线性代数全套讲义

1、第一章 行列式 1. 1 二阶、三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组, 方程(2)a11-方程(1)a21得 (a11a22-a12a21) x2= a11b2-b1a21, 于是 ; 类似地有 (a11a22-a12a21) x1= b1a22-a12b2, .我们把a11a22-a12a21称为二阶行列式, 并记为, 即 . 在二阶行列式中, 横排称为行, 竖排称为列. a ij称为行列式的元素, 它是行列式中第i行第j列的元素. 从左上角元素到右下角元素的实联线称为主对角线, 从右上角元素到左下角元素的虚联线称为副对角线. 于是二阶行列式是主对角线上两元素

2、之积减去的副对角线上二元素之积所得的差, 这一计算法那么称为对角线法那么. 按对角线法那么可得 , . 假设记 那么线性方程组的解可表为 , . 例1 求解二元线性方程组 解 由于 因此 二 、三阶行列式 用消元法解三元线性方程组, 可得 x2= , x3= . 我们把表达式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31称为三阶行列式 记为 , 即 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 对角线法那么 按对角线法那么 有 b1a22a33a12a23b3a13

3、b2a32 b1a23a32a12b2a33a13a22b3 假设记 那么三元线性方程组的解为 例2 计算三阶行列式 解 按对角线法那么 有 D12(2)21(3)(4)(2)4 1142(2)(2)(4)2(3) 4632482414 例3 求解方程 解 方程左端的三阶行列式 D3x24x189x2x212x25x6 由x25x60解得x2或x3 对角线法那么只适用于二阶与三阶行列式 为研究四阶及更高阶行列式 下面先介绍有关全排列的知识 然后引出n阶行列式的概念1 2 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位上可以从1、2、3中任意选取一个

4、 共有3种选法 百位数字确定后 十位上的数字在剩余的两个数中选取 共有两种选法 百位和十位上的数字都确定后 个位上的数字只能取剩下的一个数字 即只有一种选法 因此总共有3216种选法 即可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 231 312 132 213 321 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列) n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n! 比方由a b c组成的所有排列为 a b c a c b b a c b c a c a b c b a abb是排列吗? 以下我们只讨论

5、n个自然数的全排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 逆序数的计算法 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti 全体元素的逆序数之和 tt1t2 tn即是这个排列的逆序数 例4 求排列32514的逆序数 解 在排列32514中 t10 t21 t30 t43 t51 3位于首位 其逆序数为0 2的前面比2大的数有一个(3) 故其逆序数为1 5的前面没有比

6、5大的数 故其逆序数为0 1的前面比1大的数有三个(3、2、5) 故其逆序数为3 4的前面比4大的数有一个(5) 故其逆序数为1 于是排列32514的逆序数为 t010315 标准排列12345的逆序数是多少?1 3 n阶行列式的定义 为推广行列式概念, 必须找出二阶、三阶行列式的展开式的共同特征. 观察展开式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 可以得到如下规律: (1)三阶行列式右边的每一项都恰是三个元素的乘积 这三个元素位于不同的行、不同的列 行列式右边任一项除正负号外可以写成 , 这里第一个下标(行标)排列成标

7、准次序123 而第二个下标(列标)排成其中p1p2p3它是1、2、3三个数的某个排列 这样的排列共有6种 对应行列式右边共含6项 (2)各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列是 123 231 312 带负号的三项列标排列是 132 213 321 经计算可知前三个排列都是偶排列 而后三个排列都是奇排列 因此各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 总之, 三阶行列式可以写成 , 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和. 仿此 可以把行列式推广到一般情形 定义 由n2个数aij (i, j=1, 2, , n)构成的代

8、数和 称为n阶行列式, 记为 简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和. 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 特别规定一阶行列式|a|的值就是a. 注: n阶行列式共有n!项, 且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半. 在行列式中, 的行标的排列为123 n, 说明n个元素取自不同的行, 列标的排列为p1p2 pn, 说明n个元素取自不同的列, 所以表示取自不同行不同列的n个元素的乘积. 如果p1p2 pn为奇排列, 那么面冠以负号; 如果p1p2 pn为偶排列, 那么前面冠以正号. 例5 证明

9、n阶行列式 ; . 解 第一式左端称为对角行列式, 其结果是显然的, 下面只证第二式. 假设记li=a i, n-i+1 , 那么依行列式定义 , =(-1)t a1na2, n-1 an1=(-1)tl1l2 ln, 其中t为排列n(n-1) 21的逆序数, 故 t=0+1+2+ +(n-1) . 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式, 它的值与对角行列式一样. 例6 证明下三角形行列式 . 解 我们要求出展开式中所有可能不为零的乘积项. 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不一定为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这

