测量不确定度讲义

1、测量不确定度 1. 1 测 量 测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或器具来实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量单位。例如人体温度37.2，人体温度是被测量，37.2是数，是单位。 对于比较复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。 1.2 关于测量误差测量误差（measurement error）定义为： 测量结果减去被测量的真值。由于真值

2、不能确定，实际测量中是用“约定真值”代替。 测量误差是指示值与约定真值之差。测量误差通常是能够定量评定的量，并可用于对测量值进行修正。但是，对误差的识别及其后的修正不可能完全精确，这种不精确性的本身将会产生测量不确定度。 还必须区分误差与错误/疏忽。错误和疏忽既不能量化，也不是测量不确定度的输入量。真值永远不知道！第6页/201.2 关于测量误差(续)误差可以分为随机误差和系统误差两类。误差等于随机误差与系统误差之和。测量误差示意图如图1.1所示。被测值为Y，真值为t，第i次测量结果为yi。由于测量误差的存在，测得值（单次测得值yi或测量平均值 ）与真值 t 不能重合。设测量值呈正态分布N(，

3、)，则分布曲线总体均值的位置（即值）决定了系统误差的大小；曲线的形状（随标准偏差而定）决定了随机误差的分布范围k ，k，以及其在该范围内取值的概率。 随机 误差残差系统误差测得值 y真值k测得值总体均值样本均值测得值概率分布曲线ktyi图1.1 测量误差示意图误差总体概率分布的期望有限次数测量平均值(总体均值的一个无偏估计)单次测量值/第1416页1.3 关于允差（Tolerance） 允差有两层含义，对测量而言，允差是对指定量量值的限定范围或允许范围。典型的例子是零部件特定尺寸的制造允差(最大/最小)，通常规定其能够保证与配件的合适配合。要能够测量这种零部件并保证符合允差，扩展不确定度U就必

4、须小于允差，通常推荐的最小比率为35比1。 允差也常用于测量仪器设备，这时是指由仪器设备制造厂调试和检定仪器设备时，仪器设备示值的合格范围。仪器设备的允差是贡献给测量不确定度的一个重要分量。在评定测量不确定度时，了解和解释允差的确切含义和用途是重要的。当35U(p=95) 时，不确定度对测量结果的影响可忽略。/第21页1.4 关于准确度（Accuracy）定义：测量结果与被测量真值的一致程度。 【注】1. 不要用术语精密度代替准确度。 2. 准确度是一个定性的概念。 鉴于不可能准确地确定真值的大小，因而定义“准确度”这个术语说明测量结果与被测量的真值的接近程度，所以准确度是一个定性的概念。因而

5、准确度不能量化，也不能作为一个量进行运算。 准确度是定性的概念，不能量化第4页/182.1 基本统计计算 通过多次重复测量并进行某些统计计算，可增加测量得到的信息量。有两项最基本的统计计算：求一组数据的平均值或算术平均值（数学期望），以及求单次测量或算术平均值的标准偏差（方差）。/第710页2.2 最佳估值多次测量的平均值 由于各种原因，例如由于环境条件的变化、测量器具没有工作在完全稳定的状态、测量人员的读数误差等，使测量的读数有变化，通常人们通过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量结果。平均值给出的是被测量“真值”的最佳估值。图3.1表示一组测量值及其平均值的图解说明。 一般而言，测量数值

6、越多，得到的“真值”的估计值就越好。理想的估计值应当用无穷多数值集来求平均值。但是增加读数要做额外的工作，并增大测量成本，且会产生“缩小回报”的效果。什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能使计算容易。20次读数只比10次给出稍好的估计值，50次只比20次稍好。根据经验通常取610次读数就足够了。 2.3 分散范围(区间) 标准偏差 在重复测量给出不同结果时，需要了解这些读数分散范围有多宽。测量结果的分散范围告诉了我们关于测量不确定度的情况。通过了解读数分散范围有多大，就能着手判断这次测量或这组测量的质量如何。 定量给出分散范围的常见形式是标准偏差。一个数集的标准偏差给出了各个读数与该

7、组读数平均值之差的典型值。 根据“经验”，全部读数大概有三分之二（68.27）会落在平均值的正负（）1倍标准偏差范围内，大概有全部读数的95会落在正负2倍标准偏差范围内。虽然这种“尺度”并非普遍适用，但应用广泛。标准偏差的“真值”只能从一组非常大（无穷多）的读数求出。由有限个数的读数所求得的只是标准偏差的估计值，称为实验标准偏差或估计的标准偏差，用符号s表示。 2.4 实验标准（偏）差计算式 贝塞尔公式 对同一被测量X作n次测量，表征每次测量结果分散性的量s(xi)可按下式算出：式中xi为第i次测量的结果; 为所考虑的n次测量结果的算术平均值； 称为残差。 上式称作贝塞尔公式，它描述了各个测量

