《数学归纳法》教案1附知识点归纳典型例题练习训练题

1、选修2-2数学归纳法授课设计.授课内容：数学归纳法.重点、难点：数学归纳法步骤：（1）（归纳确立）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立。（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。【典型例题】111111111例1nN*求证：2342n12nn1n22n。证明：11（1）n1，左122右，成立（2）假设nk时成立11111111342k12kk12k即：2111111当nk22k12k2k12k21时，左=1111k12k2k12k21111(11)k2k32k2k1k12k2111k2k32k2=右即nk1时，成立综上所述，由（1）（2）对所有n

2、N*命题成立。例2nN*求证：122232(2n1)(2n)22n(2n1)2n(n1)(4n3)证明：1）n1，左=418=14=（1）27=右2）假设nk时成立即：122232(2k1)(2k)22k(2k1)2k(k1)(4k3)nk1时左1.222.32(2k1)(2k)22k(2k1)2(2k1)(2k2)2(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)(2k2)(2k1)(2k2)(2k3)2k(k1)(4k3)2(k1)6k7(k1)4k23k12k14(k1)(k2)(4k7)(k1)(k1)14(k1)3=右即：n=k+1时成立综上所述由（1）（2）命题对所有nN*成立另解：令a

3、n中，a1122232an(2n1)(2n)22n(2n1)2an2n(6n1)12n22nSna1a2an12(1222n2)2(12n)2n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(4n3)求证：(111例3nN*1)(13)(12n1)2n1证明：（1）n=1左=1+1=2=43右（2）假设n=k时成立(11)(11)(11)2k1即：32k12k1(11)2k2当nk1时，左2k12k1欲证：左2(k1)1右2k2)2(2k3)2(2k2)2(2k1)(2k3)(2k12k1102k12k22k3左边2k1nk1时成立综上所述由（1）（2）对所有nN*命题成立111121例4对于nN*，

4、n2232n2n。2，求证：证明：115321（1）n2，左4422右（2）假设n=k时成立1111212232k2k即：11111112232k21)22(k1)2当nk1时，左=(kk11(k1)11222kk(k1)k(k1)k1右nk1时成立综上所述由（1）（2）对所有nN*，n2命题成立例5对于nN*，求证：(x1)n1(x2)2n1，可被(x23x3)整除。证明：（1）n1，左(x1)2(x2)1x23x3成立（2）假设n=k时成立即：(x1)k1(x当nk1时，(x(x1)(x1)k1(x1)(x1)k1(x1)(x23x(x23x3)(x2)2k1(x23x3)f(x)1)k2

5、(x2)2k1(x24x4)(x2)2k1(x1)(x2)2k1(x23x3)(x2)2k13)f(x)(x23x3)(x2)2k11)f(x)(x2)2k1nk1时成立综上所述由（1）（2）对所有nN*例6求证：nN*，352n123n1可被17整除。证明：1）n=0，左=15+2=17成立2）假设n=k成立即352k123k117M，MN当nk1时，352k323k425352k1823k117352k18(352k123k1)352k1817M17(352k18M)122232n(n1)21n(n1)(an2bnc)例7可否存在常数a,b,c使12对一切nN*恒成立。证明：令n1,2,3

6、41bc)(a6a31(4a2bc)22b112c10709a3bc下证明对所有nN*122232n(n1)21n(n1)(3n211n10)12恒成立1）n=1时，显然成立2）假设n=k时成立当nk1k(k1)(3k211k10)(k1)(k2)21时，左121(k1)3k311k210k12k248k48121(k1)3k312k214k2121(k1)(k2)3(k1)211(k1)1012nk1时成立综上所述由（1）（2）对所有nN*命题成立ana1b(b2)an121(nN*)an例8数列满足，an，求。a1b,a2112ba4132b,a32a22a343b解：2b32b，推测证明

7、：(n1)(n2)bann(n1)b1）n=1成立2）假设n=k成立ak(k1)(k2)bk(k1)b即ak11k(k1)b当nk2ak2k(k1)b(k1)(k2)b1时，k(k1)b(k1)kbnk1成立an(n1)(n2)b综上所述对所有nN*n(n1)b，成立a12p,an2pp2an1（p0为常数），试判断p可否为数列an中的一项。例9a12p,a23,a34p证明：23ann1p推测n1）n1成立2）假设n=k成立ak2pp2p2k11ak2pakk1kpk1时，p即，nk2pkpk2pk1k1成立ann1综上所述对所有nnpN*，成立p不是an中的一项a12,an1an1,N*例

8、10数列an满足ann（1）求证：an2n1对所有nN*成立；bnann，nN*，试比较bn与bn（2）令1大小关系。（1）n1,a123成立假设n=k时成立，即ak2k1ak211ak222k312k3当n=k+1时，ak2ak2ak12k3nk1时成立综上所述由对所有nN*，an2n1an21an2121an222anan22（2）bn1bnn1nn1n121an2112n1an2n2nn1n12n1(n1)10n(n1)(2n1)n(2n1)nN*，bn1bn【模拟试题】1.用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)时，从n=k到n=k+1，左端需要增加

9、的代数式为（）B.2(2k1)2k12k3A.2k1C.k1D.k12.1112n11n(nN*,n1)用数学归纳法证明23时，第一步应试据不等式（）1121112223A.B.11131111323234C.D.1aa2an11an2(a1)”，在考据n1时，左端3.用数学归纳法证明：“1a计算所得的项为（）A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3f(n)n1121(nN*)f(n1)f(n)等于（4.设1n2n，那么）111111A.2n1B.2n2C.2n12n2D.2n12n25.使不等式2nn21对任意nk的自然数都成立的最小k值为（）A.2B.3C.4D.56.若命题p(n)对n

10、=k成立，则它对nk2也成立，又已知命题p(2)成立，则以下结论正确的选项是（）p(n)对所有自然数n都成立B.p(n)对所有正偶数n成立C.p(n)对所有正奇数n都成立p(n)对所有大于1的自然数n成立x11,x221127.数列xn3，且xnxnxn（n2），则xn满足11（）21(2)n1(2)nn2A.nB.3C.3D.28.已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，经过计算a2,a3,a4，猜想an（）2222A.(n1)2B.n(n1)C.2n1D.2n1f(x)ax3x21x1,1f(x)19.函数2的最大值不大于6，又42时，8（1）求a0a11,an1f(an)an1（2）设2，nN*，求证：n110.设a0为常数，an3n12an1,nN*证明对任意nN*an13n(1)n12n(1)n2na05【试题答案】3.C4.D5.D6.B7.A8.Bf(aa21)663f(1)a31a12288f(1)a319.证明：443281（1）n=1a12成立（2）假设nk时成立ak1ak13ak)kak(1即1，当n=k+1时，2131(k2)ak(13ak)22k2(k2)ak(12ak)k2211)ak111)11(k1(2kk1122k22k222k