普通物理学课件：第七章 静电场2

1、第七章 静电场（2）主要内容：二有电介质时的静电场问题（9-4、9-5 、9-6 ） 电介质的极化、电位移矢量、极化电荷、电介质存在时的高斯定理等；一有导体存在时的静电问题 （9-1、 9-2 ） 导体的平衡条件、导体的电荷分布、导体内外的场强、电势的求解问题等；三电容器的电容 （9-3 ） 由电容的定义式 求电容 C ；四. 静电场的能量 （9-3 ） ： 利用公式 求静电场的能量。一. 静电场中的导体 （7-6） 1导体的静电平衡条件及其推论 静电平衡条件： 证明：在导体内任取两点 a 、 b ，将单位正电荷从 a 移到 b ，电场力做功： 推论：导体是个等势体。 导体表面为等势面。导体内

2、场强处处为零（ ） ，导体表面任一点的 都与表面相垂直，导体表面场强的切向分量处处为零（ ）。2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（1）导体内部电荷处处为零，电荷只分布在表面；证明：在导体内任意做一个高斯面 S ，S 面没有净余电荷。 假设S 面内的 a 点有 q ， b 点有 -q ， 这与 相矛盾。故导体内部电荷处处为零，电荷只分布在表面。就必有电力线从 q 发出，终止于 -q ，根据高斯2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（续）（2）导体表面电荷面密度与导体表面曲率有关，对于孤立导体，曲率半径 r 小处 大，r 大处 小； 证明：设有两个半径不同的导体球 ，半径分别为 a 和 b ，用一根长

3、导线将两者相连，小球相当于导体的尖端，大球相当于曲率半径大的一端，两球的电势（两者可看成孤立导体）由于同一导体处处电势相等，即曲率半径 r 小处 大，r 大处 小；即两球所带的电荷面密度分别为 、 。则2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（续）(3) 导体表面附近的 与 的关系： ；高斯： 证明：做一个圆柱面为高斯面 S ，其中一个底面在导体内，一个底面在导体外，两底面与导体表面非常接近，并且互相平行，侧面与导体表面相垂直。又2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（续） 导体表面附近的 与 的关系： ；（4）尖端放电现象 在导体的尖端处 r 很小， 很大，因此， E 很大。强大的 E 使导体尖端附近

4、的空气电离成导体而出现放电的现象。对于孤立导体，曲率半径 r 小处 大，r 大处 小； 夜晚，在高压输电线路附近能看到光晕，就是由尖端放电现象引起的。尖端放电会消耗能量，输电线路要尽量避免。 尖端放电也有有利用的一面，避雷针就是一例。避雷针的作用主要是将放电过程拉长，将能量分散释放，而不会损坏建筑物。 据报道，一次闪电平均电压约 ，电流 ，平均功率为 。闪电时间约为 ，释放能量 。 尖端放电可以在导体尖端附近形成一股风，称为电风。2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（续）（4）导体空腔：若空腔内没有电荷，则内表面不带电，电荷只分布在外表； 若空腔内有 q，则内表面带q，外表面带 （q+Q），(Q

5、为导体空腔所带的净余电荷 )根据高斯 证明：在导体内做一个高斯面 S ，即 所以，若空腔内没有电荷，则内表面不带电，电荷只分布在外表。 同理，若空腔内有 q， 所以，若空腔内有 q，则内表面带q，外表面带（q+Q）， (Q为导体空腔的净余电荷 )。则可否内表面的a、b两点分别有q和 - q ，其和为零？ 不可能。这样与导体是个等势体相矛盾。2静电平衡条件下导体的电荷分布情况（续） b. 将 q 产生的 E 屏蔽在空腔内，外界不受影响，空腔要接地。静电屏蔽：a. 用空腔将仪器、人屏蔽，使之不受 腔外 q 的影响。 例: 两导体薄板彼此平行放置，导体各表面的面积均为 S，带电量分别为 Q1、Q2

6、。求电荷分布情况（设导体板可看作无限大平板）。解：设导体四个表面上电荷密度分别为 。联合解得：又无限大导体平板相对的内表面上带等量异号电荷，外侧则带相同电荷。 由导体内部电荷处处为零和无限大均匀带电平板的电场分布得：A、B 两板内部的场强分别为 、 。各自产生的场强分别为 、 、 、 。 例：半径为 a 的金属球导体A 带电量 q ，把一原来不带电的金属球壳 B 同心地罩在 A 的外面，B 的内、外半径分别为 b 和 c。求（1）A 和 A、B 间的电势；（2）用导线将 a、b 相联又如何？解：（1）由于静电感应，B 的内表面带 - q，外表带 q 。由导体的静电平衡条件得导体 A、B 内的场

7、强为 0 。设四个区域的场强分别为 、 、 、 。在导体 A、B 之间，作半径为 r 高斯面 S ，根据高斯定理同理，在导体 B 之外区域例题（续）求电势 求导体球 A 中 的电势（在A 中 任找一点P，距球心为r）； 也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，在各自球面内所产生的电势之和。三者的半径分别为 a、b、c，带电量为 q、- q、q 。例题（续）求电势 导体球 A 与导体球壳 B 之间一点（到球心为 r，a r b）的电势 也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，各自在场点所产生的电势之和。其中两个（带电量为 q、- q ，半径分别为 b 和 c）的场点是在球面内，一个（带电量为 p）的

