三角形的内切圆课件教学

1、24.5 三角形的内切圆第24章 圆学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点)3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）导入新课问题引入小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？讲授新课三角形的内切圆及作法一问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 互动探究OOOO最大的圆与三角形三边都相切三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，

2、那么圆心I应满足什么条件？(2) 在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.做一做1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是

3、I的外切三角形.知识要点三角形的内心的性质一BACI问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？互动探究线段OA，OB ,OC 分别是A，B，C的平分线.BACI问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG知识要点三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.典例精析例1 如图，ABC中， B=43，C=61 ，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.解：连接IB，IC.A

4、BCI点I是ABC的内心，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模可以抽象为几何如下几何图形.CABrOD解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形, OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD= AB=1.5(cm)OD=AD tan30o= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.例3 ABC的内

5、切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂

6、线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO解析：先画草图，由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆.CABOD求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm,ABC=60，ODBC，OB平分ABC.OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.内切圆半径外接圆半径变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sinOBD = sin30=CABR

7、rODABCODEFABCDEFO设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？想一想：要求出三角形的面积需要哪些量?根据三角形内心的性质,可以如何添加辅助线?ABCOcDEr如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以当堂练习（2）若A=80 ，则BIC = 度.130201.如图，在ABC中，点

8、I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.ABCI（3）若BIC=100 ，则A = 度.（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量关系？1202.九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步”该问题的答案是_步6解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 求出该直角三角形内切圆的半径，即可得起至今的长度.3.如图，O与ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A点O是ABC的内心 B点O是ABC的外心 CABC

9、是正三角形 DABC是等腰三角形 解析：过O作OMAB于M，ONBC于N，OQAC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是ABC的内心.故选4.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明：连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问：（1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.ABCEDFO