8、值的分散度。有时将s(xi)称作单次测量结果的标准偏差，或称为实验标准差。 /第19页2.5 平均值的标准（偏）差 用下式计算平均值的标准偏差： 需要指出，单次测量的实验标准差 随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差 则将随着测量次数的增加而减小， 标准偏差的特性10标准偏差测量次数n单次测量标准差平均值标准差2.6 自由度 在方差计算中，自由度为和的项数减去和的限制数，记为。在重复条件下对被测量做n次独立测量，其样本方差为 :式中vi为残差。所以在方差的计算式中，和的项数即为残差vi的个数n。而且残差之和为零，即i=0 是限制条件，故限制数为1，因此可得自由度n1。 /第2

9、0页3 测量不确定度概念 3.1 测量结果的质量 测量给出关于某物的属性，它可以告诉我们某物体有多重，或多长，或多热。测量总是通过某种仪器或器具来实现的，尺子、秒表、称重秤、温度计等都是测量器具。被测量的测量结果通常由两部分组成：一个数和一个测量单位。例如人体温度37.2，人体温度是被测量，37.2是数，是单位。对于复杂的测量，通过实际测量获得被测量的测量数据后，通常需要对这些数据进行计算、分析、整理，有时还要将数据归纳成相应的表示式或绘制成表格、曲线等等，亦即要进行数据处理，然后给出测量结果。 测量不确定度由于衡量测量结果的质量。 第4页/19203.2 测量不确定度 3.2.1 测量不确定

10、度定义 测量不确定度（uncertainty of measurement）： 表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。注：1. 此参数可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准 的区间的半宽度。 2. 测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量 列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些 分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可 用标准偏差表征。 3. 测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确 定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的 （如与修正值和参考测量标准有关的）分量。 4. 不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方

11、根。对测量结果正确性的怀疑程度 5. 不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度义 为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定 度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度 时，要适当采用一个形容词，比如合成标准不确定度或 扩展不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度 这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系 统效应导致的不确定度。 6. JJF-1001-1998 通用计量术语及定义给出的上述不确 定度定义是可操作的的定义，即着眼于测量结果及其分 散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用 过的定义并不矛盾： 由测量结果给出的被测量的估计值的可能误差的量度。

12、表征被测量的真值所处范围的评定。 不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同， 表达形式也一样。 3.2.1 何谓“测量结果”？ 定义的注3指出，“测量结果”实际上是指“被测量之值”的最佳估值。通常人们通过多次测量并取其读数的算术平均值给出测量结果。平均值给出的是“被测量之值”的最佳估值。第4页/3.2.2 何谓“被测量之值”？ 我们知道，测量误差（measurement error）定义为：测量结果减去被测量的真值。由于真值不能确定，实际测量中是用“约定真值”代替。 定义中的“被测量之值”广义而言是指被测量的真值。但是，真值是一个理想的概念，不可能被确切地知道。 我们应当将“被测量之

13、值”理解为被测量的最佳估值。 3.2.3 何谓“分散性”？ 分散性是表示测量结果之间相互不一致程度的一个量，例如重复性、复现性，以及测量不确定度。重复条件下测量列按贝塞耳法计算得到的实验标准偏差s就是表示测量结果分散性的一个量。 定义的注1指出，分散性这一“参数”可以是“标准偏差或其倍数”。 为了与传统的测量误差相区别，测量不确定度用u（uncertainty的字头）而不用s表示。 定义的注3指出，“所有的不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如与修正值和参考测量标准有关的）分量”。也就是说，不确定度评定应当考虑已识别的系统效应的影响。换句话说，测量结果是指对已识别的系统效应

14、修正后的最佳估值。3.2.4 测量不确定度由多个分量组成 定义的注2指出，“测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准偏差表征。另一些分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准偏差表征”。 “经验的”或“假定概率的分布”说明，不确定度评定带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关。所以，定义中使用了“合理地”一词。测量不确定度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关。3.2.5 如何理解测量不确定度？ 所谓“区间半宽度”，对于不对称分布的不确定度，则取其中间值。 定义的注4指出，不确定度恒为正值

15、。当由方差得出时，取其正平方根。 所以人们说，测量不确定度只有正号。 定义的注5指出，不确定度一词指可疑程度。可以概括地说，测量不确定度是定量表示对测量结果的怀疑程度，以一个具有置信水准的区间的形式表示，而且不能用不确定度数值来修正测量结果。 3.2.5 如何理解测量不确定度？ 定义的注1还指出，测量不确定度是“说明了置信水准的区间的半宽度”。也就是说，测量不确定度需要用两个数来表示：一个是测量不确定度的大小，即置信区间；另一个是置信水准（或称置信概率），表明测量结果落在该区间有多大把握。 例如上述测量人体温度为37.2或加或减0.05，置信概率为99。该结果可以表示为：37.20.05，置信

16、概率为99 置信区间置信水准U=1u=1.0%U=2u=2.0%U=3u=3.0%测量结果p68p95p99表3.1 测量误差与测量不确定度的主要区别 序号测量误差测量不确定度 1测量结果减去被测量的真值，是具有正号和负号的量值。用标准偏差或其倍数的半宽度(置信区间)表示，并需要说明置信概率。无符号参数（或取正号）。 2表明测量结果偏离真值。说明合理地赋予被测量之值(最佳估值)的分散性。 3客观存在，不以人的认识程度而改变。与评定人员对被测量、影响量及测量过程的认识密切相关。 4不能准确得到真值，而是用约定真值代替真值，此时只能得到真值得估计值。 通过实验、资料、根据评定人员的理论和实践经验进

