海外文献推荐系列之五十三：西学东渐

1、目录1、引言. - 3 -2、数据与方法说明 - 5 -2.1、数据说明 - 5 -2.2、最小方差组合 - 6 -2.3、协方差预测方法 - 7 -2.3.1、滚动历史协方差 - 7 -2.3.2、滚动收缩历史协方差 - 8 -2.3.3、指数移动平均法（EWMA） - 8 -2.3.4、DCC-GARCH 模型 - 9 -2.3.5、GO-GARCH 模型 - 10 -3、不同协方差预测方法的实证分析 - 11 -3.1、协方差矩阵的预测 - 11 -3.2、最小方差组合的构建 - 12 -3.3、基于最小方差组合的目标波动率组合构建 - 14 -4、结论 - 16 -图表 1、美国股票和

2、债券指数月度收益率波动率和相关系数的历史变动 - 4 -图表 2、本文使用的 9 个数据集 - 6 -图表 3、来自 Thomson Reuters Datastream 数据库的 7 大类资产数据 - 6 -图表 4、不同协方差矩阵预测方法的样本外预测准确度（1995-2013） - 12 -图表5、不同协方差矩阵预测方法在9 个数据集上的平均样本外预测准确度（1995-2013） - 12 -图表 6 、基于不同协方差预测方法的最小方差组合波动率样本外均方跟踪误差（1995-2013） - 13 -图表 7、基于不同协方差预测方法的最小方差组合波动率在 9 个数据集上的平均样本外均方跟踪误

3、差（1995-2013） - 14 -图表 8、基于不同协方差预测方法的目标波动率组合样本外均方跟踪误差（1995-2013） - 15 -图表 9、基于不同协方差预测方法的目标波动率组合在 9 个数据集上的平均样本外均方跟踪误差（1995-2013） - 15 -报告正文协方差矩阵预测方法的比较文献来源：Zakamulin, V. (2015). A test of covariance-matrix forecasting methods. The Journal of Portfolio Management, 41(3), 97-108.推荐原因：金融资产收益率协方差矩阵的估计和预测在

4、金融众多领域如资产配置、风险管理等中具有核心地位。目前关于不同协方差矩阵预测方法的比较研究还较少，本篇论文从统计学和实际应用两个角度评估了 5 种不同方法的优劣，包括滚动历史协方差法、滚动收缩历史协方差法、指数移动平均法（EWMA）、DCC-GARCH 模型法以及 GO-GARCH 模型法。实证结果表明，基于 GARCH 模型的两种协方差预测方法表现最好，EWMA 方法其次，而滚动历史协方差和滚动收缩历史协方差法表现最差。考虑到 EWMA 方法的预测准确度已经较高，且相比 GARCH 模型计算更简单、快速，文章建议实践中选用 EWMA 方法。总体来说，这篇论文为我们在实践中选择协方差矩阵预测方

5、法提供了重要的依据和参考。我们的思考：近年来，基于风险的组合优化方法如最小方差组合、风险平价策略等受到广泛关注，能否准确预测协方差矩阵直接影响着这类最优风险组合的表现。本文全面比较了 5 种新老方法在预测协方差矩阵和构建最优风险组合上的表现，并推荐了简单有效的指数移动平均（EWMA）方法，为我们在实践中选择预测方法指明了方向。1、引言Markowitz 1952提出的均值方差组合优化框架具有重要的理论意义，但在实践中由于资产期望收益率难以被准确预测而未得到广泛应用。实际上，大多数共同基金经理专注于通过寻找低估值证券来获得潜在的高收益率。21 世纪的第一个 10 年里市场波动巨大，引起了大家对组

6、合优化特别是基于风险的组合优化技术的兴趣。这些新的基于风险的组合优化方法只需要资产收益率协方差作为模型输入，省去了对资产期望收益率的预测。最流行的组合风险优化方法包括最小方差组合（Clarke 等2006；Clarke 等2011）、最大分散化组合（Choueifaty 和 Coignard2008）、风险平价组合（Maillard 等2012；Chaves 等2011；Asness 等2012）以及目标波动率组合（Busse1999；Collie 等2011； Butler 和 Philbrick2012；Albeverio 等2013）。这些组合优化方法都经过了大量实际历史数据的回测检验，

