用直接积分法计算电流线圈的磁场

1、用直接积分法计算电流线圈的磁场目的掌握用直接积分法计算电流线圈的磁场的方法和步骤。编制计算机程序，计算螺线管线圈的磁场，并绘制磁力线分布场图。方法原理这里以恒定磁场问题为例，介绍直接积分法。它是将连续场源效应的叠加予 以等值代替，最终解得待求场量的离散解。换句话说，将连续函数的积分运算用 求和的方法来近似逼近，是直接积分法的关键。轴对称磁场中沿轴线的磁场当空间磁场的分布具有轴对称性质，则被称为轴对称磁场。真空中一载电流I.半径为r0的环形回路，如图5.3-1所示，就是轴对称磁场 的基本计算模型。场点P的磁感应强度为场点P的磁感应强度为图5.3-2场源的离散化h Ir 2B= 2r2 + (z

2、-z)2j3/2(1)0磁感应强度B的方向是沿z轴的正方向的。对于由多匝环形线圈组成的载流螺线管线圈磁场的分析，应用叠加原理，这 时待求磁场可由各个环形载流线圈各自产生的效应叠加求解。即将各匝线圈内的 电流I视作集中在截面中心的“电流丝”，但这在导体较粗的情形下会带来一定 的误差。因此，较理想的场源离散化处理方法是：如图5.3-2所示，取载流线圈 的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面S内电流分布均匀，即J=NI/S式中，N是螺线管线圈的总匝数。然后将截面离散成n式中，N是螺线管线圈的总匝数。然后将截面离散成n个小面积，第i个小面积ASi（i=1,2,n）内的电流为（3）AI = JAS（3）把

3、此电流视作集中在AI中心的电流丝。这样，当截面离散为足够数量的小面积AS,时，就能保证计算结果具有满意的精度。需要指出的是：场源离散化的网格的几何形状应力求规格化，以便可由计算 机程序自动生成。对于电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽 可能均匀。场源离散完成后，利用叠加原理和式（1），就可计算出轴线上任一场点P 处的磁感应强度值为尹 AI r 2B=, T 2了 + （Zp -Z ）23/2（4）轴对称磁场中任意场点的磁场容易导出，单个环形载流回路（图5.3-1所示）在任意点处磁感应强度各个 分量的计算公式为R 1Z - Zr 2 + r 2 +(z Z )2_ _0 E (k)

4、 - K (k)Br= 2兀 r(r + r)2 + z21/2 (r -r) + (z-z)2和B =星1号-(Z-Z)2 E(k) + K(k)(5)Bz 2兀(r0+r)2 + (z - z)2(r -r) + (z-z)2这里,K(k)和E(k)分别为第一类和第二类椭圆积分。它们可分别由以下无穷级数计算:兀一 11*31*3*5K( k ) = - 1+()2 k 2 + ()2 k 4+()k 6+.222*42*4*6和(6)兀 11*3 k41*3*5 k6(6)E(*)=T1-(2)2k2 -(W25 (E)5 一式中k值取决于环形回路的几何尺寸与场点位置k4r r（r + r

5、）2 + （z 一 z）2对于载流螺线管磁场的分析，如前所述，它可看作N匝环形载流回路的组合 显然，其磁场分布具有同样的轴对称特征。取过对称轴平面为分析场域。首先， 按照上面所述方法，将场源网格离散化（离散成n根电流丝），然后，应用叠加 原理和式（5），求得待求场点处磁感应强度的各个分量分别为KJz 一zr2 + r 2 + (z 一z )2B = 七竺x -E(k) - K(k)r2兀1(r r ) + (z z )2卜1r (r + r )2 + (z 一 z )22 ip p iP i PP iB = 时B = 时r2兀i=111(r + r )2 + (z z )22i PP ir2

6、r 2 (z z )2x pP_E(k) + K (k)(r r ) + (z z )2i pP i其中k 2其中k 2(r + r )2 + (z z )2i Pi P式中：r式中：rp , zp为场点的r和z方向的坐标;r , z .为离散后的第i个环形电流丝的半径与z坐标，并设环形电流丝的轴线与轴重合。如直接根据式（8）编制程序， 就可求得待求场点处的磁感应强度的解答。轴对称磁场中场图的绘制利用计算机直接绘制磁力线分布图，原则上可行，但工作量较大。然而，在 轴对称磁场的情况下，通过磁矢位A的数值解却提供了较方便地绘制图的途径。 容易证明，在轴对称磁场中，（10）该式表明，A,等于定值的轨

7、迹即为B线。很明显，依此描述B线自然方便 得多。但必须指出的是，为使B线分布符合定性乃至定量地分析磁场的需要， 在作图时，应按:A(Ar)= C (某一指定值)的原则，描绘相应的B线。为了利用式(10)所示的关系绘制场图，必须求出磁矢位A的数值解。单个环 形载流回路(图5.3-1所示)在任意点处的磁矢位的计算公式为A = M(1 -1 k2)K(k)-E(k)式中的 K(k).E(k)和 k 分别由式(6)和(7)冗 k . , L 2_给出。对于载流螺线管的磁矢位的计算，可把其看作是N匝环形载流回路的组合。 按照上述计算磁感应强度的方法，线将场源离散成n根电流丝，然后，应用叠加 原理和式(10),求得待求场点处磁矢位的值为A = Y 竖七 * (1 -1 k 2) K (k) - E (k)这里，k可由式(9)算得。式中：，r , znk r2i=1I pP P为场点的r与z方向的坐标，r,z,为离散后的第i个环形电流丝的半径与z坐标， 并设环形电流丝的轴线与z轴重合。上机作业题5.3-1图所示为一载流螺线管线圈的剖面图。该线圈总匝数N=1995匝，通有电流I=0.5 A，线圈的内外半径分别为R =2.7 cm和R2=3.26 c