17、行评定，可以定量给出。 5按性质可分为随机误差和系统误差两大类，都是无穷多次测量下的理想概念。 不必区分性质，必要时可表述为“随机效应或系统效应引起的不确定度分量”。可将评定方法分为“A类或B类标准不确定度评定方法”。 6已知系统误差的估计值，可对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果。 不能用测量不确定度修正测量结果。 /第21页允许误差下限值允许误差上限值 示值误差示值 x xTU 扩展不确定度校准值 xr xT图3.1 示值误差 、允许误差T 、测量不确定度U的关系区间半宽度/第21页误差（Error）准确度Accuracy不确定度（Uncertainty）测量结果测得值减真值测量结果与

18、真值的一致程度有定义批量生产仪器没有定义示值最大允许误差没有定义计量标准装置有定义（示值误差）没有定义没有定义但需要给出仪器设备的准确度等级4.1 不确定度来源（1） 对被测量的定义不完整或不完善；（2） 实现被测量定义的方法不理想；（3） 取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表 所定义的被测量；（4） 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条 件的测量与控制不完善；（5） 对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）； 测量仪器计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨 力、稳定性及死区等）的局限性；（7） 赋予计量标准的值或标准物质的值不准确；（8） 引用的数据或其他参数的不确定度；（9） 与

19、测量方法和测量程序有关的近似性和假定性；（10）被测量重复观测值的变化等等。/第2324页 4.2 不确定度的类型4.2.1 随机效应和系统效应 在测量中产生不确定度的效应有两类：（1） 随机效应：重复测量给出随机的不同结果。如前所述，通过多次测量然后取平均值，可以期望获得较佳的估计值。由这种方法求取测量不确定度，称为A类不确定度评定方法。（2） 系统效应：对重复测量的每一个结果都有相同的影响。在这种情况下，只靠重复测量得不到附加信息。要估计系统效应产生的测量不确定度，需要采用其他方法，如不同的测量方法或不同的计算方法。由这种方法求取测量不确定度，称为B类不确定度评定方法。/第2728页4.3

20、 分布数据散布的“形状” 一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的概率分布。 （1） 正态分布 在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数值离平均值较远。这就是正态分布或高斯分布的特征。 （2） 均匀分布（矩形分布） 当测量值非常平均地散布在最大值和最小值之间的范围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。 （3） 其他分布 还有其他分布形状，但较少见，例如三角分布、反余弦分布（U型分布）等。表4.1给出了几种概率分布及其包含因子。/第16页概率密度概率p=95. 45%概率p=68.27%等于概率曲线与横坐标围成的面积xf(x)整个分布曲线与横坐标围成的面积(概率)等于1概率p=99.

21、73% 2 3 2 3 正态分布概率密度函数曲线随机变量x的取值s，2s 内的概率为 p=81.86%/第1415页符合如下条件之一者一般可估计为正态分布：1)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；2)被测量量Y用扩展不确定度Up给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布； 3)被测量Y的合成标准不确定度 中，相互独立的分量 较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布； 4)被测量Y的合成标准不确定度 中，相互独立的分量 中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；5)被测量Y的合成标准不确定度 的相互独立的 分量 中，量值较大的分量（起着决定作用的分布）接

22、近正态分布时。矩形(均匀)分布 标准不确定度： 特征： 估计值以p100的概率均匀散布在a区间内，落在该区间外的概率为零；且没有说明概率分布。 2a(=a )x1/2a矩形（均匀）分布符合如下条件之一者一般可估计为矩型分布：1)数据修约导致的不确定度；2)数字式测量仪器对示值量化（分辨率）导致的不确定度；3)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度；4)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；5)用上、下界给出的线膨胀系数；6)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；7)平衡指示器调零不准导致的不确定度。三角分布 标准不确定度： 特征： 估计值以p100的概率落在a区间内，靠近

23、x的数值比接近边界的值多，落在该区间外的概率为零；且没有说明概率分布。1/ax2a(=a)三角分布符合如下条件之一者一般可估计为三角分布：1)相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度；2)因分辨率引起的两次测量结果之和或差的不确定度；3)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；4)两相同均匀分布的合成。表4.1 常用分布与包含因子k、u(xi)的关系分布类别p(%)ku(xi)正 态99.733a/3三 角100梯 形 =0.711002a/2矩 形100反正弦100两 点1001aa为测量值概率分布区间半宽度第13页/第40页4.4 什么不是测量不确定度

24、（1） 操作人员失误不是不确定度。这一类不应计入对不确定度的贡献，应当并可以通过仔细工作和核查来避免发生。（2） 允差不是不确定度。允差是对工艺、产品或仪器所选定的允许极限值。（3） 技术条件不是不确定度。技术条件告诉的是对产品或仪器期望什么。技术条件包含的内容，包括“非技术”的质量项目，例如外观。（4） 准确度（更确切地说，应叫不准确度）不是不确定度。遗憾的是这些术语的使用常被混淆。确切地说，“准确度”是一个定性的术语，如人们可能说，测量是“准确”的或“不准确”的。（5） 误差不是不确定度。（参见2.2.3节）。（6） 统计分析不是不确定度分析。统计学可以用来得出各类结论，而这些结论本身并不