10、样的乘积项只有一个 这就是a11a22a33 ann. 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 因此 补充例题 例1 在6阶行列式det(aij)中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号？ 解 因为列标排列532416的逆序数为t0121408 为偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号 例2 用行列式定义计算行列式 解 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 所以四个元素的乘积为a21a43a14a32a14a21a32a43其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列

11、 所以D(1)3a14a21a32a43a14a21a32a431 6 5 线性变换的矩阵表示式 上节例10中 关系式T(x)Ax (xRn)简单明了地表示出Rn中的一个线性变换 我们自然希望Rn中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示 为此 考虑到1Ae1 2Ae2 nAen(e1 e2 en为单位坐标向量) 即iT(ei) (i1 2 n)可见如果线性变换T有关系式T(x)Ax 那么矩阵A应以T(ei)为例向量 反之 如果一个线性变换T使T(ei)i (i1 2 n) 那么T必有关系式 T(x)T(e1 e2 en)xT(x1e1 x2e2 xnen) x1T(e1)x2T(e2) xn

12、T(en) (T(e1) T(e2) T(en)x(1 2 n)xAx 总之 Rn中任何线性变换T 都能用关系式T(x)Ax (xRn)表示 其中A(T(e1) T(e2) T(en) 把上面的讨论推广到一般的线性空间 我们有 定义7 设T是线性空间Vn中的线性变换 在Vn中取定一个基1 2 n 如果这个基在变换T下的像(用这个基线性表示)为 T(i)a1i1a2i2 anin (i1 2 n) 记T(1 2 n)(T(1) T(2) T(n) 上式可表示为T(1 2 n)( 1 2 n)A其中 那么 A就称为线性变换T在基1 2 n下的矩阵 显然 矩阵A由基的像T(1) T(2) T(n)唯

13、一确定 如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基1 2 n下的矩阵 也就是给出了这个基在变换T下的像 那么 根据变换T保持线性关系的特性 我们来推导变换T必须满足的关系式 Vn中的任意元素记为 x11x22 xnn(1 2 n)x 其中x(x1 x2 xn)T 有 T(x11x22 xnn)x1T(1)x2T(2) xnT(n) (T(1) T(2) T(n)x (1 2 n)Ax 即 T(1 2 n)x(1 2 n)Ax 这个关系式唯一地确定一个变换T 可以验证所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换 总之 以A为矩阵的线性变换T由关系式T(1 2 n)x(1 2 n)Ax唯一确定 定义7和上面一段

14、讨论说明 在Vn中取定一个基以后 由线性变换T可唯一确定一个矩阵A 由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T 这样 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系 由关系式T(1 2 n)x(1 2 n)Ax可见与T()在基1 2 n下的坐标分别为x(x1 x2 xn)T与AxA(x1 x2 xn)T 例11 在Px3中 取基p1x3 p2x2 p3x p41求微分运算D的矩阵 解 D(p1 p2 p3 p4)(3x2 2x 1 0)(3p2 2p3 p4 0) 即微分运算D的矩阵为 例12 在R3中 T表示将向量投影到xOy平面的线性变换 即T(xiyjzk)xiyj (1)取基为i j k 求T的

15、矩阵 (2)取基为i j ijk 求T的矩阵 解 (1)T(i j k)(i j 0) 即T的矩阵为 (2) T( )T(i j ijk)(i j ij) 即T的矩阵为 由上例可见 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵 一般地 我们有 定理3 设线性空间Vn中取定两个基1 2 n 1 2 n 由基1 2 n到基1 2 n的过渡矩阵为P Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B 那么BP1AP 证明 按定理的假设 有 (1 2 n)(1 2 n)P P可逆 及 T(1 2 n)(1 2 n)A T(1 2 n)(1 2 n)B 于是 (1 2 n)BT(1 2 n)T(1 2 n)P

16、T(1 2 n)P(1 2 n)AP (1 2 n)P1AP 因为1 2 n线性无关 所以BP1AP 例13 设V2中的线性变换T在基1 2下的矩阵为求T在基2 1下的矩阵 解 即 求得 于是T在基2 1下的矩阵为 定义8 线性变换T的像空间T(Vn)的维数 称为线性变换T的秩 显然 假设A是T的矩阵 那么T的秩就是R(A) 假设T的秩为r 那么T的核Sr的维数为nr 1.5 行列式的性质转置行列式: 记, ,行列式DT称为行列式D的转置行列式. 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等. 证 记D=det(aij)的转置行列式,那么bij=aji (i, j=1, 2, , n). 按定义

