必修一上函数性质单调性奇偶性题型

1、第第 页共13页f(a)+f(b)-f(a)+f(b)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)【例23】若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,3)和点B(3,-1)，则不等式If(x+1)-II0时，0f(x)0:(3)求证：f(x)在R上是减函数；(4)若f(x)-f(2x)1，求x的范围。【例25】设f(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1求：(1)f(1)；(2)当f(x)+f(x8)2时x的取值范围.x【例26】已知f(x)是定义在R+上的增函数，且f(-)=f(x)-f(y).y求证：f(1)=0，f(xy)=f(

2、x)+f(y)；(2)若f=1，解不等式f(x)f(亠)1，f(x)是定义在有限集合A=1,2,3,n上的单调递增函数，且对任何x,yeA，有娈=f(x)f(y)那么，()f(y)A.n=2B.n=3C.n=4D.n三5题型四：函数的最值【例28】求函数f(x)=x，x0的最小值.x【例29】求函数y=Px+1+x1的最小值.【例30】求函数y=、：x+1Px1的最值.二、函数的奇偶性1奇函数定义如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数.偶函数定义如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数.函数的奇偶性定义如果一

3、个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性.注：(1)函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.奇函数、偶函数定义域关于原点对称.定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件.判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据f(x)与f(x)的关系做出判断,为了便于判断，有时需要将函数进行化简.判断函数奇偶性的方法奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法.为了便于判断，有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式：f(x)+f(x)=0o函数为奇函数；=1o函数为奇函数(f(x)工0)；f(x)f(x)=0

4、o函数为偶函数;f(x)兀X)=1o函数为偶函数(f(x)工0).f(x)根据函数图像的对称性判断奇偶性：图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于y轴对称的函数是偶函数.利用基本函数的奇偶性结论判断(具体内容见后面附录二).由任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)，均可构造出一个奇函数g(x)=f(x)f(x)2、一个偶函数h(x)=f(x)+f(x)；2.利用以下结论判断奇偶性：奇函数土奇函数二奇函数，偶函数土偶函数二偶函数，奇函数X奇函数二偶函数，奇函数X偶函数二奇，偶函数X偶函数=偶函数等.5.有关函数奇偶性的结论奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性(如果具有单调性)偶函数在关

5、于原点对称的区间内具有相反的单调性(如果具有单调性)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(4)若f(x)=0,且f(x)定义域关于原点对称，则函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.题型一：判断函数奇偶性判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)土f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断.【例1】判断下列函数的奇偶性:y=丄；xy=x4+x2+2;y=x3+x:y=x3-1.【例2】判断下列函数的奇偶性:【例3【例3】判断下列根式函数的奇偶性并说明理由:f(x)=x4；(2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+;f(x)=丄xx2(1)f(x)=(

6、x-1)：1一x(2)f(x)=、,：x一1+/1-x;f(x)八+巴X2+1+X+1【例4】判别下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2+51xI；(2)f(x)=1x一11+1x+11:(3)f(x)=x2-x3.【例5】判断函数f(x)二的奇偶性.X2+1+X+1由函数奇偶性的定义，有下面的结论：在公共定义域内两个偶函数之和(积)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数;一个奇函数和偶函数之积为奇函数.【例6】若函数f(x)=(x3+x)g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性.【例7】函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，对定义域中任何x,有

7、f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1，则F(xF(x)=2f(x)g(x)1+f(x)是(B.偶函数D.B.偶函数D.非奇非偶函数C.既是奇函数又是偶函数题型二：求解析式与函数值利用函数奇偶性可求函数解析式.【例8】设f(x)是R上的奇函数，且当xg0,+8)时，f(x)=x(1+3x)，那么当xg(一8,0)时，f(x)=【例9】已知偶函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)=x2+3x-1，求f(x)的解析式.设xVO,则一x0【例10】已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时f(x)=x(1-x).求函数f(x)的解析式.【例11】已知函数f(x)=(m2-1)x2+(

8、m-1)x+n+2，当m,n为何值时，f(x)是奇函数？【例12】已知f(x)是偶函数，x0时，f(x)=-2x2+4x，求x0时f(x)的解析式.【例13】已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x1时f(x)的表达式.ax21【例15】已知函数f(x)=一(a,b,ceZ)是奇函数，且f(1)=2,f3,求a,b,c的值.bx+c对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和.即f(x)=*F(x)+G(x)其中F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x)利用这一结论，可以简捷的解决一些问题.X2+X,【例16】定义在R

9、上的函数f(x)二，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和，求g(x)，h(x).X2+1【例17】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数并且f(x)+g(x)=x+1，则求f(x)与g(x)的表达式.【例18】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)-g(x)=，求f(x)、g(x).x+1利用函数奇偶性求函数值【例19】已知f(x)=x2+ax3+bx+8且f(-2)=10,.求f.【例20】若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=;(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，f=2，且对一切实数x都有f(x+4)=f(x)，则f(25)=；设函数y=f(x)(xgR且

10、x丰0)对任意非零实数x,x满足f(x-x)=f(x)+f(x)，则函数y=f(x)是121212(指明函数的奇偶性)【例21】已知函数f(x)=-2x3-x若x、x、xgR且x+x0，x+x0，x+x0则f(x)+f(x)+f(x)123122331123()A.大于零B.小于零C.等于零D.大于零或小于零【例22】设函数f(x)=x3+1x1+2x2+x的最大值为M，最小值为m，则M与m满足().2x2+1xIA.M+m=2B.M+m=4Mm=2D.Mm=4【例23】函数f(x)在R上有定义，且满足f(x)是偶函数；f(0)=2005:g(x)=f(x-1)是奇函数；求f(2005)的值.

11、题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例24】已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,+8)上是减函数，判断f(x)在(-8,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.对奇函数有没有相应的结论.【例25】已设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-8,0)上是减函数，实数a满足不等式f(3a2+a3)f(3a2-2a)，求实数a的取值范围.【例26】已知y=f(x)为(s,+8)上的奇函数，且在(0,+8)上是增函数.求证：y=f(x)在(-8,0)上也是增函数；【例27】已知函数f(x)，当x,ygR时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：函数f(x)是奇函数；若f(3)=a，试用a表示f(24).如果xgR+时f(x)0，且f(1)=0.5.试判断f(x)的单调性，并求它在区间2,6上的最大值与最小值.【例28】设函数y=f(x)(xgR且x丰0)对任意非零实数x,x，恒有f(xx)=f(x)+f(x)，121212求证：f(1)=f(1)=0:求证：y=f(x)是偶函数；已知y=f(x)为(0，+8)