结构力学极限荷载

1、结 构 力 学（2）第17章 结构的极限荷载弹性设计： 利用弹性计算的结果，以许用应力为依据来确定截面尺寸或进行强度验算的设计法。在计算中假设应力与应变为线性关系，结构在卸载后没有残余变形。其特点是通过计算弹性阶段各杆件最大应力的方法进行强度验算，确保不超过许用应力。塑性设计： 先确定结构破坏时所能承受的荷载(极限荷载)，然后将极限荷载除以荷载系数得到容许荷载并进行设计。其特点是通过计算极限荷载的方式确定结构破坏时所能承受的荷载。17-1概述2弹性设计法（许用应力法） 最大计算应力 材料许用应力 安全系数要点1.弹性分析计算（对于复杂结构采用矩阵位移法）2.确定每个构件的最大应力不超过许用应力

2、 屈服应力结构的弹性设计方法，是以只要结构上有一个截面的一点的应力达到材料的许用应力为标志的。即结构上任一点的应力都不许超过材料的许用应力。3弹性设计例必须满足梁的验算柱的验算 .Ws: 弹性截面系数许用应力最大应力4弹性变形塑性变形5屈服应力（弹性极限应力）屈服应变（弹性极限应变）最大应力最大应变应变应力钢材的应力-应变关系图最大应变是屈服应变的100倍以上6钢材的应力-应变关系图应力应变ABo应变应力塑性阶段（塑性流动阶段）弹性阶段简化7屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力）屈服应变 yield strain（弹性阶段最大应变）理想弹塑性模型图（P266 图17-1）AB

3、CDo应变应力残余应变 residual strain8o应变应力o应变应力理想弹性模型图理想刚塑性模型图理想弹性状态下的变形（弹性变形）理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）局部弯曲强柱弱梁强梁弱柱10极限状态下构件的变形由实验可知理想刚塑性材料模型能较为准确反映结构极限状态的变形。柱端的应变达到弹性极限时，弹性变形基本停止，塑性弯曲变形逐渐集中于应力较大的局部（柱端或梁端）。11理想弹性状态下的变形（弹性变形）理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）强梁弱柱12塑性铰塑性铰（P267） 当截面弯矩达到极限弯矩时，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相对转角，产生局部弯曲变形，这种情况与带铰的截面相似，

4、称为塑性铰。极限荷载极限弯矩（P266） 杆件截面所能承受的最大弯矩。极限荷载（P266） 结构破坏时所能承担的的荷载。弯矩图13基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。ABCDo塑性流动状态屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力）屈服应变 yield strain（弹性阶段最大应变）残余应变 residual strain17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态塑性设计法的要点1.计算极限荷载2.极限荷载除以荷载安全系数得出容许荷载3.以此为依据进行设计, 判断是否荷载

5、小等于容许荷载*必须先算杆件极限内力才可以计算结构极限荷载极限弯矩极限剪力极限轴力极限集中荷载极限分布(均布)荷载极限力偶极限分布力偶极限内力极限荷载17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态a)hb)c)y0y0b 图a）截面还处在弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限s ，截面弯矩为：Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。MhMb1. 极限弯矩与屈服弯矩16 图b）截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，在截面内部仍为弹性区。b)y0y0c) 图c）截面处于塑性流动阶段。在弹塑性阶段，随着M增大，弹性核高度逐渐减小最后y00。此时相应的弯矩为：Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极

6、限弯矩。弹性核17弹性阶段的中性轴为形心轴，塑性阶段的中性轴为等面积轴，满足以下条件弹性阶段弹塑性阶段塑性流动阶段MM中性轴的位置(P268)弹性核18极限弯矩与屈服弯矩之比=截面系数比MM对称截面的形心轴与等面积轴重合，皆为对称中心线。弯矩与转角的关系曲线屈服弯矩极限弯矩弹塑性变形发展阶段19弯矩M与曲率r的关系曲线例20轴向受力构件的荷载位移关系图(材料截面同时屈服)弹塑性变形发展阶段屈服荷载极限荷载受弯构件的荷载位移关系图(材料截面不同时屈服，最外侧先屈服，逐渐渗透至内部)对于矩形截面Fpu=1.5Fps屈服荷载极限荷载极限状态2. 极限荷载和屈服荷载屈服荷载：弹性阶段结构所能承受的最大

