双“S”曲线模型课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、双“S”曲线模型于洪池101246第1页背景介绍“S”曲线模型双“S”曲线模型应用实例第2页 一 背景介绍 生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出了Logistic模型,大量研究表明在自然界(如动植物种群增加)、在经济界(如生产总值增加、耐用消费品销售数量等)很多问题都能用Logistic模型来描述。Logistic模型在预测与决议上也有着独特表现和广泛应用。许多学者在Logistic模型基础上对其进行推广, 提出了很多改进模型。这些改进模型拓展了适用范围, 更加好地描述了实际问题。Logistic 模型及其改进模型均建立在种群所在空间含有一最大容量(也称饱和容量)且该最大容量自始至终保

2、持不变这一假设基础上, 不过实际上最大容量一直保持不变只是一部分现象近似描述, 很多情况下饱和容量是改变。比如,伴随经济发展,人民生活水平提升,耐用消费品市场饱和值会不停增大。在这种情况下增加曲线不是Logistic模型所表现出来S形曲线，而是呈双S形曲线形状，Logistic模型及其改进模型均不能确切地描述这类问题, 究其原因是因为模型假设中饱和容量恒定不变与实际情况不相符。第3页 二“S”曲线模型 Logistic模型基本假设为:种群个体没有差异,含有相同增加率,且相对增加率与剩下空间资源成正比;空间资源有限,含有一定饱和值,且饱和值一直保持不变。则Logistic模型中种群相对增加率为

3、此式称为Logistic方程,相对增加率与种群数量x成线性关系（见图1）, 其中常数r0为内秉增加率,它表示每个个体没有受到抑制时最大增加率, 反应了物种内在特征.k为空间饱和容量,当物种数量到达饱和容量值时, 种群不再增加。种群增加率为（1）（2）增加率与x成二次关系（见图2）。第4页方程（1）积分式为图形成“S”型（见图3）。（3）第5页 三 双“S”曲线模型 1.问题提出 改进Logistic模型依然是在空间饱和容量k不变前提下建立,如果空间饱和容量发生变化,上述全部模型将不能准确刻画实际问题。现实世界中经常出现空间饱和容量不停变化情况。例如:由于科技创新,人民生活水平不停提高,耐用消费

4、品饱和市场(可理解为空间饱和容量)会不停扩大;随着生产力提高,人口饱和空间容量会不停扩大。在这种情况下用上述模型研究种群数量变化,由于基本假设不符会出现较大偏差甚至错误结果。 空间饱和容量变化有两种情况: 一种是跳跃式突变,如一种商品已经接近饱和值但由于某时刻发生技术革新,使得商品又进入了新增长久;另一种是连续渐进空间饱和容量变化,例如在人口增长过程中,生产力不停提高,人口饱和容量亦随之不停地扩大,饱和容量变化是伴随在群体发展过程中。 第6页 在种群发展曲线中广泛存在双“S”形曲线(见图4),它大约有两种成因,种群发展到饱和值后某个时刻空间饱和容量突变为另一个值,或者在种群发展过程中,空间饱和

5、容量随之改变,最终种群改变曲线展现为双“S”形。对于前一个情况,空间饱和容量改变前后曲线相对独立,可分别研究,但对于后者,曲线是一个整体, 各段改变亲密相关,不能作为两段Logistic 曲线来研究。下面讨论研究这类双“S”形曲线模型。第7页2.双“S”模型建立 对于Logistic曲线(见图3),其微分形式是一个抛物线函数(见图2),其相对增加率关系曲线(见图1)为递减直线。用类比思想,要生成积分曲线为双“S”形(见图4),其微分曲线应为M形(见图5),即有两个高峰增加点。M形增加曲线各点分别除以x值即得到了对应关系曲线(见图6)。由图可见,关系近似于三次多项式,这里考虑用多项式描述双“S”

6、形曲线微分,记双“S”形曲线模型相对增加率满足方程为 式中r为内秉增加率,k为最终状态空间饱和容量, b为种群第一段S形曲线向第二段S形曲线转变时空间饱和容量。a、c为控制曲线线态参数。当a=0时微分方程即为Logistic方程。对应增加率满足方程为（4）（5）第8页3.参数估算法 因为(4)解为一隐式方程,用实际数据直接预计参数比较困难,本文按以下方式预计参数。首先对原始数据进行差分处理,用中心差商近似代替导数, 得出相对增加率近似值,即（6） 其中x t 为t时刻种群数量，然后用最小二乘法预计(4)式中参数r,k,a,b,c。得到各参数后,求解微分方程(5),从而得到各个时刻x值。第9页 四 应用实例 下面以1984 重庆市涪陵区农村百户家庭电视机拥有量为例,检验双S形曲线模型拟合精度与预测准确度,并将双S形曲线模型与Logistic模型进行了比较第10页对于双S形曲线模型拟合采取前边介绍差分拟合方法,所得方程为：各年拟合数据见表1第3列和第7列, 拟合曲线见图7,拟合误差为：（7）（8）第11页 对于Logistic模型,因为x与t有显式关系式(3),直接用最小二乘法拟合得到方程为各年拟合数据见表1 第4 列和第8