25、告诉我们任何关于不确定度的什么。不确定度分析只是统计学的一种应用。它们可能是不确定度的来源4.5 测量不确定度的结构 A类标准不确定度 标准不确定度 合成标准不确定度 B类标准不确定度测量不确定度 U（当无需给出Up时,k=23） 扩展不确定度 Up（p为置信概率） 小写英文字母u(斜体)表示大写英文字母U(斜体)表示4.5.1 评定不确定度的两种方法A类评定：用对观察列进行统计分析的方法，来评定 标准不确定度。 亦即采用统计方法进行的标准不确定度估 计（通常采用重复测量）。B类评定：用不同于对观察列进行统计分析的方法，来 评定标准不确定度。 可根据其他信息的标准不确定度估计。这 些信息可能来

26、自过去的经验、校准证书、 生产厂的技术说明书、手册、出版物、计 算、常识等。A类评定和B类评定都是指标准不确定度的评定！第5页/第27页第5页/4.5.2 合成标准不确定度定义： 当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得的标准不确定度。 注：它是测量结果标准差的估计值。 第5页/4.5.2 合成标准不确定度 影响测量结果不确定度的因素很多，为了计算总不确定度，需要将各不确定度分量进行合成。在计算合成标准不确定度之前，需要确定各输入量的标准不确定度是否彼此相关。对于大多数情况，输入量的标准不确定度是彼此互不相关的，这时，由A类和B类评定所计算得到的多个标准不确定度可以用

27、“方和根（RSS）方法”有效地进行合成。这样合成的结果称为合成标准不确定度，用uc（下角标c是合成combined的词头）或uc（y）（y的合成标准不确定度）来表示。4.5.3 扩展不确定度 定义： 确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。 注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或 范围不确定度。扩展不确定度通常用斜体大写英文字母U表示。 第5页/4.5.4 包含因子k定义：为求得扩展不确定度，对合成标准不确 定度所乘之数字因子。 注：1. 包含因子等于扩展不确定度与合成标准 不确定度之比。 2. 包含因子有时也称覆盖因子。 3. 根据其含义可分为两种： k=U/uc

28、；kp=U/uc。 4. 一般在23之间。 5. 下脚标p为置信概率，即置信区间所需 之概率。 第5页/5 测量不确定度评定步骤1 确定被测量和测量方法 包括测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。2 建立数学模型 确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对被测量不确定度有贡献的分 量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。3 求被测量的最佳估值 不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之 值的最佳估计。确定不确定度的各种来源。4 确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的A类评定和B类评定。5 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不

29、确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定 度分量求输出量对应的标准不确定度分量。6 求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合成。7 求扩展不确定度 根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确 定度计算扩展不确定度。8 报告测量结果的不确定度/第61页6.1 建立物理模型（确定测量方案） 评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道我们需要测量什么？如何测量？为什么这样测量？ 不确定度评定最重要的观念之一是，要对测量过程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了解。

30、对不确定度来源的识别，要从仔细分析测量过程开始。这要求测量系统的设计人员和试验人员，需要采用各种方法对测量程序和测量系统做详细研究。这些方法包括测量流程图、计算机模拟、重复测量或交替测量，与其他方法比较等等。这意味着，测量系统的设计人员或熟练操作人员是最适合进行不确定度评定实践的。6.1 建立物理模型(续) 对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入分析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：首先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。也就是说，确定被测量和描述测量过程：给出测量原理框图，明确测量参数；给出测量仪器/测量标准技术指标，并列出其计量特性；描述被测物品技术指标；列出测量依据的技术标准

31、/规范/规程；描述测量方法；说明测量过程和环境；不确定度评定中需要说明的其他信息。6.2 建立数学模型 所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要识别出所 有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。 只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。 建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。 /第2427页6.2 建立数学模型(续) 在多数情况下，被测量Y（输出量

32、）不能直接测得，而是由N个其他量X1，X2，XN通过函数关系f来确定： Y=f(X1，X2，XN)式中Xi是对Y的测量结果y产生影响的影响量（即输入量）。上式称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。输出量Y的输入量X1，X2，XN本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数f不能用显式表示。Y也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出。上式也可能简单到Y=X1+X2，甚至Y=X。 数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、测量仪器、环境条件等。 数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长期测量实践，可对数学模型进行修

33、正，使其不断完善。 6.3 求最佳估值 注意，所谓最佳估值是指被测量（输出量）Y的估计值y。 如果被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则有: yf(x1，x2，xN) 可以用两种方法用输入量X1，X2，XN的估计值x1，x2，xN求取被测量Y的最佳估值y。 方法1）方法2）式中 是X的n次独立观测值xik的算术平均值。 当y是xi的线性函数时，两种方法的结果相同。当y是xi的非线性函数时，建议采用方法1）求取被测量Y的最佳估值y。 6.3 求最佳估值(续) 需要指出，对于测量值来说，最佳值应是修正了已识别的系统效应和剔除了异常值的平均值。 最后需要指出，求最佳估值是测量不确定度评定