7、相比均值方差组合和等权组合有更优秀的表现。协方差矩阵是组合风险优化方法中的核心要素，本文将专注于研究收益率协方差矩阵的预测。我们通常认为资产收益率非常难以预测，而收益率协方差可以通过历史协方差进行预测。一个标准的做法是利用过去 5 至 20 年左右的资产月度收益率计算历史协方差并将其作为未来协方差的预测值（ Chan1999 ； DeMiguel2009；Duchin 和 Levy2009；Kritzman2010）。不过这种做法只有在协方差矩阵不随时间变动或者变动缓慢的假设下才是有效的。而实际上，很多研究表明金融资产收益率具有异方差性和波动率聚集的特点，资产间收益率相关性也似乎不是一成不变的

8、。图表 1 给出了美国股票和债券指数的月度收益率波动率和相关系数随时间变动的示意图。我们可以看到，不管是资产波动率还是资产间相关系数都可能在短短几年的时间内出现大幅改变。实际上从 2006 到 2008 年，股票市场的波动率水平上升了 10 倍，债券市场的波动率上升了 4 倍，它们的相关系数也从 0 附近变成显著负值。因此，我们在预测协方差矩阵的时候需要考虑到它可能具有时变性。图表 1、美国股票和债券指数月度收益率波动率和相关系数的历史变动资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理组合风险优化方法的表现依赖于协方差矩阵预测的准确性，但目前关于不同协

9、方差矩阵预测方法的比较研究还比较少，本文的目标就是通过比较不同预测方法的表现来填补这个空白。我们将从统计学和实际应用两个角度出发来评估不同方法的优劣。具体来说，我们有三种研究方式。第一种研究方式中，我们直接通过样本外预测准确性来评估不同协方差矩阵预测方法的优劣，预测准确性用均方预测误差度量。第二种研究方式中，我们关注不同预测方法在样本外构建最小方差组合的能力，预测准确性用构建的最小方差组合与实际最小方差组合的波动率均方跟踪误差（MSTE）度量。第三种研究方式中，我们关注不同预测方法在样本外构建基于最小方差组合的目标波动率组合的能力，预测准确性用构建的目标波动率组合与实际目标波动率组合的波动率均

10、方跟踪误差（MSTE）度量。在本文的研究中，我们使用 5 种不同的方法来滚动预测协方差矩阵，滚动窗口设定为 10 年。第一种预测方法是实践中最常用的，它直接利用滚动计算的历史协方差矩阵作为对其未来的预测。为了减少预测误差，第二种方法使用了 Ledoit and Wolf 2004提出的协方差收缩估计法。这种方法应用了 Stein 1956率先提出的收缩估计的理念。第三种方法是指数移动平均法（EWMA），这种方法曾因RiskMetrics 集团而流行起来。其余两种方法基于多变量广义自回归条件异方差模型(GARCH)而构建。单变量 GARCH 模型由 Blooerslev 1986首次提出，后来被

11、证明在金融资产收益率的波动率预测方面具有不可替代的地位。不过，由单变量GARCH 模型直接推广得到的多变量 GARCH 模型（如 Bollerslev 等1988提出的VEC-GARCH 模型和 Engle and Kroner 1995提出的 BEKK-GARCH 模型）由于参数过多而难以用来对多个金融资产的波动率变动建模。当资产数量较少时， Pojarliev and Polasek2001，2003发现使用BEKK-GARCH 模型预测协方差矩阵要优于直接使用历史协方差。在本文的研究中，我们主要关注两种适用于大型协方差矩阵估计的新型 GARCH 模型，分别是 Engle2002提出的 D

12、CC-GARCH 模型和Weide2002提出的 GO-GARCH 模型。为了保证本文结论不依赖于特定数据，我们选取 9 个不同数据集分别进行实证，每个数据集中都包含若干种不同资产的历史收益率序列。为了保证研究结论不依赖于特定历史时间段，我们选取的样本外预测区间为 1995 年 1 月至 2013 年12 月，覆盖了平稳和动荡的不同市场环境。最后我们发现，相比于历史估计法，收缩估计法没能减少协方差的预测误差和最小方差组合的跟踪误差。而两种多元 GARCH 模型表现优异，它们对协方差的预测误差和最小方差组合的跟踪误差比历史估计法低 50%以上。另外，指数移动平均方法表现也较好，仅略差于GARCH