17、而由定理2, 有 故DT=D . 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地位, 行列式的性质但凡对行成立的对列也同样成立, 反之亦然. 性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. 证 设行列式是由行列式D=det(aij)对换i, j两行得到的, 即bkp=akp(ki, j), bip=ajp, bjp=aip(p=1, 2, , n). 于是 , 其中1 i j n为标准排列, t为排列p1 pi pj pn的逆序数. 设排列p1 pj pi pn的逆序数为t1 , 那么, 故. 以r i表示行列式的第i行, 以c i表示第i列. 交换i, j两行记作rirj, 交换i, j两列记作ci

18、cj. 推论1 如果行列式有两行(列)完全相同, 那么此行列式等于零. 证 把这两行互换, 有D=-D, 故D=0. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式. 即. 第i行(或列)乘以k, 记作rik(或cik). 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 第i行(或列)提出公因子k, 记作rik(或cik). 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 那么行列式等于零. 性质5 假设行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和, 例如第i行的元素都是两数之和: ,那么D等于以下两个行列式之和: . 性质6 把行列式的某一行

19、(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变. 即. 以数k乘第j行加到第i行上, 记作ri+krj. 例7 计算. 解 (下一步: c1c2) (下一步: r2-r1, r4+5r1) (下一步: r2r3) (下一步: r3+4r2, r4-8r2) (下一步: r3+r4) (下一步: r45r3) 例8 计算 解 (下一步: r1+r2r3+r4) (下一步: r16) (下一步: r2r1 r3r1 r4r1 ) 例9 计算 解 (下一步: r4r3 r3r2 r2r1) (下一步: r4r3 r3r2) (下一步: r4r3) 例10 证明DD1D2 其

20、中 证 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 例11 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 解 把D2n中的第2n行依次与2n1行、 、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、 、第2列对调 得 根据例10的结果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2(adbc)n 例11 计算

21、2n阶行列式 其中未写出的元素为0 解 把D2n中的第2n行依次与2n1行、 、第2行对调(作2n2次相邻对换) 再把第2n列依次与2n1列、 、第2列对调 得 根据例10的结果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2(adbc)n 1.6 行列式按行(列)展开 在n 阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记Aij(1)i jMijAij叫做元素aij的代数余子式 例如行列式 中元素a23的余子式为 元素a23的代数余

22、子式为 (1)23M23M 23 引理 在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都为零 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积 即DaijAij 简要证明 定理3 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和, 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i1, 2, , n),或 Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j1, 2, , n). 简要证明 因为 根据引理 即得 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i1, 2, , n) 类似地 可证 Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j1, 2, , n). 这个定理叫做行列式按行(

23、列)展开法那么 例1 计算行列式 . 解 将D按第三列展开,应有 Da13A13a23A23a33A33a43A43,其中a133, a231, a331, a430, , , , ,所以 D3191(63)(1)180(10)24. 例2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)Dn-1 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2)Dn-

24、2 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2) (an-an-1) . 例2 计算n阶范德蒙行列式 . 解 (第n-1行乘-a1加到第n行, 第n-2行乘-a1加到第n-1行, 第n-3行乘-a1加到第n-2行, ) (按第一列展开) =(a2-a1)(a3-a1) (an-a1)Dn-1, 于是 Dn=(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)D n-1 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2)Dn-2 =(a2-a1)(a3-a1)(an-a1)(a3-a2)(an-a2) (an-an-1) . 推论 行列式某一行(列)的元素

25、与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 ai1Aj1+ai2Aj2+ +ainAjn =0 (ij), 或 a1iA1j+a2iA2j+ +aniAnj=0 (ij). 证明 因为 , 所以 aj1Aj1+aj2Aj2+ +ajnAjn=(aj1+ai1)Aj1+(aj2+ai2)Aj2+ +(ajn+ain)Ajn , 移项化简得 ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn=0. 综合结果: , 或. 相关结果: , . 例3 设 , D的(i, j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij, 求 A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41.

26、解 (下一步: r4+r3, r3-r1) (下一步: 按第三列展开) (下一步: c2+c1) (下一步: 按第三行展开) M11+M21+M31+M41A11A21+A31A41 (下一步: r4+r3) (下一步: 按第三行展开) (下一步: r12r3) 补充题 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 . 解 按第一行展开: D1(1)110(1)12(2)(1)13 1(8)0(2)518. 按第二列展开: D0(1)121(1)223(1)32 01(3)3(1)531518. 例2 计算 (1)(1)32 1(1)2261824. 例3 计算n阶行列式 解 按第一行展开 得 1.7