34、必不可少的一个步骤。一方面是因为报告测量结果和报告测量结果的不确定度需要给出最佳估值；另一方面，计算相对不确定度需要有最佳估值，相对不确定度等于不确定度除以最佳值的绝对值。6.4 不确定度传播率 利用不确定度传播率可列出各标准不确定度分量的表示式。 若被测量（输出量）Y=f(X1，X2，XN)的估计值为yf(x1，x2，xN)，则y的合成标准不确定度uc(y)由由相关输入量X1，X2，XN)的估计值x1，x2，xN的标准不确定度所决定：/第27页6.4 不确定度传播率(续) 上式称为不确定度传播率，式中u(xi)为输入量Xi的估计值xi的标准不确定度，或标准(偏)差； 称为标准不确定度的传播系

35、数或灵敏系数； 称为两输入量的估计值xi和xj的协方差函数，常用Cov(xi，xj)表示； 称为两输入量估计值xi和xj的相关系数，可表征被测量xi和xj的相关程度，相关系数可用下式表示：并用下式进行估算：6.4 不确定度传播率(续)相关系数估计值的范围为 。 由上述分析可知，被测量之值的测量结果的总不确定度，可以通过合成所有有贡献的分量的不确定度求出。因为每一次独立的仪器读数或测量值都可能受若干因素的影响，因此，对检测/校准中所包含的每一项测量都要仔细考虑，以识别出所有对不确定度有贡献的因素。这要求不确定度评定人员对测量原理、测量设备和环境条件有良好的理解，这是不确定度评定至关重要的第一步。

36、 6.5 输出量标准不确定度分量的表示式 在识别了各个分量的不确定度后，下一步必须做的是，由适当的方法对各个不确定度分量定量。根据上述分析，首先必须列出各个输出量不确定度分量的表示式：式中传播系数或灵敏系数 的含义是，输入量的估计值xi的单位变化引起的输出量的估计值y的变化量，即起到了不确定度的传播作用。第16页/第45页6.6 标准不确定度A类评定 6.6.1 基本方法（单次测量结果实验标准差与平均值实 验标准差） 对一个或一组相同的样品在相同条件下做若干次重复测量，其测得结果未必是相同的。由于诸如电噪声、振动等各种各样因素的变化，测得值被此之间会有区别而且分布在其平均值周围。如果这种随机影

37、响相对于其他不确定度分量是明显的，则必须对它进行定量分析，随后还必须包含在合成不确定度内。例如在重复性条件下得出n个观测结果xi，则n次独立观测结果的算术平均值就是被测量的最佳估值，其标准偏差sest即表示被测量分散性的一个量。表6.1给出了平均值和标准偏差的估算步骤。 /第29页表6.1 标准不确定度A类评定运 算 说 明 数 学 公 式 1对某量进行n次重复测量 xi (i=1,2,n) 2计算测量结果的平均值，即测量结果之和除以测量次数n 3求测量结果的残差4对每一个残差求平方和，再求残差平方和除以（n1），其结果称为方差V 5计算单次测量测量结果的估计标准偏差（实验标准偏差，贝塞耳公式

38、） 6求单次测量的标准不确定度 7求平均值的标准偏差 8求平均值的标准不确定度 6.6 标准不确定度A类评定(续)如果为客户所做的某项测量不是实验室的常规测量，则不确定度的A 类评定应随该项测量实时进行。但实验室常常是在类似的条件下，用相同的设备相同的方法，在常规基础上做基本类似性质的测量。在这种情况下，通常不需要每次测量都进行A类标准不确定度评定，可以直接引用预先评定的结果。对随机变量x根据n个测量结果的有限样本所估计的标准偏差s(x)，就是对整体样本的标准差(x)的估计值。如果随后的测量只作几次测量(典型情况是n3)，而且将n次测量的平均值作为结果提供给客户，则应由原先的实验获得的标准差s

39、(x)除以次数n的平方根，以求得算术平均值的实验标准差 （表6.2）。 表6.2 算术平均值的实验标准差和标准不确定度的估算运 算 说 明数 学 公 式一组n次测量估算的标准差s(x)除以实际测量测量次数n的平方根；是n次测量的算术平均值 ，并将其提供给用户 平均值的标准不确定度：等于一倍平均值的标准偏差 【实例】 某实验室事先对某一电流量进行n10次重复测量，测量值列于表6.3。按表6.1的计算步骤得到单次测量的估计标准偏差 s（x）0.074mA。 在同一系统中在以后做单次（n1）测量，测量值x46.3mA，求这次测量的标准不确定度u（x）。 在同一系统中在以后做3（n3）次测量， mA，

