计算N阶行列式的若干方法

1、计算 N 阶行列式的若干方法23该项列标排列的逆序数t（n1 n 21n）等于 (n1)(n2) ，故2(n 1)( n2)Dn ( 1)2n!.2利用行列式的性质计算例 2一个 n 阶行列式 Dnaij 的元素满足aija ji , i, j 1,2, , n,则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明由 aija ji 知 aiiaii ，即aii0,i1,2,n故行列式 Dn 可表示为0a12a13a1na120a23a2nDna13a230a3na1na2na3n0由行列式的性质AA0a12a13a1na120a23a2nDna13a230a3na1na2na3 n

2、00a12a13a1na120a23a2n(1)na13a230a3na1na2 na3n0(1)n D n当 n 为奇数时，得 Dn = Dn，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。4例 3计算 n 阶行列式abbbbabbD bbabbbba解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3， n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得a( n1)bbbba( n1)babbD a( n1)bbaba( n1)b bba1bbb1abb a(n

3、1)b 1bab1bba1bbb0a b00 a (n 1)b 00a b0000ab a(n1)b( ab)n 14降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 4计算 n 阶行列式5a00010a00000a00Dn000a01000a解 将 Dn 按第 1 行展开a0000a000a0000a0Dn a 0 0 a0 ( 1)n 1000a000a1000an( 1)n 1( 1)n an 2anan2 .5递推公式法递推公式法：对 n 阶

4、行列式 Dn 找出 Dn与 Dn 1或 Dn与 Dn 1n 2 之间的一, D种关系 称为逆推公式 （其中 Dnn 1n2 等结构相同），再由递推公式求出, D, DDn 的方法称为递推公式法。例5 证明x10000 x100Dn000 x1anan 1an 2a2a1 xxna1xn 1a2 xn 2an 1x an ,( n 2)证明 将 Dn 按第 1 列展开得x10000 x100Dnx000 x1an 1an 2an 3a2a1x61000( 1)n 1 anx10000 x1anxDn 1由此得递推公式：D nanx Dn1 ，利用此递推公式可得D nanxDn 1anx(an 1

5、xDn 2 )anan 1xx2D n 2anan 1 xa1 xn 1xn6利用范德蒙行列式例 6 计算行列式111x11x21xn1Dx12x1x22x2xn2xnx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式111x1x2xnDx12x22xn2(xi x j )n i j1x1n 1x2n 1xnn 17加边法（升阶法）加边法（又称升阶法） 是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例 7计算 n 阶行列式

6、7xa1a2ana1x a2anDna1a2ana1a2x an1a1an解D n0Dn01a1a2an第 i行减第 1行1x00i2, , n 110 x0（箭形行列式）100 x1na ja1a2anj1 x0 x0000 x0000 xxn1na jxj 18数学归纳法例 8计算 n 阶行列式x10000 x100Dn000 x1anan 1an 2a2a1 x解 用数学归纳法 . 当 n = 2 时D2x1x( xa1 )a2a2xa1x2a1 x a2假设 n = k 时，有Dk xka1 xk 1a2 xk 2ak 1x ak8则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得Dk 1 xDkak 1x(xka1 xk 1ak 1 x ak ) ak 1xk 1a1xkak 1 x2ak x ak 1由此，对任意的正整数n，有Dnxna1 xn 1an 2 x2an 1xan9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。a11a 2an例 9计算行列式Dna1a 22ana1a2anna1a2an1a2an解 Dna1a22an0 a22ana1a2ann00anna1a2an02an1D