机械制图第五章直线与平面平面与平面的相对位置

1、机械制图第五章直线与平面平面与平面的相对位置第1页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四本 章 目 录5-1 平行问题5-2 相交问题5-3 垂直问题5-4 综合问题解题示例第2页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四5-1 平行问题一、 直线和平面平行二、 平面和平面平行 本章介绍它们的投影特性和作图方法。 直线与平面、平面与平面的相对位置可能是平行、相交或垂直。第3页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四一、 直线和平面平行定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。QABCD第4页，共61页，2022年，5

2、月20日，2点29分，星期四 有关直线与平面平行的作图问题：作直线已知平面。作平面已知直线。判断已知直线、平面是否平行。第5页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四22例1 含点I(1,1)作平面与直线AB(ab,ab)平行。1313aab bX 作 法(1) 过点作直线与AB平行(2)含直线作一任意平面。图 5-1第6页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 2 判断直线AB与是否平行。图 5-2 ab321ab312x 作 法 (1)在平面任一投影中，作面内直线CFAB的同面投影。(2) 求CF的另一投影，并判断直线CF是否AB 。dfcfdc第7页，共6

3、1页，2022年，5月20日，2点29分，星期四特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。X直线投影平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行第8页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。PH第9页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四二、 平面和平面平行定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10页，共61页，2022年，5月20

4、日，2点29分，星期四 有关两平面平行的作图问题：作平面已知平面。判断两已知平面是否平行。第11页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 含点A1作平面平行定平面 (A2B2A2C2)。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1图 5-3 第12页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例 判断两平面是否平行。 分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。第13页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影

5、必平行。xacabcb123123dd图 5-4 若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。第14页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。X第15页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四x123123 分析：若两面相互平行，则它们的有积聚性的同面投影相互平行。PV例 含点A1作平面平行平面 。aa第16页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四5-2 相交问题一、特殊线、面与一般直线或平面的相交二、一般直线与一般平面的相交三、两一般位置平面的交线 第17页，共61页，2022年，5月20日，2点2

6、9分，星期四 相 交 问 题 直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点； 两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。第18页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交 交点、交线为线与面、面与面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。第19页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影的积聚性直接定出交点的一个投影。1.特殊位置平面与一般位置

7、直线相交第20页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。K 求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。第21页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四（1） 求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。（3）判别方法 A.直接观察; B.利用交叉直线的重影点。 关于直线可见性的判别第22页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四k1(2)xcedabcabed例 求直线AB与铅垂面CDE的交点K。 分 析

8、 利用铅垂面水平投影的积聚性求交点图 5-5 12k第23页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 求AB与P平面的交点。 分 析 利用PV的积聚性求交点。kabPHPVabxpx图 5-6 k第24页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四1xceda（b）cabed例 求正垂线AB与CDE的交点K。 分 析 利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影。12k2k特殊位置直线与一般位置平面相交第25页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分

9、界线。 两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线。两平面相交第26页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四2. 特殊位置平面与一般位置平面的交线 当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连成交线。第27页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四deaab bXedffcckl例 求DEF(H面)与ABC的交线KL。 分 析 利用dfe的积聚性，求两平面交线。k1(2)12（1） 求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。（

10、2）交线是可见部分与不可见部分的分界线。（3）判别方法 A.直接观察; B.利用交叉直线的重 影点。图 5-7 l第28页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四(a) 全交(b) 互交两平面相交的两种情况 全交：一个平面全部穿过另一个平面; 互交：两个平面的边线互相穿过。第29页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 分 析 利用水平面efg的积聚性求两平面交线。ecgf1efg1dbakllabcdkx例 求EFG(H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性。图 5-8 本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多余的部分。第30页，共61页，2022年

11、，5月20日，2点29分，星期四 当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。第31页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四xegfefgcbaabc例 求两面的交线。第32页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四各种位置平面间的交线第33页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 3 求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。 分 析 利用水平面投影的积聚性求两平面交线。 水平面与两三角形的交线是水平线，并且与相应的底边平行。xcs1abcabs12图 5-10 2第34页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四当直

12、线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面的交线;交线与已知直线的交点即为所求。为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。二、一般位置直线与一般位置平面的相交Pk第35页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四PV例1 求直线DE与平面ABC的交点。aaggffbbcckXddeek图 5-12 第36页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例1 求直线DE与平面ABC的交点。 利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性。图 5-12 第37页，共61页，2022年，5月20

13、日，2点29分，星期四解法一空间分析： 含点与一直线作平面，求与另一直线的交点。af23g41x2a34k1PVfgkbb例2 含点A作直线AB使与交叉直线、都相交。图 5-13 ABK第38页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四B解法二空间分析： 含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线的交点。解法三空间分析： 将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交AK例2 含点A作直线AB使与交叉直线、都相交。图 5-14 第39页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四例 3 求AB与两三角形的交点。 作 法 作正垂面Q求AB与两三角形的交点

14、。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m) nQVnm图 5-15 第40页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四三、两一般位置平面的交线 常用方法：1 线面交点法 2. 辅助平面法第41页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四1. 线面交点法 当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。第42页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四QV例 求ABC和DEF的交线。（求交点）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXdde

15、ek图 5-16 第43页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例 求ABC和DEF的交线。（判别可见性）图 5-16 fkaafbbccXddeellk第44页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。使用线面交点法时注意：第45页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四2. 辅助平面法图 5-17 作图原理求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交

16、线L1，与P相交得交线L2；L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点。再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点。连接I 即P、Q的交线。第46页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四b例 求ABC和平面(L1 L2)的交线。caxabc112323S1VS2Vl2l1l2l1k1k1图 5-18 k2k2第47页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四5-3 垂直问题一、 直线和平面垂直二、 两平面垂直第48页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四一、 直线和平面垂直定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么

17、这条直线垂直于这个平面。 直线L平面P内的两相交直线AB、CD, 则LP面LBACDP第49页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影平面内的正平线的正面投影。cCKAkeMBEFfabcHecbaabffeddkkmmX mk ef, mk ad, MKABC所确定的平面。第50页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 有关直线与平面垂直的作图问题：作直线已知平面；作平面已知直线。判断已知直线、平面是否垂直。第51页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四QH例1 含点

18、E作直线垂直于ABC，并求垂足。aabbcekcke12213443ffX图 5-21 分 析 先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。第52页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四(b) 已知例 求C点到直线AB的距离。（分析）aabbccX(a) 分析示意图PBAKC解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。第53页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四PVaabbcdce1122kckk0CK实长 例 求C点到直线AB的距离。（作图）Xedk解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。第54页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四 例2 已知ABBC，求bc。aabbcc11223434XABCP 分 析1.过B点作P面直线AB 则BC一定在P面内；2.在P面内求C点。图 5-22 第55页，共61页，2022年，5月20日，2点29分，星期四二、 两平面垂直定理 如一直线一平面，则包含这直线的一切平面都该平面。反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面