7、荷载，也称弹性极限荷载。极限荷载：结构塑性破坏时对应的荷载，也称塑性极限荷载。极限状态：极限荷载所对应的状态，位移(挠度)可以任意增加而承载力无法增加的状态。例：梁屈服柱屈服横向受力刚架的荷载位移关系图屈服荷载极限荷载对受弯结构进行弹性分析的缺陷（1）弹性设计以屈服极限为基准，但最大应力达到屈服极限时，截面并未全部进入流动状态，截面仍然存在承载能力；（2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态时，结构并不破坏，结构仍然具有承载能力，极限荷载大于屈服荷载。在弹性范围内，荷载与变形成比例。超过屈服荷载时，变形不再按比例放大，而是集中于某几个局部(塑性铰)。使得整体出现大的位移，而局部以外的杆件本身没有

8、大的变形。弹性变形产生的位移远小于塑性变形，塑性变形通常集中于局部（塑性铰）塑性铰: 达到极限弯矩的截面(p268)塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）机械铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）机械铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）实际的塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。对于纯弯杆件，塑性铰的理论长度等于杆件长度。通常忽略塑性铰长度，将达到极限弯矩的截面称为塑性铰。 （4）机械铰卸载时不消失；塑性铰在卸载时消失。FPuMu破坏机构足够多的塑性铰的出现使原结构成为机构（一个自由度的几何可变或瞬变体系），失去继续承载的能力，该几何可变或瞬变体系称为破坏机构。(1)、不同结构在荷载作

9、用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。(2)、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，极限弯矩一定相同。MuMuMuMu(3)、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，极限荷载qu不一定相同。Mu1Mu2Mu217-3 单跨梁的极限荷载FPl/2l/2FP对于静定结构，荷载达到极限荷载时，塑性铰出现在杆件弯矩最大截面。静定单跨梁的极限荷载计算例(弯矩图法)：静力平衡条件极限荷载弯矩图静定单跨梁的极限荷载计算例（弯矩图法）：先作弯矩图，令绝对值最大弯矩等于极限弯矩，求极限荷载M图M图例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu解：作弯矩图AC段：CD段：所以可判定极限荷载为： 塑性铰出现在截面B弯矩

10、图法2717-3 超静定单跨梁的极限荷载 对于静定结构，当一个截面（弯矩最大截面）出现一个塑性铰时，结构就成了具有一个自由度的机构而破坏。可先作弯矩图，令绝对值最大弯矩等于极限弯矩，求极限荷载。 对于超静定结构，出现一个塑性铰可能不足以形成破坏机构。必须有足够的塑性铰才能使结构成为一个自由度破坏机构。塑性铰首先出现在某根杆件的最大弯矩的截面，随着荷载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有一个自由度的机构从而丧失承载能力为止。28MuMuFP 对于简单的超静定梁，可先判断塑性铰出现的位置，利用静力平衡方程或虚功方程计算极限荷载。MuMu弹性状态下的弯矩图极限状态下的弯矩图FP弹性状

11、态下的变形图极限状态下的变形图（破坏机构图）29几种单跨超静定梁的破坏机构MuMuMuMuMuMuMuMuMu30例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu（P269）解： 结构在A、C截面出现塑性铰。1）静力法(作弯矩图)：FPCl/2l/2ABFPMuCABMu利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法（弯矩图法）。利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。1. 单跨超静定梁的极限荷载计算例极限状态弯矩图31令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载FP同向，大小为2）虚功法(作破坏机构图)外力虚功：内力虚功：由 We=Wi 得：FPCABMuMu红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰32例 求梁的

12、均布荷载极限值，已知极限弯矩为Mu。外力虚功内力虚功由We=Wi，得极限均布荷载qACBMuMuMu解：由于对称，中点C出现塑性铰ACBql/2l/233 计算复杂超静定结构的极限荷载的关键是确定真实的破坏形态，以及塑性铰的数量及位置。当塑性铰的位置不易确定时，可先排除不可能出现塑性铰的位置。塑性铰可能出现在集中力作用点、支座、变截面、刚结点、或分布荷载的某处，不可能出现在其他无荷载作用处（纯弯除外）34超静定结构极限荷载计算特点(P270) 1. 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程，只需考虑最后的破坏机构. 2. 无需考虑变形协调条件，只需考虑静力平衡条件 3. 极限荷载不受温度变化、支座移动

13、的影响极限受力状态应满足的条件(1）平衡条件(2）内力局限条件或塑性条件 弯矩的绝对值不能超过极限弯矩(3）单向机构条件，形成单向一个自由度体系17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理比例加载1）结构上全部荷载按同一比例增加2）荷载单调增加，不卸载。1）对任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，记为 ,满足(1)和(3)条件定义2）如果在某个荷载作用下，能找到一种内力状态与之平衡，且结构各截面的内力都不超过其极限值，则该荷载值称为可接受荷载，记为 ,满足(1)和(2)条件3）极限荷载FPu同时满足极限状态三个条件，因此, FPu既是可破坏荷载，也是可接受荷载。1）基本定理可破

