2二次曲线的渐近方向中心和渐近线概要

1、2二次曲线的渐近方向、中心和渐近线纲领2二次曲线的渐近方向、中心和渐近线纲领3/32二次曲线的渐近方向、中心和渐近线纲领2二次曲线的渐近方向、中心和渐近线一渐近方向：定义：若一方向X：Y（即与矢量X，Y平行的方向）知足（X，Y）=0，则称其为二次曲线F（x,y）=0的一渐近方向。存在性：命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，详细地（i）当I2=a11a120时，曲线有二共轭复渐近方向；a21a22ii）当I20a2b201a2b2b2它有二共轭复渐近方向；对双曲线x2y21，I2=-10，a2b22b2a00它有二不同样实渐近方向；对抛物线y2=2px，I2=010它有二同样的实渐近方向；由此，

2、称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同样实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二同样实渐近方向的二次曲线为抛物型曲线。二中心：1、定义：二次曲线上随意两点间的连结线段M1M2，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C均分，则称C为二次曲线的中心。明显：二次曲线的中心正是它的对成中心。2、求法：定理1：点C（x0，y0）是二次曲线F（x,y）=0之中心x0，y0是方程组F1(x,y)a11xa12ya13（*）的解F2(x,y)a21xa22ya23证：“”设C（x0，y0）是中心，而M1M2是过C的任一弦，该弦所在直线l：xx0tX，（X，Y）0y0tY令Mi

3、（x0+tiX，y0+tiY），i=1，2，则t1，t2是方程（X，Y）t2+2F1（x0，y0）X+F2（x0，y0）Yt+F（x0，y0）=0的根而x0=(x0t1X）（x0t2X）x0t1t2X22y0=y0+t1t2Yt1+t2=02F1（x0，y0）X+F2（x0，y0）Y=0，由弦M1M2的随意性F1（x0，y0）=F2（x0，y0）=0“”若C（x0，y0）的坐标知足F1（x0，y0）=F2（x0，y0）=0过C任取曲线的弦M1M1，其方向为X：Y，进而若令Mi（x0+tiX，y0+tiY），i=1，2，则t1，t2应是（*）二个根。F1（x0，y0）X+F2（x0，y0）Y=0

4、t1i+t2=0M1M2的中点坐标为(xy0t1X）（x0t2X）x020t1Y）（y0t1Y）2y0即C（x0，y0）是弦M1M2的中点C为中心注：若一条二次曲线有独一中心，则称其为中心二次曲线；没有中心的二次曲线称为没心二次曲线；有不单一此中心的二次曲线称为线性二次曲线，对于上述三种二次曲线的鉴别标准，我们有定理2：（i）二次曲线为中心二次曲线I20（ii）二次曲线为没心二次曲线I2=0，但a12：a22a13：a23（iii）二次曲线为线性二次曲线I2=0且a12：a22=a13：a23事实上，（i）二次曲线为中心二次曲线（*）有独一解I20（ii）二次曲线为没心二次曲线（*）无解秩a1

5、1a12秩a11a12a13a21a22a21a22a23I2=0但a12a130I2=0且a11：a22a13：a23a22a23（vi）二次曲线为线性二次曲线（*）有不单一个解I2=0且a12：a22=a13：a23注：对线性二次曲线，因为a11：a12=a21：a22=a13：a23方程组（*）同解于F1（x,y）a11x+a12y+a13=0即线性二次曲线的中心充满直线a11x2+a12y+a13=0中心直线三渐近线：定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。可见：椭圆型二次曲线有二共轭复渐近线；双曲型二次曲线有二不同样实渐近线；而对抛物型二次曲线，若其为没心的，则其没有渐近先，若其为线性的，则因为其渐近方向为X：Y=-a12：a22，而这正是中心直线的方向，它的渐近线即为中心直线。求法：法1：求出中心，再求出渐近方向即可获得渐近线的参数方程。法2：求出中心C（x0，y0），对渐近线上任一点M（x，y），则（x-x0）：（y-y0）为渐近方向，（x-x0，y-y0）=0性质：命题：二次曲线的渐近线或许与曲线不交，或许整个位于曲线上，事实上，设l：xx0tX为渐近线，此中（x0，y