大学物理课件：11-2 平面简谐波的波函数

1、111-2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波动表达式：描述介质中各质点的位移 y 随时间 t 的变化规律 y(x, t )。考虑平面余弦行波在理想无吸收的均匀无限大介质中情形。 平面简谐波（余弦波或正弦波） 平面简谐波传播（平面简谐行波）时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动。任一时刻，各点的振动相位一般不同，位移也不相同。但是据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。故只需研究与波面垂直的任一条波线的传播规律即可。21.平面简谐波的波动表式 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，

2、假定O 点处（x 轴的原点）质点的振动表达式为：则波线上任意点P的振动表达式如何？3振动从O点传波到P点需时间： 因为O 点振动的相位超前于P点，则P 点处质点在时刻t 的位移就等于O点处质点在(t-t ) 时刻的位移： 省去下标P，上式即为波线上任一质点（距原点为x处）在任一瞬时t的位移，即沿x 轴正方向前进的平面简谐波的波动表式。 4沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的表式也可写为: 根据：为方便，引入角波数（或称波矢）5波动表达式的物理意义: 体现波动在时间上和空间上都具有周期性代表x1 处质点在其平衡位置附近作周期为T的简谐振动即x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。振

3、动周期和振幅与波源相同, 相位比原点落后=2x1/=kx1T(波源不一定在原点）6 可以看出，位移 y 随位置 x 而变化，在 x 和x +处振动状态相同，表明波动过程在空间上具有周期性，波长就是波动的空间周期。t 一定：令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数，得 t1 时刻的波形即t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形图7yxo t1 t1+t utu 若 t 和 x 都变化时，波动表达式将表示波线上各个不同质点在不同时刻的位移，反映了波形的传播。沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐振动相位差为：波形向前传播的距离为：x=ut。若已知t1时刻的波形， t1+t时刻的波形可

4、通过沿传播方向平移x得到。8 若平面简谐波沿x 轴负方向传播，仍设O点的振动表达式为：y x o 因为P点处质点的振动要比O点处质点早一段时间，即P点处质点在时刻t的位移等于O点处质点在时刻（t+x/u）的位移，P点相位超前, 所以波动表达式为：911-3 波动方程 波速 对 求x 、t 的二阶偏导数,得到平面波的波动方程 任何平面波可分解为一系列不同频率简谐波，故都满足这一方程。方程中的 u 就是这一平面波的传播速度。一、波动方程10 在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收且各向同性，都适合下式： 代表振动位移将上式化成球坐标的形式，可得球面波的波动方程：球面余弦波的波动表式为： 振幅与

5、距离成反比 11二、波动方程的推导 设固体细长棒的截面为S、密度为 ，有平面纵波沿棒长方向传播体积元ab，其原长为x，体积为V=Sx。某时刻体积元被拉伸，设 a 处位移为y, 胁强为(受力向左)，b 处位移为y+y, 胁强为(受力向右)12体积元所受合力： 体积元质量为S x ，其振速为v，据牛顿第二定律，得：协变杨氏模量因细棒中平面纵波的波动方程变为：13则细长棒中传播的纵波的波速为：其一般解为 ：该波动方程的解为：其中F和为两个任意周期函数。这一解既包含沿x轴正向传播的波，也包含沿x轴负向传播的波。14固体介质中的横波和纵波的传播速度表达式：横波：纵波：柔软细索和弦线中的横波：细索或弦线中

6、张力细索或弦线单位长度的质量G 切变模量演示横波与纵波.PPT三、波速Y 杨氏模量B 体变模量细长棒中的纵波：15 对于理想气体，有 液体和气体中只有体变弹性，只能传播与体变有关的弹性纵波.液体和气体中波速为：M, , R, T 分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，普适气体常数，热力学温度。B 体变模量16浅水波( )深水波( )若不考虑表面张力，当水深为h 时 液体的表面可出现有重力和表面张力所引起的纵波和横波叠加的表面波，其速度计算式为：液体深度波长表面张力系数液体密度重力加速度双曲正切函数17例题1 已知 t = 0 时的波形曲线为，波沿 x 正向传播，在 t = 0.5 s 时波形变为

7、曲线。已知波的周期T 1 s ，试根据图示条件求波动表达式函数和 P 点的振动表达式。（已知 A = 0.01 m）解：波形向前传播的距离：y(cm)x(cm)123456POux取0.01，则波速为：18设坐标原点振动表达式根据初始条件，y(cm)x(cm)123456POu考虑到波的周期T 1 s，若x0.01+l，则T0.4s，不成立。m19波函数P点振动表达式:已知 A = 0.01 m故mmmm208m5m9mCDABux例2 一平面简谐波在介质中以速度 u=20m/s 沿 ox 轴负向直线传播，已知传播路径上某点A的振动表达式为 , 求（1）以A点为坐标原点，写出波动表达式；（2）

8、以距 A点5m处的B点为坐标原点，写出波动表达式；（3）以A点为坐标原点，写出传播方向上点B、点C、点D的振动表达式。21解：因为波沿x轴负向传播，其 波动一般表式为（1）点A的振动表达式为：以A点为原点的波动表达式为（2）B点的相位落后于A点的 相位8m5m9mCDABux原点振动表达式为：mmmm22点B的振动表达式为:则 B点为坐标原点的波动表达式为8m5m9mCDABux（3）以A点为坐标原点，B ，C, D点的振动表达式为mmmmm23例题11-3 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。

9、如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。解：棒中的波速 波长： 24周期：(1)原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m (2)波动表式式中x 以m计，t 以s 计。 (3)离原点10cm处质点的振动表式 式中t 以s 计 25可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或落后 ，即210-5s。 (4)该两点间的距离 ，相应的相位差为 (5)t =0.0021s时的波形为 式中x 以m 计。 26例题11-4 一横波沿一弦线传播。设已知t =0时的波形曲线如下图中的虚线所示。弦上张力为3.6N，线密度为25g/m，求(1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。 t =0u27解 由波形曲线图可看出：(3)由波速公式计算出(2) =40cm；(1) A=0.5cm；(