40、求这次测量的标准不确定度 。 表6.3 对某一电流量进行n10次重复测量的测量值 次数i 12345测量值 mA 46.4 46.5 46.4 46.3 46.5 次数i 678910测量值 mA 46.346.346.4 46.4 46.4 平均值 46.39mA 单次测量的标准偏差s(x) 0.074mA 【解】 对于单次测量，则其标准不确定度等于1倍单次测量的标准偏差：x46.3mA，u(x)=s(x)=0.074mA。【解】 对于n3测量，测量结果为： 的标准不确定度为：其他几种常用的标准不确定度A类评定方法： 合并样本标准差 极差 最小二乘法 阿伦方差 /第3136页6.7 B类标准

41、不确定度：（由于系统效应导致的不确定度） 不同于A类对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度B类的评定，有时也称B类不确定度评定。B类不确定度评定是根据经验和资料及假设的概率分布估计的标准（偏）差表征，也就是说其原始数据并非来自观测列的数据处理，而是基于实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。B类不确定度的信息来源一般有： /第3843页1.以前的观测数据；2.对有关技术资料的测量仪器特性的了解和经 验；3.生产企业提供的技术说明文件；4.校准证书（检定证书）或其他文件提供的数 据、准确度的等级或级别，包括目前仍在使 用的极限误差、最大允许误差等；5.手册或某些资料给出的参

42、考数据及其不确定 度；6.规定试验方法的国家标准或类似技术文件中 给出的重复性限 或复现性限。/第3843页7. 测量仪器的示值不够准确；8. 标准物质的标准值不够准确；9. 引用的数据或其它参量的不够准确；10.取样的代表性不够，即被测样本不能完全 代表所定义的被测量；11.化学分析中的基体效应，分析空白，干扰 影响，回收率及反映效率等系统影响；12.测量方法和测量程序的近似和假设；13.其他因素/第3843页B类不确定度的评定方法:B类评定的标准不确定度可以用下述四种方法得到： （）若有关资料（如：计量校准/检定证书，仪器说明书等）给出估计值xi的扩展不确定度U(xi)为其估计值标准不确定

43、度u(xi)的ki倍，则标准不确定度： 6.7 B类标准不确定度(续)（由于系统效应导致的不确定度） （）如估计值xi的扩展不确定度U(xi)不是按标准不确定度u(xi)的倍给出，而是给出了置信概率P为90%、95%、99%的置信区间的半宽度 U90、U95 、 U99，除非另有说明，一般按照正态分布考虑评定其标准不确定度u(xi)。对应于上述三种置信概率的 包含因子kp分别为1.64、1.96或2.58，即：标准不确定度为: 6.7 B类标准不确定度(续)（由于系统效应导致的不确定度） /第39页6.7 B类不确定度的评定方法(续)正态分布情况下置信概率与包含因子之间的关系 在第4.3节的表

44、4.1给出了常用概率分布的包含因子。p(%) 5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763/第39页6.7 B类不确定度的评定方法(续) （）如已知信息表明Xi之值接近正态分布，并以0.68的概率落于 (a+a-)/2=a的对称范围之内，按表-1，kp=1 ，则u(xi)=a。 （）若已知Xi估计值xi分散区间的半宽为a，且 落在a至a范围内的概率p为100%，通过对分布的估计，可以得出xi的标准不确定度为： /第38页 用于测量的某台设备的校准证书中说明，在它的校准范围内的测量不确定度为U(x)0.10，置信概率p95。由置信概率95，可以假

45、定等效于用包含因子k2来表示该不确定度的。因此，在其校准范围内，由该设备引起的标准不确定度u(x)为： 【例1】 由校准证书数据确定标准 不确定度 【例2】校准证书给出电流表1A档的 不确定度为满偏转的1.0， 置信概率95。 由证书可知，在该档，不确定度U是1A的1.0，k2。所以，应当注意，当采用这一档时，由电流表的校准引起的标准不确定度不是与读数成正比的，而是一个固定值： 检定证书判断合格的数据 对于检定证书判断合格的数据，应仔细阅读检定证书。（1） 当检定证书给出准确度等别时，可以依据国家检定系统表或检定规程所规定的该等别的测量不确定度的大小进行评定，按6.7.2节和6.7.3节的方法

46、计算相应分量的标准不确定度。诸如量块、天平、砝码、标准温度计的检定证书。 /第42页【例3】二等标准铂铑10-铂热电偶检定证 书给出热电偶在3001100 范围内检定合格。 由JJG 2003-1987铂铑10-铂热电偶计量器具检定系统框图(1)可知，二等标准铂铑10-铂热电偶总（扩展）不确定度为1.0， (k=3)。 所以，由二等标准铂铑10-铂热电偶引入的标准不确定度分量为： 【例4】1000g F1等砝码检定证书给出检 定合格。 由JJG 2053-1990质量计量器具检定系统框图可知，1000g F1等砝码的质量总（扩展）不确定度（置信概率99.73%99）z20mg。因此，包含因子k

