晶体的宏观对称元素

1、晶体的宏观对称元素第1页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四对称就是物体相同部分有规律的重复。对称的条件：具有两个或两个以上相同部分； 这些相同部分通过一定的操作有规律地重复。 不对称的图形蝴蝶、花冠和建筑物的对称一、对称的概念Crystallology晶体的对称第2页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四二、晶体对称的特点 所有晶体都具对称性。一切晶体都具格子构造，而格子构造本身就是内部质点在三维空间周期性重复排列的体现（微观对称）。通过平移，可使相同质点重复（也叫平移对称）。 晶体的对称是有限的（遵循“晶体对称定律”）。晶体对称严格受格子构造规律的限制

2、，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现。 晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质（如光学、力学、热学、电学性质等）上。 由以上可见:晶体的格子构造决定了所有晶体都是对称的，但也限制了有些对称在晶体中是不能出现的。因此，晶体的对称可以作为晶体分类的最好依据。Crystallology晶体的对称第3页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四对称操作：是指使对称图形中相同部分重复的操作。对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。三、晶体的宏观对称要素和对称操作Crystallology晶体的对称第4页，共43页，2022年，5月20日，20点30分

3、，星期四晶体外形上可能存在的对称要素：1、对称面（P） 2、对称轴（Ln） 3、对称中心（C） 4、旋转反伸轴（Lin） 5、旋转反映轴（Lsn）Crystallology晶体的对称第5页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四1、对称面（P） 对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等部分的假想平面。 相应对称操作：对一个平面的反映。 ADEBP1P2AE1DEBPCrystallology晶体的对称第6页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四该切面是对称面该切面不是矩形体的对称面Crystallology晶体的对称第7页，共43页，2022年，5月20日，20

4、点30分，星期四对称面在晶体中可能存在的位置： 垂直并平分晶面； 垂直晶棱并通过它的中心； 包含晶棱并平分晶面夹角。 晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面，最多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。立方体的九个对称面Crystallology晶体的对称第8页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四Crystallology立方体的九个对称面极射赤平投影图对称面的投影示例晶体的对称第9页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四2、对称轴（Ln） 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的晶面、晶棱、角顶能重复出现。相应的对

5、称操作：围绕一根直线的旋转。旋转一周，晶体的相同部分重复的次数称为轴次（n）；重复时所旋转的最小角度称为基转角（）；n=360。Crystallology晶体的对称第10页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四晶体外形上可能出现的对称轴有L1（无实际意义）、L2、L3、L4、L6，相应的基转角分别为360、180、120、90、60。 L2、L3、L4和L6的作图符号分别为 、 。轴次n2的对称轴称为高次轴。 Crystallology晶体的对称第11页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四晶体中的各种对称轴Crystallology晶体的对称第12页，共4

6、3页，2022年，5月20日，20点30分，星期四Crystallology 晶体对称定律： 由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种 质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n 6的情况。为什么呢？1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。晶体的对称第13页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 2、数学方法证明： 两个结点A和A,它们相距一个平移单位t。旋转得到B和B。 t = mt t= 2tsin(-90)+ t = -2tcos

7、+ t 所以，mt = -2tcos + t t 2cos = 1- m B B cos = (1 - m)/2 -2 1 - m 2 t t 即 -1 m 3 m = -1,0,1,2,3 t 相应的0 或2，/3, A A /2，2/3, ，相应的轴次为1，6，4，3，2。 证明周次n只能为1,2,3,4,6 。 （但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴） Crystallology晶体的对称第14页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四对称轴在晶体中可能出露的位置：通过晶面的中心；通过晶棱的中点；通过角顶。 在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有一或多种对称轴，而

8、每一种对称轴也可有一或多个。表示方法为3L4、4L3、6L2等。Crystallology晶体的对称第15页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四对称轴的投影 直立对称轴投影点位于基圆中心水平对称轴投影点位于基圆上倾斜对称轴投影点位于基圆内对称轴为通过晶体中心的直线，因此它们为投影球的直径。Crystallology晶体的对称第16页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四图中可见，立方体的L4、L3和L2分别是四、三和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称面投影的交点上。 立方体的对称要素及其赤平投影Crystallology晶体的对称第17页，共43页，2

9、022年，5月20日，20点30分，星期四3、对称中心（C） 对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点作任意直线，则在该直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。 Crystallology晶体的对称第18页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四对称中心以字母C表示，图示符号为“o”或“C”表示。 晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体的几何中心。 晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必然两两反向平行而且相等。用它可以作为判断晶体有无对称中心的依据。 Crystallology晶体的对称反伸操作

10、演示第19页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四4、旋转反伸轴（Lin） 旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，才能使晶体上的相同部分重复。相应的对称操作：围绕一根直线的旋转和对此直线上一个点反伸的复合操作。 Crystallology晶体的对称第20页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 例：具有Li4的四方四面体 CaCrystallology晶体的对称旋转反伸轴以Lin表示，轴次n可为1、2、3、4、6。符号记为Li1， Li2 ， Li3 ， Li4 ， Li6。相应的基转角分别为360、180

