立体几何中最值

1、.立体几何最值问题姓名立体几何主要研究空间中点、线、面之间的地点关系，与空间图形相关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下边举例说明解决这种问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值例1.在正四棱锥S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面边长为2，点P、Q分别在线段BD、SC上挪动，则P、Q两点的最短距离为（）A.5B.25C.2D.155二、定性剖析法求最值例2.已知平面/平面，AB和CD是夹在平面、之间的两条线段。ABCD，AB=3，直线AB与平面成30角，则线段CD的长的最小值为。三、展成平面求最值例3.如图3-1，四周体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=

2、a，Word文档.AC=BD=b，AD=BC=c。平面分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）D.a+b+c3-1四、利用向量求最值4.在棱长为1的体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为。一、线段长度最短或截面周长最小问题1.正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.2.如图，形ABCD、ABEF的边长都是1,并且平面ABCD、ABEF相互垂直。点M在AC上挪动，点N在BF上挪动，若CM=BN=a(0a2).（1）求MN的长；（2）当a

3、为什么值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面Word文档.MNB所成的二面角的大小。例3.如图，边长均为a的形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为(0)。点2M在AC上，点N在BF上，若AM=FN,(1)求证:MN/面BCE;(2)求证:MNAB;(3)求MN的最小值.4.形ABCD、ABEF的边长都是1,并且平面ABCD、ABEF相互垂直。点M在AC上挪动，点N在BF上挪动，若CM=x,BN=y,(0 x,y2).（1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是不是异面直线AC，BF之间的距离。例5.如图，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜

4、边AB上的点，以CDWord文档.为棱把它折成直二面角ACDB后，D在如何的地点时，AB为最小，最小值是多少?6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.二、面积最值问题7.如图1所示，边长AC3，BC4，AB5的三角形简略遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太线与地面成30角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?Word文档.例8.在三棱锥ABCD中，ABC和B

5、CD都是边长为a的正三角形，二面角ABCD，问为什么值时，三棱锥的全面积最大。例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过极点作圆锥的截面中，最大截面面积为。例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。Word文档.例11、在棱长为1的体ABCDABCD中，若G、E分别D1EC1是BB、CD的中点，点F是形ADDA的中心。则四边形11111A1B1BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值FGDC是。AB三、体积最值问题例12.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥PABC的体积的最

6、大值.Word文档.评析：定值问题可用特别状况先“探究”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探究得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所的角等于90，这应记作很重要的性质.四、角度最值问题。13.在棱长为1的体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为、，试求+的最大值和最小值.Word文档.“动向”立体几何题初探本文所指的“动向”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，浸透了一些“动向”的点、线、面元素，给静态的立体几何题给予了活力，题意更新奇，同时，因为“动向

7、”的存在，也使立体几何题更趋灵巧，增强了对学生空间想象能力的考察。一、截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常有的题型，因为截面的“动向”性，使截得的结果也拥有必定的可变性。例1、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成角的截面MNC,(0),使MN/AB，求截面的面积。2Word文档.二、翻折、睁开问题图形的翻折和睁开必定会惹起部分元素地点关系的变化，求解这种问题要注意对变化前后线线、线面地点关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的双侧的同一半平面的元素其相对地点关系和数目关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面的元素其相对关系和数目关

8、系则发生变化。不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。例2、下列图表示一个体的睁开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原体中相互异面的有（）A2对B3对C4对D5对CAGBHDEF3、从三棱锥PABC的极点沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开，成平面图形，获得P1P2P3，且P1P2=P2P3；Word文档.PABC三、最值问题立体几何题中常常会波及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，好多状况下，我们能够把这种动向问题转变成目标函数，进而利用代数方法求目标函数的最值。例4、（2002年全国高考）如图，形ABCD、ABEF的边长都是1，并且平面ABCD、ABEF相

9、互垂直，点M在AC上挪动，点N在BF上挪动，若CM=BN=a，（0a2）.C（）求MN的长；（）当a为什么值时，MN的长最小；DMBENOFA例6、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。Word文档.四、探究型问题因为立体几何题中“动向”性的存在，使有些问题的结果变得不行确立，探究型问题正好经过这种“动向性”和不确立性考察学生的发散性思想。例7、已知矩形ABCD，PA平面AC于点A，M，分别是AB、PC的中点，（1）求证MNAB；（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，可否确定，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确立，求出的值，若不可以确立，说明原因。PNBAMC

10、HD例8、如图，ABC是正三角形，AD和CE都平面ABC，且AD=AB=1，CE=1/2，Word文档.问：可否在线段BD上找到一点F，使AF平面BDE？D五、其余种类E利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的FC性质等在动向问题中提炼一些不变的、“静态”的量，A进而达到解题的目的。GB9、在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A300B450C600D900例10、体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其界限运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是。Word文档

11、.例11、在棱长为1的体ABCDABCD中，若G、ED1EC1分别是BB1、C1D1的中点，点F是形ADD1A1的中心。则四A11B边形BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最FGDC大值是。AB“动向”立体几何题面面观本文所指的“动向”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，浸透了一些“动向”的点、线、面元素，给静态的立体几何题给予了活力，题意更新奇，同时，因为“动向”的存在，也使立体几何题更趋灵巧，增强了对学生空间想象能力的考察。一定值问题Word文档.例1如图在棱长为a的体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上一条线段，且EFba，若Q是A1D1上

12、的定点，P在C1D1上滑动，则四周体PQEF的体积（）（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量剖析：本题的解决需要我们认真剖析图形的特色这个图形有好多不确立要素，线段EF的地点不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中能否能够发现此中的稳定要素？求四周体的体积要具备哪些条件？认真察看图形，应当以哪个面为底面？察看PEF，我们发现它的形状地点是要变化的，可是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值再发现点Q到面PEF的距离也是定值所以，四周体PQEF的体积是定值我们没有一点计算，对图形的剖析帮助我们解决了问题三、围问题例3。求正三棱锥相邻的两

13、个侧面所成的二面角大小的取值围。Word文档.剖析：因为这个正三棱锥是动向的，没法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不可以经过正常的门路算出其围，既然是动向的图形，我们则能够从图形的极限思想出发思虑这个问题。四、截面问题例4、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成角的截面MNC,(0),使MN/AB，求截面的面积。2Word文档.五、翻折、睁开问题5给出随意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、A

14、D相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的Word文档.值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.评析把曲面上的最短路线问题利用睁开图转变为平面上两点间距离的问题，进而使问题获得解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四周体，此中任何一个面都能够做为底面，因此它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决相关三棱锥体积题时，需要灵巧运用这个性质.例7.如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.Word文档.(1)求证：ADEC，且与二面角FADC的大小没关；(2)FC与FE所成的角为30时，求二面角FADC的余弦值.六、探究型问题8.已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAF(01).ACAD（）求证：无论为什么值，总有平面BEF平面ABC；（）当为什