27、 克拉默法那么 含有n个未知数n个方程的线性方程组的一般形式为 ()由它的系数组成的n阶行列式 称为n元线性方程组的系数行列式 克拉默法那么 如果线性方程组()的系数行列式不等于零, 即 那么 方程组()有唯一解 其中D j (j=1, 2, , n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j, a2j, , anj对应地换为方程组的常数项b1, b2, , bn后所得到的n阶行列式 即. 证明 以行列式D的第j(j1, 2, , n)列的代数余子式A 1j, A 2j, , A nj分别乘以方程组的第1, 第2, , 第n个方程, 然后相加, 得 (a11A1ja21A2j an1Anj)x1(a

28、12A1ja22A2j an2Anj)x2 (a1jA1ja2jA2j anjAnj)xj (a1nA1ja2nA2j annAnj)xn b1A1j b2A2j bnAnj,xj的系数等于D, xs(sj)的系数等于零. 等号右端等于D的第j列元素以常数项b1, b2, , bn替换后的行列式Dj, 即 Dxj Dj (j=1, 2, , n), 如果方程组有解, 那么其解必满足DxjDj, 而当D0时, 方程组只有形如 (j=1, 2, , n)的解. 另一方面, 将(j=1, 2, , n)代入方程组, 容易验证它满足方程组, 所以(j=1, 2, , n)是方程组的解. 综上所述, 当

29、方程组的系数行列式D0时, 方程组有且仅有唯一解 (j=1, 2, , n). 例1 解线性方程组 解 于是得 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组 其系数行列式为 (41)(31)(21)(42)(32)(43)32121112 因此 得唯一解 a03 a22 即曲线方程为 定理4 如果线性方程组()的系数行列式D0 那么方程组()一定有解 且解是唯一的 定理4 如果线性方程组()无解或有两个不同的解 那么它的系数行列式必为零 线性方程组()右端的常数项b1

30、b2 bn不全为零时 线性方程组()叫做非齐次线性方程组 当b1 b2 bn全为零时 线性方程组()叫做齐次线性方程组 对于齐次线性方程组 ()x1x2 xn0一定是它的解 这个解叫做齐次线性方程组()的零解 如果一组不全为零的数是方程组()的解 那么它叫做齐次线性方程组()的非零解 齐次线性方程组()一定有零解 但不一定有非零解 定理5 如果齐次线性方程组()的系数行列式D0 那么齐次线性方程组()没有非零解 定理5 如果齐次线性方程组()有非零解 那么它的系数行列式必为零 例16 问取何值时 齐次线性方程组 有非零解？ 解 假设所给齐次线性方程组有非零解 那么其系数行列式D0 而 (5)(

31、6)(4)4(4)4(6) (5)(2)(8) 由D0 得2、5或8 补充例题 例1 解线性方程组 . 解 计算行列式 D20, D12, D24, D30, D11, 所以 ,是所给方程组的解.第二章 矩阵 2. 1 矩阵 定义1 由mn个数aij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵, 记作 ,其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素. 一般情况下, 我们用大写字母A, B, C等表示矩阵. mn矩阵A简记为A=(aij)mn 或记作A mn . 假设矩阵A的行数与列数都等于n, 那么称A为n阶矩阵, 或称为n阶方阵. n阶矩阵A也记作An

32、. 只有一行的矩阵A=(a1 a 2 an)称为行矩阵, 或称为行向量. 行矩阵也记作A=(a1, a 2, , an). 只有一列的矩阵称为列矩阵, 或称为列向量. 两个矩阵的行数相等、列数也相等, 就称它们是同型矩阵. 如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵, 并且 它们的对应元素相等, 即 aij=bij(i=1, 2, , m; j=1, 2, , n), 那么称矩阵A与矩阵B 相等, 记作A=B. 对角矩阵diaga1, a 2, , an 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵, 记为O. 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其aij为工厂向第i个店发送第j种产品的数量

33、. 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵,其中bi1为第i种产品的单价, bi2为第i种产品的单件重量. 例2 四个城市间的单向航线如下图. 假设令,那么图可用矩阵表示为. 一般地, 假设干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 n个变量x1, x2, , xn与m个变量y1, y2, , ym之间的关系式表示一个从变量x1, x2, , xn到变量y1, y2, , ym的线性变换, 其中aij为常数. 线性变换的系数aij构成矩阵A=(aij)mn, 称为系数矩阵. 给定了线性变换, 它的系数所构成的矩阵也就确定了. 反之, 如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵, 那么线性变换

