空间中曲面以及曲线

1、第四节一、曲面方程及常见的曲面二、空间曲线机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间中的曲面和曲线 第七章 1一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F

2、( x, y, z ) = 0 的图形.两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3三、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动

3、的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 z 轴的双曲柱面.表示母线平行于6一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 7故所求方程为例1. 求动点到定点方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨

4、迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 8例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 9定义2. 一条平面曲线二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 10建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线

5、C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 11思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 12例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 13例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 14四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们

6、的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 151. 椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 16与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 172. 抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.机动 目录 上页 下页 返回

7、 结束 18(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 194. 椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 20212012-03-25(ZhouriXiawu)补周三（ 2012-03-21下午）的课。223. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 23虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 24(2) 双叶

8、双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 25内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 262. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 274.2 空间曲线28一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.

9、 C机动 目录 上页 下页 返回 结束 29又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 30例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，31二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.3233例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 34螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度螺距35例1. 将下列曲线化为参数方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 36解: (1) 根据第一方程引入参数 ,

10、(2) 将第二方程变形为故所求为得所求为37绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 xoz 面上的半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 38三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为39空间曲线投影曲线投影柱面4041消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 42定义柱面43定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.44定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.45定义柱面平行于定直

11、线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.46定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.47定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.48定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.49定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.50定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.51定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.52定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.53定义柱面平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.54例4 求曲线 在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在 面上的投影为55所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面 上，562012-04-11(ZhousanXiawu)57例如,在xoy 面上的投影曲线方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 58又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 5960例：求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 61