13、 模型的表现。本文剩余部分的组织方式如下：在本文第二部分，我们将介绍实证数据的构成、最小方差组合的构建方法以及 5 种协方差矩阵预测方法；第三部分将展示本文的实证结果；第四部分给出本文的结论。2、数据与方法说明、数据说明本文共使用了 9 个数据集，它们与DeMiguel 等2009和Kritzman 等2010的研究中使用的数据类似（见图表 2）。前 8 个数据集均来自 Kenneth French 的数据库，其中每组数据都代表了通过某种方式构建的市值加权组合。举例来说，基于市值的数据集包括了 10 个市值从大到小排序的股票组合。这些组合的构建基于NYSE 提供的市值分界点和每年 6 月底的股

14、票市值。再举另外一个例子，基于行业的数据集中包含了美国 10 个行业组合的收益率数据，包括非耐用消费品、耐用消费品、制造业、能源、高科技、通讯、零售、健康、公用事业和其他行业。第9 个数据集来自Thomson Reuters Datastream 数据库，包括了 7 种不同的主要资产类别（见图表 3）。所有 9 个数据集均包含了从 1986 年 1 月 1 日到 2013 年 12 月31 日的日度数据。另外，我们使用 Kenneth French 数据库提供的美国 90 天国债名义收益率作为无风险收益率。图表 2、本文使用的 9 个数据集资料来源：The Journal of Portfol

15、io Management， 整理图表 3、来自 Thomson Reuters Datastream 数据库的 7 大类资产数据资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理、最小方差组合本文将以最小方差组合为研究对象，探究何种协方差预测方法能更准确的构建出样本外最小方差组合。我们假设组合的调整频率为月度，在每月底最后一天更新最优权重。假设有 n 个风险资产和 1 个无风险资产，rm 表示第m 个月的风险资产收益率向量， wm 表示第 m 个月的风险资产权重向量， m 表示第 m 个月的风险资产组合收益率协方差矩阵，则第 m 个月的风险资产组合的收益

16、率和波动率可分别表示为：w wm m mr w w ,Pmm mPm我们用 m 表示基于第 m-1 月底前数据对第 m 月风险资产收益率协方差矩阵的预测，则构建第 m 月的风险资产最小化方差组合等价于求解一个带约束二次规划问题：w1 minm: 2 wmmwmst. w 1 1, w 0mm其中 1 和 0 分别表示n 1的元素为 1 和 0 的向量。我们用am 表示风险资产的配置比例，1 am 表示无风险资产的配置比例。假设第 m 个月的无风险收益率为rfm ，则整个资产组合的收益率可表示为：rCm am rm (1 am )rfm在后续的研究中，我们将考虑两种情况。第一种情况假设 am =

17、1，即所有资金均投资于风险资产。第二种情况通过选择am 来使整个组合波动率维持在目标水平，目标波动率水平用 target 表示： targetmax am min , aPmPm其中表示第 m 个月风险资产组合波动率的预测值，amax 表示整个组合中风险资产的权重上限。、协方差预测方法本文使用日度数据来计算收益率协方差矩阵，假设日度资产收益率向量满足如下等式：rt t其中 是资产收益率均值向量，t 是均值为 0 的 t 日收益率随机扰动向量，t 日资产收益率的协方差矩阵为 。下面我们具体介绍几种协方差矩阵的预tt t测方法。、滚动历史协方差滚动历史法直接利用历史收益率协方差矩阵作为对其未来的预

18、测。具体来说，我们给定一个固定的回看窗口长度L，则 t 日的日度协方差矩阵预测值可表示为：tL Hist 1t 1 t tit L由于假设组合权重每月调整一次，我们实际需要预测下一个月的收益率协方差矩阵。本文定义下一个月的收益率协方差预测值为日度收益率协方差预测值与下个月天数 Nm 的乘积:mm t Hist N Hist、滚动收缩历史协方差为了减少协方差矩阵的预测误差，学界发明了收缩估计法，它可写为如下形式：tttt t Shrink (1 ) Hist Target其中t 表示 t 日的收缩参数且满足0 t 1， 表示回看期为 L 设定下tHist的协方差历史估计值， Target 是假设