34、也就确定了. 在这个意上, 线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系. 线性变换叫做恒等变换, 它对应的一个n阶方阵 这种方阵称为n阶单位矩阵, 简称单位阵. 线性变换对应的n阶方阵 这种方阵称为对角矩阵 简称对角阵. 对角阵也记作diag(1 2 n) 由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系 因此可以利用矩阵来研究线性变换 也可以利用线性变换来解释矩阵的涵义 例如矩阵所对应的线性变换可看作是xOy平面上把向量变为向量的变换 由于向量是向量在x轴上的投影 因此这是一个投影变换 又如矩阵对应的线性变换把xOy平面上的向量变为向量 设的长度为r 辐角为 即xr cos yr sin 那么x1r(c

35、os cossin sin)rcos()y1r(sin coscos sin)rsin()说明的长度也为r而辐解为 因此 这是把向量旋转角的旋转变换 2. 2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义2 设有两个mn矩阵A=(aij)和B=(bij), 矩阵A与B的和记为A+B, 规定为A+B=(aij+bij ). 即. 例1 设, , 那么 . 应该注意, 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 这两个矩阵才能进行加法运算. 矩阵加法的运算规律: 设A, B, C都是mn矩阵, 那么 (1)A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C). 设矩阵A=(aij), 记-A=(-aij),-A称为矩阵A

36、的负矩阵. 显然有 A+(-A)=O.由此规定矩阵的减法为A-B=A+(-B). 二、数与矩阵相乘 定义3 数l与矩阵A的乘积, 记为lA或Al, 规定为lA=(laij). 即 例2 设, 那么 . 数乘矩阵的运算规律: 设A、B都是mn矩阵, l、m是数, 那么 (1)(lm)A=l(mA); (2)(l+m)A=lA+mA; (2)l(A+B)=lA+lB. 矩阵的加法运算与数乘运算合起来, 统称为矩阵的线性运算. 例3 设, , 求3A-2B. 解 3A-2B . 例4 , , 且A+2X=B, 求X. 解 . 二、矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换(1). (2)假设想求出从t1、t2

37、到y1、y2的线性变换, 可将(2)代入(1), 便得. (3) 线性变换(3)可看成是先作线性变换(2)再作线性变换(1)的结果. 我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘积, 相应地把所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积, 即. 一般地, 我们有 定义4 设A=(aij)是一个ms矩阵, B=(Bij)是一个sn矩阵, 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB, 规定为mn矩阵C=(cij), 其中 (i=1, 2, , m; j=1, 2, n). 按此定义 一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵 也就是一个数 由此说明乘积ABC的(i j)元cij就是A

38、的第i行与B的第j列的乘积 必须注意 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例3 设, , 求AB. 解 . BA没有意义, 因为B的列数不等于A的行数. 例6 设, , 求AB及BA. 解: , 显然ABBA. 可以看出乘法一般不满足交换律. 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 从而不能从AB=O推出A=O或B=O. 从A(XY)O不能推出XY 例7 设, , 求AB及BA. 解 , , 显然AB=BA. 如果两矩阵A与B相乘, 有AB=BA, 那么称矩阵A与矩阵B可交换. 矩阵的乘法有以下性质(设以下矩阵都可以进行有关运算): (1)(AB)C=A(BC); (2)(AB

39、)=( A)B=A(B). (其中为数) (3)(A+B)C=AC+BC; (4)C(A+B)=CA+CB 对于单位矩阵E 容易验证EmAmnAmn AmnEnAmn 或简写成EAAEA 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1 矩阵称为纯量阵 由(E)AA A(E)A 可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积 并且当A为n阶方阵时 有(En)AnAnAn(En)这说明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的 有了矩阵的乘法 就可以定义矩阵的幂 设A是n阶方阵 定义A1A A2A1A1 Ak1Ak A1其中k为正整数 这就是说 Ak就是k个A连乘 显然只有方阵 它的幂才有意义 矩阵的幂满足的

40、运算规律 AklAk Al (Ak)lAkl 其中k、l为正整数 应注意 一般来说(AB)kAkBk 只有当A与B可交换时 才有(AB)kAkBk 类似地可知 只有当A与B可交换时 才有(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2 有了矩阵乘法这后 线性变换可记作YAX其中A(aij) 四、矩阵的转置 定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 例如矩阵的转置矩阵为 转置的运算规律 (1)(AT)T=A (2)(AB)TATBT (3)(A)TAT (4)(AB)TBTAT 证明(4) 设A=(aij)ms, B=(bij)sn , 记ABC(cij)mn

41、 BTATD(dij)nm (AB)T的第i行第j列的元素就是AB的第j行第i列的元素cjiaj1b1i aj2b2i ajsbsi BTAT的第i行第j列的元素是BT的第i行(b1i b2i bsi)与AT的第j列(aj1 aj2 ajs)T的乘积dijb1iaj1b2iaj2 bsiajs aj1b1i aj2b2i ajsbsi 因此 dijcji (i1 2 n j1 2 m) 即 (AB)TBTAT 例9 求(AB)T 解 方法一 因为 所以 方法二 设A为n阶方阵 如果满足ATA 即aijaji(i j1 2 n)那么称A为对称矩阵 简称对称阵 对称阵的特点是 它的元素以对角线为对