47、3。 所以，由1000g F1等砝码引入的标准不确定度分量为： 检定证书判断合格的数据(续) （2） 当检定证书给出准确度级别时，可以依据国家检定系统表或检定规程所规定的该级别的最大允许误差（示值允差）进行评定（包括没有说明级别的检定证书，也可按此方法处理）。 假定最大允许误差为A，则区间半宽度为a=A，服从矩形分布，包含因子。仪器最大允许误差（示值允差）引起的标准不确定度为： /第42页【例5】 0.2级三相标准电能表检定证 书给出检定合格，符合A型技 术指标要求的结论。 查JJG596-1999 电子式电能表检定规程，0.2级A型三相（平衡负载）标准电能表，负载电流为0.1 IbImax，

48、功率因数cos=1时，基本误差限为0.2。则区间半宽度为a=0.2，服从矩形分布，包含因子 。由此引起的标准不确定度为： 【例6】仪器制造厂的说明书给出仪器的 准确度（或误差）为1%。 我们就可以假定这是对仪器最大误差限值的说明，而且所有测量值的误差值是等概率地（矩形分布）处于该限值范围0.01，0.01内。（因为大于1%误差限的仪器，属于不合格品，制造厂不准出厂；或者检定不合格，不准投入使用。）矩形分布的包含因子 ，仪器误差的区间半宽度a=0.01(1%)。因此，标准不确定度为： 【例7】 制造商给出A级100mL单标线容 量瓶的允差为0.1mL。 欧洲分析化学中心(EURACHEM)认为其

49、服从三角分布，则区间半宽度为a=0.1 mL，包含因子 。由此引起的引起的标准不确定度为： 6.7.7 来源于手册、数表或其他资料的数据 源于手册、数表或相关资料的数据，必须仔细阅读其说明。如果说明了分布，就按照具体分布求出标准不确定度；但是通常情况下查得的数据是被测量分布的极限范围。从而可以得到被测量可能值的分布区间半宽度a，即允许误差的极限值。由于a可以认为对应于置信概率p100的置信区间半宽度，因而就是该被测量的扩展不确定度。因此，被测量的标准不确定度可由下式给出： 包含因子k随分布的不同而取不同数值【例8】查2003年国际理论和应有化学联合会原子量和同位素丰度委员会发布的“相对原子质量

50、表”，氧原子O的相对质量为15.9994(3) g/mol，括号内的数字“3”是指，氧原子的相对质量15.9994g/mol的最后一位数字“4”的最大允许误差为0.0003g/mol，估计其可能概率分布为均匀分布，故包含因子k(O)= ， 区间半宽度a(0)= 0.0003g/mol，其标准不确定度u(O)为： 【例9】 查物理手册得到黄铜在20时的线膨胀系数 a16.521061，但指明最小可能值为 16.401061，最大可能值为16.921061。 由给出的信息知道是不对称分布，这时有： a=(16.4016.52)10610.121061， a=(16.9216.52)10610.40

51、1061。 因此，区间半宽度a(aa)/2(0.400.12)/210610.261061，假设为均匀分布，包含因子 。其标准不确定度为： /第40页6.7.8 B类不确定度评定方法的 其他常见情况 【例10】 数字显示的分辩力引起的 标准不确定度 如果仪器的分辩力为，则示值x将等概率处于x/2，x/2的区间任何位置。即被测量的可能值服从均匀分布，区间半宽度a/2，包含因子 。 因此分辩力引起的标准不确定度为： 【例11】 仪器读数滞后引起的标准不确定度 仪器读数滞后的方向不是都能观察得到，在平衡点附近会有振荡。由于滞后所引起的可能读数的范围需要在测量之前事先进行观测确定。如果因滞后使测量结果

52、的变化范围为，则a/2可以看作置信概率p100的矩形分布的半宽度，包含因子 。 因此仪器滞后引起的标准不确定度为： 6.7.10 B类评定标准不确定度的自由度 自由度所反映的是信息量，故可用来衡量不确定度的可靠程度。 B类评定标准不确定度的自由度与所得到的标准不确定度u(xi)的相对标准不确定度有关，其关系为： 式中 是标准不确定度的标准差，即是标准差的标准差，不确定度的不确定度。 /第4344页 当根据有关信息对所测量的输入量Xi做出某种先验概率分布的判断时，则在一定的置信概率下，所评定的标准不确定度便具有与置信概率相应的可信度，即可估计出标准不确定度的相对标准不确定度，从而可用式(6.29

53、)求出标准不确定度B类评定的自由度。按式(6.29)计算出的某些自由度列出于下表。自由度 i自由度 i00.3060.10500.4030.20120.5020.258对于检测实验室，通常可以选择B类评定的自由度。6.7.11 求各个输入分量标准不确定度对输 出量y的标准不确定度的贡献 在求出各个输入量的不确定度分量ui(x)之后，还需要计算传播系数（灵敏系数）ci，最后计算由此引起的被测输出量y的标准不确定度分量：式中传播系数或灵敏系数 的含义是，输入量的估计值xi的单位变化引起的输出量的估计值y的变化量，即起到了不确定度的传播作用。 输入量标准不确定度输出量标准不确定度第16页/45（1）

