，含X4y3的项为C4X4 C32 y3=120 x4y3，故系数为64120.3. 111001 末尾连续零的个数为()A. 7 B. 5 C. 4 D. 3答案 D解析11100 1 = (10 + 1) 100 1 =C。10100+ C1 1099 +

10、+ C99 10 + C100 1 =100 100 100 10010100 + C1 1099+C97 103 + C98+。，则末尾连续零的个数为3.故选D.100 100 1002i4设复数X=(i是虚数单位)，则C1 x+C2 X2+C3 X3+ + C2015X20151i2015201520152015等于()A. iB. i 1 C. 1+i D. 1 + i答案B解析2ix1+i, C1x + C2 x2 + C3 x3+ C2015X2015 (1 +x) 20151i20152015201520151 = i20i51 = i31 = i 1.故选 B.5(12x) 20

11、14=a +ax+ax2+ + a X2014 (xER),50122014 + +弘22014A2 B0 C 1 D 2答案 C解析令x=0,得a =1,0令 x=2得 ao2014=0,20142014=0,2014所以加昭=122014二、填空题6已知 Co + 2C1 + 22C2 + 23C3 + + 2nCn=729,则 C1 + C2+C3 + + Cn 等于 TOC o 1-5 h z nnnnnn n nn答案解析63逆用二项式定理得C0 + 2C1 + 22C2+ + 2nCn=(1+2)n=3n = 729,答案解析63nnnn3n=36, n=6，所以 C1+C2+C3

12、+Cn=26C0=641=63n n nnn7若G,;2x) 10=a +ax+ax2+a X10,贝j(a +a + + a )2(a +a01210021013+ +a)2=.9答案 1解析 令 x= 1,得：a +a +a +a =( J21) 1o,01210 H令 x= 1 得：a a +a a +a =( ：2+1)1,012310Y故(a +a +a )2(a +a +a)2021013910 0=(a +a +a + + a )(a a +a a + + a ) = ( .;21) 10( 2+1)10=10 0012100123108设0, n是大于1的自然数，(嗨的展开式为

13、a0+a1X+aX2+ +axn. 若点 A(i, a ) (i= 0, 1, 2)的位置如图所示,则 a=ii答案 9解析由题意知 A0(0，1)答案 9解析由题意知 A0(0，1)，Ai(1，3)，A2(2,4)故 a0=1，3 = 3, 1+x)的展开式的通项公式知T =C(gr(r=0,1,2,，n).r+1na = 4. 由2Cna=ai=3,na=3C2 =a =4,n a 22n n-0=8n=9,、a=3.三、解答题9已知 9已知 f(X)= (l+X)m,g(x) = (1+5x)n(m, nN*)若m=4, n=5时，求f(x)g(x)的展开式中含X2的项;(2) 若 h(

14、x) = f(x) + g(x) ,且 h(x) 的展开式中含 x 的项的系数为 24,那么 当m, n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值？若(1+5x)n(nW10, nN*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1+5x)n的展开式中系数最大的项.解 当 m=4, n=5 时，f (x) = (1+x)4=0 x0+0 x1+02x2+03x3+(4x4,44444g(x) = (1+5x) 5=Co(5x) 0+C1 (5x)1C5 (5x)5,555则f(x) g(x)的展开式中含X2的项为(C250C0+C1 5Ci+C。52C2)X2,454545

15、即f (x) g(x)的展开式中含X2的项为356x2.C1+5C1=24,m因为h(x) =f (x) +g(x)，且h(x)的展开式中含C1+5C1=24,mn即 m=24-5n(其中 1 WnW4, nGN*),m m25n n 又h(x)的展开式中含X2的项的系数为C2+52C2=+252 1m n 2 25n5n5n25n n=25m130n+276=25 n13、5)2+107(其中 1 WnW4, nN*),又因为135又因为135135所以当n=3时(此时m=9), h(x)的展开式中含X2的项的系数取得最小值为111.在(1+5x)n(nW10, nN*)的展开式中，倒数第2

16、、3、4项的系数分别 为Cn-15n-1, Cn-25心，Cn-35心，又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数 nnn列，所以2Cn-2 5n-2 Cn-1 5n-1 + Cn-3 5n-3,nnn整理得：m-33n+182=0,解之得： n 7 或 n 26，又因为 nW10, neN*,所以n7或n=26(不合题意舍去)设二项式 (1+5x)7 的展开式中系数最大的项为第 r+1 项(即 Tr =Cr TOC o 1-5 h z r+ 17(5x)r) ,Cr-1 5r-1WCr 5r,则77I Cr+1 5r+1WCr *5r,771720整理并解之得：可WrW3,又因为nW10, neN*，所以r6.10已知 f (x) = (1 + x)n.n若f(x) =a +ax+a X2011，求a +a +a +a 的值；20110120111320092011若g(x)=f (x) +2f (x) +3f (x), 求 g(x)中含X6项的系数. 678解(1)因为 f (x) (1+x)n,n所以 f (x)=(1+x)2011,2011又 f (x) =a +ax+a x2011,2011 0 1 2