42、称轴对应相等 例10 设列矩阵X(x1 x2 xn)T满足XTX1 E为n阶单位阵 HE2XXT 证明H是对称阵 且HHTE 证明 因为 HT(E2XXT)TE T2(XXT)TE2XXTH 所以H是对称阵 HHTH2(E2XXT)2 E4XXT4(XXT)( XXT) E4XXT4X(XTX)XT E4XXT4XXTE 五、方阵的行列式 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式 记作|A|或detA 由A确定|A|的这个运算满足 (1)|AT|A| (2)|lA|=ln|A|; (3)|AB|=|A|B| 我们仅证明(3) 设A(aij) B(bij) 记2n阶行列式那么D

43、|A|B| 而在D中以b1j乘第1列 b2j乘第2列 bnj乘第n列 都加到第nj列上(j1 2 n) 有其中C(cij) cijb1jai1b2jai2 bnjain 故CAB 再对D的行作rjrnj(j1 2 n) 有于是D(1)n|E|C|(1)n(1)n|C|AB| 因此 |AB|=|A|B| 方阵A的伴随矩阵: 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下方阵称为矩阵A的伴随矩阵 简称伴随阵 例9 试证AA* =A*A=|A|E. 证明 设A(aij) 记AA*(bij) 因为所以AA*(bij)diag(|A| |A| |A|)|A|E 类似地 有A*A=|A|E. 六、共

44、轭矩阵 当A(aij)为复矩阵时 用表示aij的共轭复数 记称为A的共轭矩阵 共轭矩阵满足的运算规律(设A、B为复矩阵 为复数 且运算都是可行的) (1) (2) (3) 2.5 逆矩阵 给定一个线性变换它的系数矩阵是一个n阶矩阵A(aij) 假设记 那么此线性变换可记作YAX 以A的伴随矩阵A*左乘上式两端 可得A*YA*AX 即A*Y|A|X当|A|0时 可解出记 上式可记作XBY XBY表示一个从Y到X的线性变换 称为线性变换YAX的逆变换 由YAX和XBY可以得到一个从Y到Y的恒等变换YAXABY因此应有ABE 由YAX和XBY也可以得到一个从X到X的恒等变换XBYBAX因此应有BAE

45、 综合起来有ABBAE 从X(x1 x2 xn)T到Y(y1 y2 yn)T的线性变换可以记作YAX 其中A是n阶矩阵 如果线性变换YAX存在逆变换XBY 那么有恒等变换XBYBAX和YAXABY 因此应有ABBAE 以A的伴随矩阵A*左乘YAX的两端 可得A*YA*AX 即A*Y|A|X当|A|0时 可解出于是 定义7 对于n阶矩阵A, 如果存在n阶矩阵B, 使得AB=BA=E,那么矩阵A是可逆的 并称B为A的逆矩阵 简称逆阵 逆阵的唯一性: 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的 这是因为如果B和B1都是A的逆矩阵, 那么有 AB=BA=E, AB1=B1A=E, 于是 B=BE=B(A

46、B1)=(AB)B1=EB1=B1, 即 B=B1, 所以逆矩阵是唯一的. A的逆阵记为A-1. 即假设AB=BA=E , 那么B=A-1. 定理1 假设矩阵A可逆 那么|A|0 证明 设A可逆, 即有A-1, 使AA-1=E. 故|A|A-1|=|E|=1, 所以|A|0. 对于n阶矩阵A, 当|A|=0时, 称A是奇异矩阵, 否那么称A为非奇异矩阵. 定理2 假设|A|0 那么矩阵A可逆, 且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵. 证 我们曾证明AA* =A*A=|A|E因为|A|0 故有所以 按逆阵的定义 即知A可逆 且有 综合起来 矩阵A可逆|A|0 假设A可逆 那么 推论 假设AB=E(BA

47、=E) 那么BA-1 证明 因为|A|B|=10 故|A|0 因而A-1存在 于是 BEB(A1A)BA1(AB) A1EA-1 逆矩阵的性质: (1)假设A可逆, 那么A-1也可逆, 且(A-1)-1=A (2)假设A可逆, 数l0, 那么lA 可逆, 且 (3)假设A、B为同阶可逆矩阵, 那么AB亦可逆, 且(AB )-1=B -1A-1. 这是因为(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E (4)假设A可逆, 那么AT也可逆, 且(AT )-1=(A-1)T . 这是因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E. 当|A|0时 还可定义A0E Ak(A1)