11、、120、90、60第21页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可用其它简单的对称要素或它们的组合来代替： Li1C； Li2P； Li3L3C；Li6 L3P Crystallology晶体的对称Li1，Li2 ，Li3 ，Li4 ，Li6旋转反伸轴的作用如图所示Li 1= CLi 2= PLi 3= L3C Li 4Li 6= L3Pcpc第22页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 对旋转反伸轴通常只保留Li4 和Li6，图示符号分别为“”和“ ”。而其他旋转反伸轴都用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替，L

12、i6在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上有Li4的地方往往表现出L2的特点，容易误认为L2。 我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。Crystallology晶体的对称第23页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四5、旋转反映轴（Lsn） 也是一根假想的直线，相应的操作为旋转加反映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后，并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的相等部分重复。 旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替： Ls1PLi2； Ls2CLi1；Ls3 L

13、3P Li6 ； Ls4Li4 ；Ls6 L3C Li3 Crystallology晶体的对称第24页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四综上所述，在晶体的外部形态上可能存在而且具有独立意义的对称要素只有九种：对称中心：C对 称 面：P对 称 轴：L1、L2、L3、L4、L6旋转反伸轴：L4i、L6iCrystallology晶体的对称第25页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律。 对称要素的组合服从以下定律： 四、对称要素的组

14、合Crystallology晶体的对称第26页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 定理一：若有一个二次轴L2垂直于Ln，则必有n个L2垂直于Ln。即：LnL2LnnL2 ；相邻两个L2的夹角是Ln基转角的一半。 逆定理：如果两个L2相交，在交点上且垂直两个L2必产生一个Ln，其基转角是两个L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2Crystallology晶体的对称第27页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四定理二：若有一个对称面P垂直于偶次对称轴Ln，则交点必为对称中心C。即： Ln P

15、 LnP C （n为偶数）逆定理： Ln C LnP C (n为偶数) P C L2P C此定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。Crystallology晶体的对称因为偶次轴包含L2 。第28页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四定理三：若有一个对称面P包含对称轴Ln ，则必有n个P包含Ln ；相邻两个P的夹角为Ln的基转角的一半 。 Ln P/ LnnP/逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为相邻两P夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。 （定理3与定理1是类似的）例如：L6 P/ L66P/思考:两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴？Cr

16、ystallology晶体的对称第29页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四定理四：若有一个L2垂直于Lni，或有一个P包含Lni，则 当n为奇数时，LniL2或LniP LninL2nP 当n为偶数时，LniL2或LniPLnin/2L2n/2P Crystallology晶体的对称第30页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型 或 点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点

17、群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32种。那么，这32种对称型怎么推导出来？ 五、32种对称型(点群)及其推导Crystallology晶体的对称第31页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 1、A类对称型(高次轴不多于一个)的推导1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L62）对称轴与对称轴的组合。在这里只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据对称要素组合定理LnL2LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有

18、可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类对称型了。如图(a) 斜交产生新的Ln ，图(b) 垂直不产生新的Ln。Crystallology晶体的对称第32页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。根据组合定理Ln(偶次)PLn(偶次)PC，则可能的对称型为：（L1P=P）； L2PC； （L3P=Li6）； L4PC； L6PC。注：括号内的对称型与其他项推导的对称型重复4）对称轴Ln与包含它的对称面P的组合。根据组合定理Ln PLnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 Crystallology

19、晶体的对称第33页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四 5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2如图，即Ln P P=Ln P P L2 =LnnL2(n + 1)P(C)（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：(L1L22P=L22P ）；L22L23PC=3L23PC； （L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。 Crystallology晶体的对称第34页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四6）旋转反伸轴Lin单独存在。可能的对称型为：L

20、i1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。由于对称面 P=Li2，对称中心 C=Li1，故不再单独列出综合以上，共推导出A类对称型27种，见表3-2。Crystallology晶体的对称第35页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四

21、2、B类（高次轴多于一个）对称型的推导 B类的对称型共有5种，不要求推导。综合A、B两类，晶体中可能有的对称型共32种，如表3-2表3-2 32种对称型的推导LnLnnL2LnP(C)LnnPLnnL2 (n+1)P(C)LinLin nL2 nPLin n/2L2 n/2PL1Lin = CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2 = PL3L33L2L33PLin =L3 CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li4 2L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi6 3L23P= L3 3L2 4P3L24L33L44L36L

22、23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PCCrystallology晶体的对称第36页，共43页，2022年，5月20日，20点30分，星期四1、晶体的对称分类（晶族、晶系、晶类的划分） 根据晶体的对称特点进行分类的，方法如下： 首先，根据对称型中有无高次轴及高次轴的多少，把32种对称型（点群）划分为低、中、高级3个晶族。 低级晶族：无高次轴 中级晶族：有且只有一个高次轴 高级晶族：有多个高次轴然后，在每一个晶族中又按照其对称特点共划分为7个晶系，即低级晶族有三斜晶系、单斜晶系和斜方晶系；中级晶族有四方晶系、三方晶系和六方晶系；高级晶族只有一个晶系，即等轴晶系。最后，把属于同一对称型（点群）的晶体归为一类，称为晶类。晶体中有32种对称型，亦即有32种晶类。熟练地掌握3个晶族、7个晶系、32种对称型. 表3-4非常重要。晶体分类依据及分类体系见表3-4六、晶体的分类Crystallology晶体的对称第37页，共43页，2022年，5