19、回看期为 L 得到的收缩目标。本质上说，协方差的收缩估计量是其历史估计值和收缩目标的一个加权平均。本文参考了Ledoit 和Wolf2004的方法，利用常数相关系数模型（Constant Correlation Model）t得到收缩目标矩阵。同样的，下一个月的收益率协方差预测值为日度收益率协方差预测值与下个月天数 Nm 的乘积:mm t Shrink N Shrink、指数移动平均法（EWMA）这种协方差预测方法因RiskMetrics 集团而流行起来，它的计算方法可表示为如下递归的形式： EWMA (1 ) EWMAtt 1 t 1t 1其中0 1，是衰减常数。我们根据 RiskMetri

20、cs 集团的推荐选取=0.97 来计算日度协方差矩阵。与之前一样，我们定义下一个月的收益率协方差预测值为日度收益率协方差预测值与下个月天数 Nm 的乘积:mm t EWMA N EWMA、DCC-GARCH 模型动态条件相关性GARCH 模型（DCC-GARCH）是多元 GARCH 模型的一种。在此模型中，收益率协方差矩阵被分解成标准差矩阵和相关系数矩阵：tt t t DCC GARCH D R D其中 Dt diag(1t ,., nt ) 即包含各资产收益率标准差的对角矩阵，Rt ijt 表示相关系数矩阵。本文的研究使用 DCC-GARCH（1,1）模型，每个资产收益率的方差都用GARCH

21、（1,1）进行建模： 2 2 2 (1)it0i1i it 11i it 1我们用各个资产收益率经过 GARCH（1,1）建模后得到的标准化残差来估计DCC-GARCH（1,1）模型中的相关系数矩阵：R Q*1Q Q*1ttt t其中：Q (1 a b)Q ae e bQtt 1 t 1t 1e D1 是标准化误差， Q=Ee , e 是标准化误差的无条件协方差矩阵。tttttQ* 是对角阵，其对角元素是Q 对角元素的平方根，即Q* diag(Q )1/ 2 。tttt我们使用日度数据和长度为 L 的窗口滚动估计DCC-GARCH(1,1)模型，然后利用估计出的模型向后预测 Nm 天的协方差矩

22、阵。类似的，下一个月度协方差矩阵预测值可通过加总 Nm 天的日度协方差矩阵预测值得到：mi0t i DCC GARCH Nm 1 DCC GARCHt i 其中 DCC GARCH 是 t+i 日的协方差矩阵预测值。、GO-GARCH 模型广义正交GARCH 模型（GO-GARCH）也是多元 GARCH 模型的一种。在此模型中，日度收益率的随机误差向量t 是n 个不可观测的独立因子 ft 的线性组合：t Zft其中Z 是n n 的可逆矩阵，它连接了不可观测和可观测的变量。我们通过正规化使不可观测的 ft 具有单位方差，从而使得t 的无条件协方差矩阵满足： E ZZ t t本文使用 GO-GAR

23、CH(1,1)模型，用单变量 GARCH（1,1）来分别对相互独立的因子 ft 建模。我们定义 Ht diag(h1t ,., hnt ) ，其对角线元素表示 ft 的标准差， 则有：h2 f 2 h2 (2)it0i1i it 11i it 1 的条件协方差 GOGARCH 可表示为：tttt GOGARCH ZH Z 通过奇异值分解，我们可以将Z 分解为如下形式：Z =P1/ 2U 其中 P 是由无条件协方差矩阵 经过特征值分解得到的正交矩阵，=diag( ,., ) 是 的特征值矩阵，而 可以由 1 t 1 一致的估计出1nLit L t t来。U 是n n 的正交矩阵，它可以根据条件协

24、方差矩阵t 的结构被估计出来。与前面滚动估计 DCC-GARCH(1,1)的方法相同，我们使用日度数据和长度为L 的窗口滚动的估计 GO-GARCH(1,1)模型。然后利用估计出的模型向后预测 Nm 天的协方差矩阵。同样的，下一个月度协方差矩阵预测值可通过加总 Nm 天的日度协方差矩阵预测值得到：mi0t i GOGARCH Nm 1 GOGARCHt i 其中 GOGARCH 是 t+i 日的协方差矩阵预测值。3、不同协方差预测方法的实证分析在这一部分，我们通过三种研究方法来评估不同协方差矩阵预测方法的表现。第一种研究方法中，我们直接用样本外预测准确性来衡量不同协方差预测方法的优劣，预测准确