48、k其中k为正整数 这样 当|A|0 为整数时 有AAA (A)A 例1 求二阶矩阵的逆阵 解 |A|adbc 所以当|A|0时 有提示 A 11d A 12c A 21b A 22a 例2 求方阵的逆阵. 解 由|A|=20, 得知A-1存在. 因为,所以.提示 例3 设, , , 求矩阵X使其满足AXB=C. 解 假设A-1, B-1存在, 那么用A-1左乘上式, B-1右乘上式, 有A-1AXBB-1=A-1CB-1,即 X=A-1CB-1. 由上例知|A|0, 而|B|=1, 故知A、B都可逆, 且 于是 例4 设 APP 求An 解 |P|2 APP1 A2PP1PP1P2P1 AnP

49、nP1而 故 设(x)a0a1x amxm为x的m次多项式 A为n阶矩阵 记(A)a0Ea1A amAm(A)称为矩阵A的m次多项式 (1)如果APP1 那么AkPkP1 从而 (A)a0Ea1A amAm Pa0EP 1 Pa1P1 PammP1 P()P1 (2)如果diag(1 2 n)为对角阵 那么 从而 ()a0Ea1 amm a0diag(1 1 1)a1diag(1 2 n) diag( (1) (2) (n) 补充例题 例1 求矩阵的逆矩阵. 解 因为, 所以A可逆. 又因为 , 所以 例2 diag(1 2 n) 其中i0(i1 2 n) 验证1diag(11 21 n1)

50、证明 因为 diag(1 2 n) diag(11 21 n1) diag(111 221 nn1) diag(1 1 1)E 所以1diag(11 21 n1) 例4 设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O, 证明A为可逆矩阵, 并求A-1(a, b, c为常数, 且c0). 解 由aA2+bA+cE=O, 有 aA2+bA=-cE, 又因c0, 故有 , 即 , 因此A可逆, 且. 例5 假设A, B, C是同阶矩阵, 且A可逆, 证明以下结论中(1), (3)成立, 举例说明(2), (4)不必然成立. (1)假设AB=AC, 那么B=C; (2)假设AB=CB, 那么A=C; (3)假

51、设AB=O, 那么B=O; (4)假设BC=O, 那么B=O. 2. 4 分块矩阵及其运算 对于行数和列数较高的矩阵A 运算时常采用分块法 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 我们将矩阵A用假设干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 例如: 例如 , 如果令, , O=(0 0 0), A2=(1), 那么 . 如果令 , , , 那么 . 如果令, , , , 那么 A=(a1 a 2 a 3 a4). 分块矩阵的运算规那么与普通矩阵的运算规那么类似 (1)设矩阵A与B的行列相同、列数相同 采用相同的分块法 有 其中Aij与Bij的行数相

52、同、列数相同 那么 (2)设 为数 那么 (3)设A为ml矩阵 B为ln矩阵 分块成 其中Ai1 Ai2 Ait的列数分别等于B1j B2j Btj的行数 那么,其中 (i=1, 2, , s; j=1, 2, , r). 例1 设 求AB 解把A、B分块成 那么 而 于是 (4)设 那么 设A为n阶矩阵 假设A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且在对角线上的子块都是方阵 即其中Ai(i1 2 s)都是方阵 那么称A为分块对角矩阵 (5)对于分块对角矩阵 (1)对于上述分块对角矩阵 有|A|A1|A2| |As| (6)对于分块对角矩阵如果|Ai|0(i1 2 s) 那么

53、|A|0 并有 例2 设 求A1 解 A1(5) 所以 对矩阵分块时 有两种分块法应予以特别重视 这就是按行分块和按列分块 mn矩阵A有m行 称为矩阵A的m个行向量 假设第i行记作aiT(ai1 ai2 ain)那么矩阵A便记为 mn矩阵A有n行 称为矩阵A的n个列向量 假设第j列记作 ( j1 2 n) 那么 A(1 2 n) 矩阵A(aij)mn的每一行称为矩阵A的行向量 假设矩阵A的第i行记为aiT 那么 矩阵B(bij)mn的每一列称为矩阵B的列向量 假设矩阵B的第j列记为bj 那么B(b1 b2 bn) 注 今后列向量(列矩阵)常用小写黑体字母表示 如a x等 行向量(行矩阵)用列向

