动态优化课件

1、动态优化熊和平武汉大学经济与管理学院0、导言动态优化问题是静态问题的延伸，在许多经济问题如增长理论、资产定价理论中都有广泛的应用。“动态经济学方法对于一个立志进行经济学、金融学研究的人来讲是至关重要的。”教材与参考书 Kamien & Schwartz的Dynamic Optimization :The Calculus of Variations and Optimal Control龚六堂、苗建军动态经济学方法北京大学出版社，2012Ljungqvist & Sargent递归宏观经济理论1、引言学习目的：掌握动态优化的基本方法：主要是古典变分法和最优控制理论；学习建模方法：通过例子学习将

2、实际问题数学化处理的方法。学习要求：勤于动手，多作练习尽量对阅读有关书籍，同时补充和复习静态优化问题知识。力争利用所学知识阅读金融类原文文献。一、什么是动态优化问题？ 所谓动态问题是这样一类问题，该问题往往涉及不同时期的不同状态，而且不同时期的状态可能对其后某些时期的结果产生影响。与动态问题相对应的是静态问题，静态情形下往往只涉及当其，不同时期的状态对其后的结果不会产生影响。静态优化问题是古典的优化问题，而动态优化问题则是研究动态情形下的优化问题。 静态优化问题动态优化问题线性规划问题非线性规划：无约束极值问题约束极值问题变分法最优控制动态规划 这是一个简单的单期单变量优化问题。该问题的目标是

3、找到一个数x ，若F(x) 具有特殊的函数形式，则 x可以被确定，否则只能由F(x) 来描述x 的特征；若F(x)连续可微，则有: 2、单期多变量问题： 若公司生产多个产品，则上述问题为单期多变量优化问题： 3、多期单变量问题离散情形： 若考虑多期问题，则离散情形下为：其中 为 t期产量为 xt时的利润，其最优解为 。该问题涉及多期问题，但是，因为每一期的利润仅仅取决于当期的产出，因此上述问题可以化归为一序列的单期问题，仍然属于静态问题，每一期只需要选择一定的产出水平以极大化当期的利润。 4、多期单变量问题连续情形： 若上述多期问题中，考虑的是每时每刻的产量刻利润，则问题转化为：该问题的最优解

4、是函数 x(t)，它是计划期间每一时点公司的最优产出率，即生产速度我们还可以写出多变量的多期问题： (5b) 1单变量动态问题离散情形： 若公司的每期产品不仅仅影响当期的利润，而且还影响下一期的利润，则上述问题变为真正的动态问题： 2、单变量动态问题连续情形：连续情形下的“下一期”的含义并不清楚，因此，连续情形下的“动态”并不直接，通常假设本期利润依赖于即期的产出和即期的生产率 :记：t时刻的累计产量为 x(t)，等于累积库存量生产率为x(t) ; 一个可行计划必定满足 x(0)=0和x(T)=B 公司的问题归结为：一个可能的生产计划为： ，则 总成本为： 例2（消费者问题）：假设代表性经济人

5、（agent）关于消费水平为C 的效用函数为U(C) ，且效用函数满足二次连续可微，单调、凹等假设，即满足： 。其产出函数F(.) 使得对于资本存量为 K时的产出率为F(K) ，且生产函数满足二次连续可微，单调、凹等假设 。则经济人的问题可以归结为优化问题：问题等价于：若资本 以常数b 为折旧率，则维持生产规模的再投资率为 bK，此时优化问题转化为:例3（自由竞争厂商问题）：不考虑生产成本，假设厂商在资本存量为K 时，其利润率为P(K) ，相应的产出率为F(K) 。同样假设它们是二次可微的、单调增和凹的。公司几乎不能控制产品的价格市场p ，因此有：P=kF 令资本的折旧率为 b，使得： 。令以

6、投资率I 增加投资的成本为C(I) ，该成本函数为递增的凸函数。若投资物品的价格为c ，则 C=cI。厂商问题归结为：例子解析之一：人力资本问题 K ：人力资本； P(K) ：具有人力资本 的收益； C(I) ：教育或训练成本例子解析之二：公司商誉问题 K ：公司商誉之存货； P(K) ：商誉为 时公司的最大盈利率； C(I) ：为增加公司商誉而进行的广告和推销的费用例4（最短距离问题）：已知平面内的两点 (a,A)和( b,B)，找出它们之间的最短距离。假定最短距离的连线为x(t) ，则该问题归结为： o T例6（最速降线问题the brachistochrone problem）：一质量为

7、m 的质点，在重力作用下，从点A以非零初速度 沿曲线下滑到定点B，A、B两定点不在同一铅直线上。不考虑曲线上的摩擦力和空气的阻力，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。问题归结为：C、静态问题的一般处理方法由前面的分析可知，静态问题也可以分为两种情形：一是单期问题，二是多期问题。对于单期问题，可以用古典优化方法进行处理。即，对于非约束问题直接用非约束的非线性规划方法求解，对于约束问题则可能涉及到等式约束和库恩-塔克条件求解。对于动态问题，其的最大特点是，变量的取值只对本期的目标函数值产生影响，因此，可以将该问题转化文一序列的单期问题，用古典方法求解。D、动态问题的一般处理方法动态问题处理的一般方法包括：变分法、最优控制和动态规划。变分法（the calculus of variations) 变分法是古典优化问题的一种直接推广，它适用于所有相关函数为光滑且最优点为内点的情形。在三种方法中，它的历史最悠久，处理的问题最特殊，方法最简单和直接，但对于一些特殊问题往往无能为力。第一个重要问题是牛顿提出并解决的最速降线问题第二类重要问题是要求测地线，即曲面上两点之间长度最短的路径。第三类问题是称为等周问题最优控制（Optimal contral）最优控制理论由俄国数学家Pontryagin及