25、性用协方差均方预测误差度量。第二三种研究方法从实际应用的角度评估不同协方差矩阵预测方法的表现。在第二种研究方法中，我们关注不同预测方法在样本外构建最小方差组合的能力。在第三种研究方法中，我们关注不同预测方法在样本外构建基于最小方差组合的目标波动率组合的能力。我们对资产收益率的月度协方差矩阵进行滚动的样本外预测，设定回看期为L=120 个月。具体来说，为了预测第 m 个月的协方差矩阵，我们对 m-1 个月底之前 120 个月的日度收益率数据进行建模。在这种设定下，我们的第一个样本内训练区间是 1986 年 1 月 1 日到 1994 年 12 月 31 日，从而本文的样本外预测区间是1995 年

26、 1 月 1 日到 2013 年 12 月 31 日。、协方差矩阵的预测ij ,mij ,mm我们在这个部分比较使用不同方法预测协方差的准确性。假设m ij,m 表示第 m 个月的收益率真实协方差矩阵， m ij,m 表示我们在第 m-1 月底对m的预测，则第 m 个月资产 i 和 j 的收益率协方差的平方预测误差（SFE）可表示为( )2 。为了防止重复计算，我们只对 的包括对角线在内的上三角部分的协方差预测误差进行加总，得到完整的第m 个月的协方差矩阵预测平方误差：SFEnimij ,mij ,m ( )2i1 j 1整个样本外预测区间的协方差矩阵预测均方误差为：1 MMMSFE SFEm

27、m1其中 M 为整个样本外预测区间的月份数。图表 4 给出了在不同数据集上使用不同协方差预测方法的实证结果以及在所有数据集上的平均结果。图表 5 对不同预测方法在所有数据集上的平均预测误差结果做了直方图。从图中我们可以看到，滚动历史协方差法（HIST）和滚动收缩历史协方差法（SHRINK）的表现接近。也就是说相比于传统的历史预测法，收缩预测法不能够提升协方差矩阵的预测效果， 这个结论与 Disatnik 和Benninga2007中的发现一致。另外三种预测方法的表现十分接近，均可以减少大约 50%的协方差预测均方误差（MSFE）。其中，基于多元 GARCH 模型的两种方法比指数移动平均法（EW

28、MA）要稍好一些，表现最好的是 DCC-GARCH 模型。图表 4、不同协方差矩阵预测方法的样本外预测准确度（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理图表 5、不同协方差矩阵预测方法在 9 个数据集上的平均样本外预测准确度（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理、最小方差组合的构建在这个部分，我们通过比较不同协方差预测方法在样本外构建最小方差组合的能力来评估其预测效果。与之前相同，我们用m ij,m 表示第 m 个月的真实协方差矩阵， m ij,m 表示我们

29、在第 m-1 月底对m 的预测，用 wm 表示根据 m 计算得到的第 m 个月先验最小方差组合权重， wm 表示根据m 得到的第 mPm个月后验最小方差组合权重，即真实最小方差组合权重。我们用 oos 表示先验（样Pm本外）最小方差组合在第 m 个月实现的真实波动率，用 is表示后验（样本内）最小方差组合在第 m 个月的真实波动率：w wm m mw wm m m,oosisPmPm我们定义第 m 个月最小方差组合波动率的平方跟踪误差（STE）为先验和后验最小方差组合真实波动率差值的平方：STE ( oos - is )2mPmPm最后我们用整个样本外预测区间的最小方差组合波动率的均方跟踪误差

30、（MSTE）来衡量不同协方差预测方法的表现： M 1 MMSTESTEmm1其中 M 为整个样本外预测区间的月份数。图表 6 给出了从 1995 年到 2013 年不同协方差预测方法构建出的样本外最小方差组合与样本内最小方差组合波动率的跟踪误差表现。图表 7 给出了不同协方差预测方法在所有数据集上的平均表现。我们可以看到，滚动历史协方差法和滚动收缩历史协方差法的表现几乎完全一样，使用收缩估计法不能够减少最小方差组合的跟踪误差。而其余三种方法可以将 MSTE 减少 50%到 65%。其中， DCC-GARCH 模型效果最好，给出的 MSTE 最低。有些令人意外的是，EWMA 方法给出的 MSTE

31、 比更先进的 GO-GARCH 模型还要稍小一些。图表 6、基于不同协方差预测方法的最小方差组合波动率样本外均方跟踪误差（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理图表 7、基于不同协方差预测方法的最小方差组合波动率在 9 个数据集上的平均样本外均方跟踪误差（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理、基于最小方差组合的目标波动率组合构建在这个部分，我们通过比较不同预测方法在样本外构建基于最小方差组合的目标波动率组合的能力来评估其表现。与之前相同，我们用m 表示第