54、量的转置表示 如aT T xT等 对于矩阵A(aij)ms与矩阵B(bij)sn的乘积矩阵ABC(cij)mn 假设把A按行分成m块 把B按列分成n块 便有其中 你对矩阵乘法是否有了进上步的认识？ 以对角阵m左乘矩阵A mn时 把A按行分块 有可见以对角阵m左乘A的结果是A的每一行乘以中与该行对应的对角元 以对角阵n右乘矩阵A mn时 把A按列分块 有可见以对角阵n右乘A的结果是A的每一列乘以中与该列对应的对角元 例3 设ATAO 证明AO 证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 那么因为ATAO 所以(i1 2 n)从而ai1ai2 ain0(i1 2 n)即AO

55、 对于线性方程组 记A(aij) 其中A称为系数矩阵 x称为未知数向量 b称为常数项向量 B称为增广矩阵 按分块矩阵的记法 可记B(A b) 或B(A b)(a1 a2 an b1)利用矩阵的乘法 此方程组可记作Axb 方程Axb以向量x为未知元 它的解称为方程组的解向量 如果把系数矩阵A按行分成m块 那么线性方程组Axb可记作 或这就相当于把每个方程ai1x1ai2x2 ainxnbi记作(i1 2 m) 如果把系数矩阵A按列分成n块 那么与A相乘的x应对应地按行分成n块 从而记作即x1a1x2a2 xnanb 总之 方程Axb x1a1x2a2 xnanb都表示线性方程组 它们不加区别 解

56、与解向量也不加区别 线性方程组与矩阵方程存在一一对应关系 Axb x1a1x2a2 xnanb 其中A(aij)(a1 a2 an)称为系数矩阵 x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量 b(b1 b2 bm)T称为常数项向量 矩阵方程Axb以向量x为未知元 它的解称为线性方程组的解向量 上述三种形式的方程并没有本质区别 因此令后不加区分 它们的解也不加区分 克拉默法那么的证明 克拉默法那么 对于n个变量、n个方程的线性方程组如果它的系数行列式D0 那么它有唯一解(j1 2 n) 证明 把方程组写成向量方程Axb 因为|A|D0 故A1存在 令xA1b 有AxAA1bb这说明xA1b是方程组的

57、解向量 由Axb 有A1AxA1b 即xA1b 根据逆阵的唯一性 知xA1b是方程组的唯一的解向量 由逆阵公式 有 即也就是(j1 2 n) 克拉默法那么可以表达为 对于n个变量n个方程的线性方程组Axb 如果它的系数行列式D0 那么它有唯一解 证明 因为|A|D0 故A1存在 令xA1b 有AxAA1bb这说明xA1b是线性方程组的解向量 由Axb 有A1AxA1b 即xA1b 根据逆阵的唯一性 知xA1b是线性方程组的唯一的解向量 由逆阵公式 有 即也就是补充例题 例1 设, , 那么 AEn=A(1 2 n )=( A1 A 2 An )=(A1 A2 An),于是 Aj =Aj (j=

58、1, 2, , n). 例2 设分块矩阵, 其中A, B分别为r阶、s阶可逆矩阵, 求P-1. 解 设, 其中X1, X4分别为r、s阶方阵, 那么 , 即 比拟等式两边得AX1=E1 AX2=O CX1BX3=O CX2BX4=Es解之得 X1=A1 X2=O X3=B1CA1 X4=B1 所以 特别当C=O时 有 3.6 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用 为引起家矩阵的初等变换 先来分析用消元法解线性方程组的例子 引例 求解线性方程组 解 (下一步 05) (下一步 2 3) (下一步 05 5 3) (下

59、一步 05 05 05) 于是解得 其中x3可任意取值 称为自由未知数 假设令x3c 那么方程组的解可记作 即 其中c为任意常数 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 我们用 表示交换第i个方程与第j个方程的位置 k表示第i个方程乘以k k 表示第j个方程的k倍加到第i个方程上 ()对应的增广矩阵分别为 和 显然 交换B的第1行与第2行即得B1 (2) 对应的增广矩阵分别为 和 显然 把B的第3行乘以即得B2 (2)对应的增广矩阵分别为 和 显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3 在上述消元过程中, 用到三种变换: 一种是交换方程的次序, 一种是以不等于0的数乘某个方程, 一种是一个方程加

60、上另一个方程的k倍. 由于这三种变换都是可逆的, 所以变换前后两个方程是同解的, 这三种变换都是方程的同解变换. 因此最后求得的解是原方程组的全部解. 在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数和常数进行运算, 未知数并未参与运算. 因此, 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换. 把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上, 就得到矩阵的三种初等变换. 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换 (i)对调两行(列)(对调i j两行记作rirj 对调i j两列记作cicj) (ii)以数k0乘某一行(列)中的所有元素(第i行乘k记作rik 第i列乘k记作cik ) (3)把某一