14、坏荷载 恒不小于可接受荷载 ，即定理证明：取任一可破坏荷载，对于相应的单向机构位移列出虚功方程：上式中，n是塑性铰数目。取任一可接受荷载 ，相应的弯矩图称为 图。令此荷载及内力在上述机构位移上作虚功，虚功方程为：根据内力局限条件2）唯一性定理极限荷载FPu是唯一确定的。对于任一荷载FP ，如果存在一个内力分布，能同时满足平衡条件、屈服条件和单向机构条件，则该荷载就是唯一的极限荷载FPu 。证明：设存在两种极限内力状态，相应的极限荷载分别为FPu1 和FPu2 。因为极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载，可把FPu1看作 ， FPu2 看作 ，则有：同时满足上述两种状态反之，把FPu2看作 ，

15、FPu1看作 ，则有：所以上述两种状态是同一种状态，即极限荷载值是唯一的。3）上限定理(极小定理)：可破坏荷载是极限荷载的上限; 极限荷载是可破坏荷载中的极小者。4）下限定理(极大定理) ：可接受荷载是极限荷载的下限; 极限荷载是可接受荷载中的极大者。 证明：因为极限荷载是可接受荷载，故由基本定理即得 证明：因为极限荷载是可破坏荷载，故由基本定理即得1）基本定理：可破坏荷载不小于可接受荷载2）唯一性定理：极限荷载是唯一确定的。3）上限定理：可破坏荷载是极限荷载的上限。4）下限定理：可接受荷载是极限荷载的下限。可破坏荷载可接受荷载极限荷载判定极限荷载的一般定理判定极限荷载载的基本方法2. 穷举法

16、：基于上限定理 ，即穷举全部可能的破坏机构，求出相应的可破坏荷载 ，其中最小的可破坏荷载 就是极限荷载FPu 1. 试算法：基于唯一性定理，选定一种破坏机构并求得相应的可破坏荷载，画出结构弯矩图，若各截面弯矩均小于极限弯矩，则该荷载是可破坏荷载，也是极限荷载FPu。3. 极小值法（微分法）：基于上限定理，当杆件上有分布荷载时，破坏机构不易预测。利用求微分求解可破坏荷载极小值的方法计算极限荷载FPu。对于超静定结构对于静定结构弯矩图法：基于上限定理（极小定理）。静定结构出现一个塑性铰即形成破坏机构，塑性铰出现在某杆件最大弯矩截面。先作弯矩图，令各杆件最大弯矩绝对值等于极限弯矩求荷载值，所求的最小

17、荷载值为极限荷载。42例 求超静定单跨梁的极限荷载Fpu，截面极限弯矩为MuABED4FP3FP2FPCABCDEMuMu解法1-试算法：选定破坏机构虚功方程：解得可破坏荷载：43ABCDEMuMu1.6MuMu1.15Mu4.6Mu/l作可破坏荷载 作用下的弯矩图最大弯矩超过极限弯矩，不满足内力局限条件，所以该可破坏荷载不是可接受荷载，试算失败。44另选破坏机构ABCDMuEMuMuMuMu/23Mu/43Mu/lABCDMuEMu解得可破坏荷载 并作弯矩图该弯矩图满足内力局限条件，所以该可破坏荷载是可接受荷载，试算成功。极限荷载虚功方程：45ABCDEMuMuABCDMuEMu解法2-穷举

18、法：破坏机构1解得破坏机构2解得破坏机构3解得比较以上结果，Fpu2 为最小，所以极限荷载为ABCDEMuMu46例17-2 求图示变截面梁的极限荷载(穷举法)塑性铰的可能位置：A、B、D。（无荷载作用的变截面B可能出现塑性铰）解:ABCDAB段极限弯矩为 ，BC段极限弯矩为Mu 。47ABCDFPMuMuABCDFPMuMu破坏机构1）B、D截面出现塑性铰。极限状态弯矩图极限状态弯矩图中，任何一个截面的弯矩都不可超过杆件的极限弯矩，否则假定的破坏机构不成立。由弯矩图可知，只有当 时，此破坏形态才可能实现。48破坏机构2）A、D截面出现塑性铰。ACDFPuMuABCDFPuMu极限状态弯矩图由弯矩图可知，只 有当时，此破坏形态才可能实现。493）当 时，则前面两种破坏形态均可能出现，则50可能破坏机构1) 荷载同向作用时, 连续梁只可能在各单跨形成破坏机构，不可能由相邻跨联合形成破坏机构。超静定多跨连续梁的极限荷载计算（穷举法）例51PPPPPP可能破坏机构2) 荷载异向作用时, 连续梁既可能在各单跨形成破坏