32、 m 个月的真实协方差矩阵， m 表示我们在第 m-1 月底对m 的预测，用 wm 表示根据 m 计算得到的第 m 个月最小方差组合先验权重。在第 m-1 月底对第 m 个月最小方差组合的波动率预测值为：w wm m mPm 然后我们通过调整组合中无风险资产的权重使得整个组合波动率被控制在目标水平 target 。具体来说，在第m 个月整个组合中最小方差组合的权重为： targetmax am min , aPmCm其中amax 表示整个组合对风险资产即最小方差组合的最大暴露水平，此处设为 150%， target 设为 10%。基于以上计算出的各资产权重，我们可以获得在第 m 个月的样本外组

33、合日度收益率，并计算出整个组合的样本外真实波动率 oos 。则第m 个月的平方跟踪误差（STE）和整个样本外预测区间的均方跟踪误差（MSTE）为：oostarget 21 MSTEm (Cm -) , MSTE STEmMm1其中 M 为整个样本外预测区间的月份数。图表 8 给出了对 1995 年到 2013 年的 9 个数据集使用不同协方差预测方法构建出的目标波动率组合与目标波动率水平的均方跟踪误差。图表 9 给出了不同协方差预测方法在 9 个数据集上的平均表现。这里的结论与前两种研究方法一致， 滚动收缩历史协方差和法得到的 MSTE 相比滚动历史协方差法几乎没有区别，而其余三种方法可以使得

34、 MSTE 减少 50%到 60%。图表 8、基于不同协方差预测方法的目标波动率组合样本外均方跟踪误差（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理图表 9、基于不同协方差预测方法的目标波动率组合在 9 个数据集上的平均样本外均方跟踪误差（1995-2013）资料来源：The Journal of Portfolio Management， 整理4、结论本文的研究表明不同协方差预测方法表现差异巨大，基于多元 GARCH 模型的预测方法可以提供比滚动历史协方差法更好的效果。具体来说，我们的研究表明基于GARCH 的预测模型比滚动历史

35、法降低了 50%的协方差预测误差，同时它在组合风险优化和组合跟踪误差优化上也是表现最优的模型。相比用历史协方差矩阵来构建最小风险组合，基于多元GARCH 模型的方法可以减少 50%的组合跟踪误差，将其用于构建基于最小方差组合的目标波动率组合也能得到类似的效果。在我们测试的两种多元 GARCH 模型 DCC-GARCH 和 GO-GARCH 中， DCC-GARCH 模型的表现要稍好一些。很多人印象中觉得相比于历史估计法，使用收缩估计法可以更准确的预测协方差，但是 Disatnik 和 Benninga2007的研究表明这是个错误的观念。本文的研究也再次验证了使用计算复杂的收缩估计法既不能减少协

36、方差预测误差，也不能降低最小方差组合的跟踪误差。另外，我们发现简单的指数移动平均法（EWMA） 的预测效果相比基于 GARCH 模型的方法只有微小的劣势。因此在实际应用中我们建议如果觉得 GARCH 模型过于复杂，完全可以使用方法简单、计算快速的指数移动平均法（EWMA）。参考文献Albeverio, S., V. Steblovskaya, and K. Wallbaum. “InvestmentInstruments With Volatility TargetMechanism.” QuantitativeFinance, Vol. 13, No. 10 (2013), pp. 1519

37、-1528.Asness, C., A. Frazzini, and L. Pedersen. “Leverage Aversionand Risk Parity.” FinancialAnalysts Journal, Vol. 68, No. 1(2012), pp. 47-59.Bollerslev, T. “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.”Journal of Econometrics, Vol. 31, No. 3 (1986),pp. 307-327.Bollerslev, T., R. Engl

38、e, and J. Wooldridge. “A Capital AssetPricing Model with Time-Varying Covariances.” Journal ofPolitical Economy, Vol. 96, No. 1 (1988), pp. 116-131.Busse, J. “Volatility Timing in Mutual Funds: Evidence fromDaily Returns.” Review of Financial Studies, Vol. 12, No. 5(1999), pp. 1009-1041.Butler, A.,

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