54、 输出量正比于或反比于输入量的情况 直流功率P通过电压U和电流I测量确定，其数学模型为PUI，单位W。如果电压测量引起标准不确定度分量为u(U)，单位V，由此引起的直流功率测量的标准不确定度用下式计算： u(P)=常数u(U)cUu(U) （W） 式中，灵敏系数（传播系数） ，单位A。 注意，在考虑电压U的测量不确定度时，应当将电流I视为常数。此外，必须注意灵敏系数是电流单位A。 （2） 输出量正比于输入量幂次方的情况 直流功率P通过电流I和电阻R测量，其数学模型为PI2R，单位W。测量电流I的不确定度为，单位A。由电流测量不确定度引起的直流功率测量不确定度用下式计算： u(P)=常数u(I)

55、cIu(I) （W） 式中，灵敏系数（传播系数） ，单位A。 注意，在考虑电流I的测量不确定度时，应当将电阻R视为常数。此外，必须注意灵敏系数的单位是A。 6.8 合成标准不确定度 得到各标准不确定度分量u(y) 后，需要将各分量合成给出被测量Y的合成标准不确定度uc(y)。下标c是“combined”(合成)的第一个字母。合成之前必须将所有的不确定度分量都换算为标准不确定度。合成时，需要考虑各输入量之间的相关性。 6.5.1节已经介绍了不确定度传播率。现在讨论经常遇到的标准不确定度的合成。/第45页6.8.1 直接测量 直接测量的量，其各分量的标准不确定度互不相关，采用方和根方法合成。例如在

56、比较仪校准量块，直接测量被校量块与标准量块的长度差；在校验台上用标准电能表校准被校电能表的示值误差。示值误差的校准属于此类。【例】电能表示值误差不确定度评定数学模型： 。H是被检表的相对误差，WO是三相电能表标准装置上测得的相对误差。输入量WO的不确定度的来源主要有如下方面：在重复条件下测量结果不重复引起的标准不确定度分量uA；标准电能表的误差引起的标准不确定度分量uB1；标准电能表检定装置读数分辨力引入的标准不确定度分量uB2。uA、uB1和uB1互不相关，采用方和根方法计算输入量WO的合成标准不确定度： 测量结果H（输出量）等于直接测量的量WO（输入量）。6.8.2 间接测量 间接测量是指

57、最终的测量结果需要由多个被测量值计算给出。如果被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则有yf(x1，x2，xN) 对于间接测量，首先必须求出各个输入量估计值xi的各项标准不确定度分量，然后按照直接测量的方法求出各输入量估计值xi的合成标准不确定度uc(xi)。最后再对各输入量估计值xi的合成标准不确定度uc(xi)进行合成，求出输出量估计值y的合成标准不确定度uc(y)。 6.8.3 不相关输入量的合成 由前述6.5.1节不确定度传播率可知，对于输入量互不相关（彼此独立）的情况，可认为相关系数=0，有 对于大多数情况，输入量是互不相关的，这时采用上式 合成，称为用方和根（RSS）方法

58、合成。下列几种情况可认为量输入量Xi互不相关，即相关系数r(xi，xj)0：输入量Xi互不相关；输入量Xi属于不同体系的分量，如人员引起的不确定度分量、温度影响的不确定度分量、由上一级标准校准证书确定的不确定度分量；r(xi，xj)在1,1上对称分布；输入量Xi弱相关等。 /第4546页6.8.4 相关输入量的合成 由6.5.1节不确定度传播率可知，对于输入量相关的情况，这时有协方差函数项u(xi,xj)= u(xj,xi) : 下列几种情况可认为量输入Xi完全正相关，即相关系数r(xi，xj)1：输入量Xi呈线形或近似线形关系；输入量Xi属于同一体系的分量，如用同一米基线尺测量两个1m的长度

59、，则各米分量之间完全相关；若一个分量增大或减小，引起其他分量增大或减小；如果知道量输入Xi相关，可近似取相关系数r(xi，xj)1。 相关系数估计值的范围为 /第4851页相关系数 =1 即输入量的估计值xi和xj正相关时 ，输出量的合成标准不确定度用下式表示： (1) 当 1时，合成标准不确定度为： 这种情况属于强相关。(2) 对于Y=X1X2的情况，如果相关系数r(x1，x2)r(x2，x1)=+1，且当 时，则合成标准不确定度可用方和根（RSS）方法合成。 【例】采用配恒体称量法，第一次称得m1，加入被测物品m(m1)后，用同一台天平第二次称得m2，则被测物品质量为：m= m2m1。显然

60、相关系数r(m1，m2) +1， 。可认为输入量m2和m1是弱相关的，此时测量被测物品m的合成标准不确定度可采用方和根方法计算： 因此，如果使用同一台仪器测量不同的两个量，而在数学模型中，这两个量是相减的或者是相除的（商），则它们是负相关的。这种情况可以认为是不相关的，依然可以采用方和根（RSS）方法合成。 6.8.5 合成不确定度表达的简化形式 有时，在输入量彼此独立的线性模型的情况下，合成不确定度的表达可以采用更为简单的形式。合成标准不确定度的三个简单规则如下：【规则 1】只涉及量的和或差的线性模型，例如: 。则合成标准不确定度如下： 此时，有 ，所以可以将上式写作：/第47页6.8.5