极值点偏移 极值点偏移定理

1、极值点偏移1-2-极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=/(X)，在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点Xo，方程/(X)=0的解分别为Xi,且axxb，12x+x若f(x)f(2x-x)，则12)x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极(小)大值1022012点x右(左)偏；0 x+x若f(x)f(2x-x)，则12()x，即函数y=f(x)在区间(x,x)上极(小)大值1022012点x右(左)偏.0证明：(1)因为对于可导函数y=f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x，贝y函数f(x)的0单调递增(减)区间为(a，x0)，单调递减(增)区间为(x0,

2、b)，由于ax1x2b，有x1x0,且2x-xx020 x+x02，又f(x)f(2x-x)，故x)2x0-x2,所以十)x0，即函数极(小)大值点x0右(左)偏;x+xx+x左快右慢(极值点左偏om122)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点x；0构造一元差函数F(x)二f(x+x)-f(x-x)；00确定函数F(x)的单调性；结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x+x)、f(x-x)的大小关系.00口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x)=f(x)，x

3、为函数f(x)的极值点，求证：x+xF(x)二f(x)-f(x)二0，从而000得到：xx时，f(x+x)f(x-x).000(4)不妨设xxXo时，几+X)几-X)且/XfXo-(X2-X0)二fGXo-X2)，又因为%，2x一xx且f(x)在(一。x)上单调递减，从而得到x2x一x，从而x+x2x得证.0200102120 x+xx+xx+x(5)若要证明f(r2)0，还需进一步讨论+22与x0的大小，得出+22所在的单调区间，从222而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.x+x此处只需继续证明：因为x+x2x，故12x，由于f(x)在(-也x)上单调递减，故120200 x+xf(-

4、y)0.【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x+x)与0f(x-x)(或f(x)与f(2x-x)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x+x2x或00120 x+xf()=乳1+方加力=(1十力矿吋a心巴则F(X)二刈厂】旷勺，当乂0时，F(jc)0,.-.F(jc)在(Q炖)上单调递曾又F(O)=O,/F(x)G?即/(1+JC)/(1-3C).q韭込,不妨设兀严可由(1)知丸1,1,J3)=f()=卉1十笑-1)/l-U-1)=八2花).x1，.:2一x2

5、一x，.:x+x2.22121241函数f(x)=x43x3与直线y=a(a-)交于A(x,a)、B(x,a)两点.3312证明：x+x1,设巩x)=/(1+x-/(1-jc)?F(工)=蓟3/2x+l)0,故F(x)单调递增区间为(-x3W)，艾F(G)=0,所mx0时F(x)F(0)=0f即x0时+子(西)=/()=/(1十也-1)找2吃),又函魏心-討单调递减区间対gl),所以.西2-jcj；即西十羽4.x1212122【解析】由函数f(x)二一+Inx单调性可知：若f(x)=f(x)，则必有x2222而f(x)一f(4一x)=+lnx一+ln(4一x)11x14一x11122令h(x)

6、=一+Inx+ln(4一x)，则x4一xh(x)一Z-一+1+丄=一2(4-x)2-2x2+x(4-x)2+x2(4一x)x2(4-x)2x4-xx2(4-x)28(x2)2x2(4-x)2所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x)h(2)=0所以f(x)-f(4-x)0即f(x)f(4-x)，所以f(x)f(4-x)，所以x+x4.11112212已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.设x,x是f(x)的两个零点，证明：x+x2.1212【解析】不妨设可弋丟由题意知于(勿二丁(花)二0一要证不等式成丄只需证当码clc花时，原不等式成立即可一F(jc)F(0)=O

7、.g卩/(L-x)+而兀2_g*),且于(力在口他)上递增，故帀2码，即jq4-JCj2.四、招式演练已知函数g(x)+2x2,其中agR,e二2.71828L为自然对数的底数，f(x)是g(x)的导函数.求f(x)的极值；若a=-1，证明：当x丰x，且f(x)=f(x)时，x+x0.121212【答案】当a0时，f(x)无极值；当a0时，f(x)0在xg(-,+8)时成立:.f(x)在(一8,+8)上单调递增，f(x)无极值.当a0时，f(x)=ex+a=0解得x=In(a)由f(x)0得x0得xIn(a)所以f(x)在(8,ln(一a)上单调递减，在Gn(a),+上单调递增,(-a).(I

8、I)当a=1时，f(x)=ex-x的定义域为(8,+8)，f(x)=e-1/x丰x12由f(x)=ex-1=0，解得x=0.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表:x(-8,0)0(0,+8)/(x)0+/(x)单调递减极小值单调递增且f(x)=f(x)，则x0 x(不妨设xx121212T当无cO日寸,01,.-当乂弋0时，F(dc)aA二函数戸仗)在上单调递増.F(x)F(O)=O,即当X0时,VW在(。他)上单调递増，Xjjqjq+J?,0已知函数flx丿=lnx一ax2，其中aeR(1)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围;若函数f(x)有极大值为-2，且方程f(x)=m的两

9、根为xi,x2,且xi4a.【答案】(1)0a2；(2)见解析.2ef【解析】试题分析：CD先求利用导数研究函数的单调性只需令/(刃的按夭信対nO即可得结果；结合1儿由的极大憤求得口二”，研究函数A(x)=/(x)-/(2-x)的单调性，可得从而可得结论一试题解析；mr丄加二上空任丸)NX(1)当a0函数f(x丿在(0,+8)上单调递增，不可能有两个零点2ax(唱J2a底+8)/,(x丿+0/(x)Z极大值flx丿的极大值为f当a0时，广(x)=0,x=ln12，由ln11-0得0a-22e所以f(x丿在e-a,2-:必存在一个零点;显然当xT+8时，f(x)0所以f(x丿在+8上必存在一个零点;丿所臥当时，函数/（刃有两个零点一由可扣J当OA0时,丽的极大值为彳任卜隠頁V2F(x)=f(X)