北京各区高三二模理科数学分类汇编(导数)

1、匠心文档，专属精选。北京各区二模理科数学分类汇编导数(2015届西城二模)18（本小题满分13分）已知函数则1x，此中aRf(x)1ax2当a1时，求f(x)的单一区间；4当a0时，证明：存在实数m0，使得对于随意的实数x，都有f(x)m建立18.（本小题满分13分）（）解：当a1时，函数f(x)1x，412x14其定义域为xR|x2.1分求导，得f(x)x22x4(x1)230，4分1x2)21x2)24(14(144因此函数f(x)在区间(,2)，(2,2)，(2,)上单一递减.5分（）证明：当a0时，f(x)1x的定义域为R.1ax2求导，得f(x)ax22ax16分(1ax2)2，令f

2、(x)0，解得x11110，x2111a1，7分a当x变化时，f(x)与f(x)的变化状况以下表：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)+00+f(x)10分因此函数f(x)在(,x1)，(x2,)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减.又由于f(1)0，当x1时，f(x)1x0；当x1时，f(x)1x0，1ax21ax2因此当x1时，0f(x)f(x1)；当x1时，f(x2)f(x)0.12分记Mmax|f(x1)|,|f(x2)|，此中max|f(x1)|,|f(x2)|为两数|f(x1)|，匠心教育文档系列1|f(x2)|a0mM,)x|f(x)|m.13(2015)181

3、3f(x)0 xe.f(x)e.1(1)x2(1lnx)2x2lnx3f(x)xx0.3(x2)2x33f(x)0 xe2.xf(x)f(x)f(x)333(0,e2)e2(e2,)f(x)0f(x)33f(x)(0,e2)(e2,).6lnx1x1lnx1lnxxf(x).7g(x).g(x)x2x2xf(1)44ln24416f(e)0f(x)(0,e)22x0(1,e)g(x0)f(x0)6.2xe,)f(x)0.2匠心文档，专属精选。因此曲线ylnx6的切线.10分存在以(x0,g(x0)为切点，斜率为x由g(x0)1lnx06得：lnx016x02.x02lnx016x021因此g(

4、x0)x06x0.x0 x0 x01由于,2因此12，6x03.x0因此y0g(x0)1.13分(2015届东城二模)（18）（本小题共13分）已知函数f(x)xaex（）当ae2时，求f(x)在区间1,3上的最小值；（）求证：存在实数x03,3，有f(x0)a.（18）（共13分）解：（）当ae2时，f(x)xe2x，x1,3.由于f(x)1e2x，由f(x)0，x2.则x，f(x)，f(x)关系以下：x(1,2)2(2,3)f(x)0f(x)极小值因此当x2时，f(x)有最小值为3.5分（）“存在实数x03,3，有f(x)a”等价于f(x)的最大值大于a.由于f(x)1aex，因此当a0时

5、，x3,3，f(x)0，f(x)在(3,3)上单一递加，因此f(x)的最大值为f(3)f(0)a.因此当a0时命题建立.当a0时，由f(x)0得xlna.则xR时，x，f(x)，f(x)关系以下：匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。x(,lna)lna(lna,)f(x)0f(x)极小值（1）当ae3时，lna3，f(x)在(3,3)上单一递减，因此f(x)的最大值f(3)f(0)a.因此当ae3时命题建立.（2）当e3ae3时，3lna3，因此f(x)在(3,lna)上单一递减，在(lna,3)上单一递加.因此f(x)的最大值为f(3)或f(3).且f(3)f(0)a与f(3)f(0)a必

6、有一建立，因此当e3ae3时命题建立.（3）当0ae3时，lna3，因此f(x)在(3,3)上单一递加，因此f(x)的最大值为f(3)f(0)a.因此当0ae3时命题建立.综上：对随意实数a都存在x3,3使f(x)a建立.13分(2015届丰台二模)20.（本小题共13分）已知函数f(x)lnax1a0).x(（）求函数f(x)的最大值；（）假如对于x的方程lnx1bx有两解，写出b的取值范围（只要写出结论）；（）证明：当kN*且k2时，lnk1111lnk2234k20.（本小题共13分）解：（）函数的定义域为xx0由于f(x)lnax1x，因此f(x)lnaxx2由于a0，因此当f(x)0

7、时，x1a当x1(x)1(0,)时，f0，f(x)在(0,)上单一递加；aa匠心教育文档系列4x(1,)f(x)0f(x)(1,)aax1f(x)最大值f(1)a6aa0b1lnx1bx8lnx111xln1x1xx11ln2212ln3321k1lnkkk1kN*k21111lnk10234klnx11lnxx1x1xln33122ln44133ln55144lnk1k1kk1kN*k2lnk111112234klnklnk1225匠心文档，专属精选。因此当kN*且k2时，lnk1111lnk13分2234k(2015届昌平二模)18.（本小题满分13分）已知函数f(x)x2axlnx,aR

8、.（I）若函数f(x)在(1,f(1)处的切线垂直于y轴，务实数a的值；(II)在（I）的条件下，求函数f(x)的单一区间；(III)若x1时,f(x)0恒建立，务实数a的取值范围.18.（本小题满分13分）解：（I）f(x)x2axlnx,aR.定义域为(0,)f(x)2xa1,aR.x依题意，f(1)0.因此f(1)3a0，解得a34分（II）a3时，f(x)lnxx23x，定义域为(0,)，12x12x23xf(x)x3x当0 x1或x1时,f(x)0，2当1x1时，f(x)0，2(1,1).-8分故f(x)的单一递加区间为(0,1),(1,)，单一递减区间为22（III）解法一：由f(

9、x)0，得alnxx21x在x时恒建立，令g(x)lnxx21x2lnxx，则g(x)x2令h(x)1x2lnx，则h(x)2x12x210 xx因此h(x)在(1,)为增函数，h(x)h(1)20.故g(x)0，故g(x)在(1,)为增函数.g(x)g(1)1，匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。因此a1，即实数a的取值范围为(,1.13分解法二：f(x)12xa12x2axxx令g(x)2x2ax1，则a28，（i）当0，即22a22时，f(x)0恒建立，由于x1,因此f(x)在(1,)上单一递加，f(x)f(1)1a0，即a1，因此a(22,1；(ii)当0，即a22时，f(x)0恒建立，由于x1,因此f(x)在(1,)上单一递加，f(x)f(1)1a0，即a1，因此a22；(iii)当0，即a22或a22时，方程g(x)0有两个实数根x1aa28,x2aa2844若a22，两个根x1x20，当x1时，f(x)0，因此f(x)在(1,)上单一递加，则f(x)f(1)1a0，即a1，因此a22；若a22，g(x)0的两个根0 x1x2，由于f(x)1a0，且f(x)在(1,)是连续不停的函数因此总存在x01，使得f(x0)0，不知足题意.综上，实数a的取值范围为(,1.13分（2015届旭日二模）19.（此题14分）已知函数f(x)(x2aexa