8、场点是在球面外 。例题（续） 当用导线将 A、B 相连，则 A、B 变成一个导体，A 为导体之内，电荷 q 只分布在外表面，即 B 的外表面上。( r c )（2）用导线将 a、b 相联又如何？ 在导体球 A 与球壳 B 之间任找一点P，到球心为 r，a r R ）放一点电荷 q，球壳带电荷 Q = ? (设导体球远离地面)解：本问题要注意如下几点： 考虑导体球心处的电势。它是球面上所有的 Q 和点电荷 q 在该处产生的电势之和。（1）接地导体为等势体，并且 V=0 ；（2）电场中的总 V 为所有电荷所提供； （3）导体的电荷只分布在其表面。 球面上的电荷分布并不均匀，但是球面上各 dq 到球

9、心距离皆为 R。球壳带的电荷 Q在球心的点势为点电荷 q 在球心的点势为接地导体的电势 V = 0 ： 二有电介质时的静电场问题（7-8） 1电介质和电介质的极化2极化强度矢量 和极化规律3极化电荷面密度 4电位移的概念，有电介质时的高斯定理6解有电介质（导体）时的静电问题，例题。5 之间的关系主要内容：1电介质和电介质的极化（1）电介质 电介质：其内部没有自由运动的电荷，在静电场中可以认为电介质即绝缘体。 根据其分子电结构，电介质分为两类： a. 无极分子电介质分子的正负电荷中心相重合，无外场作用时，它的分子电偶矩为零（ ）。 由于热运动，分子偶极矩混乱排列，无外场作用，其矢量和为零 b.

10、有极分子电介质分子的正负电荷中心不重合，即使无外场作用，它的分子偶极矩不为零例如， 、 、 等。例如， 、 、 等。1电介质和电介质的极化（续）（1）电介质的极化极化：在外场作用下，电介质出现极化电荷的现象 （不是由电介质极化产生的电荷称自由电荷）。 无极分子在外场作用下，正负电荷有相对移动，其中心不再重合，从而 ，在其表面或内部出现有极化电荷； 对有极分子，其分子偶极矩的在外场作用下发生转向 ，使之有规则排列 在其表面或内部亦有极化电荷出现。2电极化强度矢量和电介质极化的规律（1）电极化强度矢量a. 电极化强度矢量： 单位体积内分子电矩的矢量和。电极化强度矢量是描述电介质被极化程度的物理量。

11、未极化时 ， ， 对于无极分子介质，在外场作用下， 正负电荷分离开，随着外场的增加，正负电荷分开的距离增加，分子的 ， 。 对于有极分子介质 ，在外场作用下， 趋于平行排列的 ，随着外场的增加， 的平行排列程度增加， 。 b. 均匀极化与非均匀极化所以， 是描述介质极化程度的物理量。均匀极化：介质中的极化程度到处的大小、方向都相同。否则为非均匀极化。 非均匀极化 均匀极化( 单位为 )2电极化强度矢量和电介质极化的规律（1）电介质极化的规律 电介质在外场作用下极化，产生极化电荷，极化电荷激发电场 ，总电场为原来的自由电荷所激发的电场 和极化电荷所激发的电场 的矢量和。 实验发现，介质的极化强度

12、矢量 与总场 有关: 其中 称为介质的电极化率， 称为相对介电常数，与介质性质有关。物质水 78 云母 3.77.5 玻璃 510 空气 1物质纸 3.5 真空 1钛酸钡3. 极化电荷面密度沿 方向取一小体元，体积为 按电极化强度的定义，小体元中的分子偶极矩即 可将小体元看成一电偶矩。两底面的电荷 ， 相距为 ，电偶矩大小为两者相等： 证明：一块电介质被均匀极化，电极化强度为 ，极化电荷面密度为 。 电介质被极化后在其表面有电荷。单位表面积的极化电荷称为极化电荷面密度。极化电荷面密度与电极化强度矢量有关，关系为：其中 是电介质表面法向，其方向从介质内部指向外部。3. 极化电荷面密度例如，极化电

13、荷均匀分布极化电荷非均匀分布 极化电荷面密度与电极化强度矢量的关系为：其中 是电介质表面法向，其方向从介质内部指向外部。Pr 例 4 一电介质球被均匀极化，极化强度为 。 求：（1）极化电荷面密度；（2）球面上的极化电荷在球心处的 E 。 取沿着 的方向为 x 轴。在球面上表面法向与 x 轴成 角处 的分布与 轴为对称，且与 有关， 相同处， 相同。上半球面， ， ； 这是一个 非均匀带电球面。下半球面， ， 。解：（1）求极化电荷面密度（2）求球面上的极化电荷在球心处的 E 。 把整个球面看成是一系列圆环所组成，圆心都在 X 轴上。在所对立体角为 的一个小环，在球心的场解： 这是一个 非均匀

14、带电球面。三. 有电介质时的高斯定理 电位移 ( 7-9 ) 1有电介质时高斯定理第八章讨论的真空中静电场的性质：环路定理 （2）高斯定理： （1）将（1）、（2）两式推广到有自由电荷和极化电荷存在时的电场问题。 （1）、（2）两式中的场强和电荷分别变为 有电介质存在时，由于电介质极化，产生极化电荷 ， 也会激发电场 ，总电场为 。 ， 。但极化电荷 是与总电场 有关。因此，在有电介质存在的情况下，如果只知道自由电荷和介质的性质，不可能利用下式子求 E 。 下面找出有电介质存在时的高斯定理另一表达形式。1有电介质时高斯定理下面以一个特例找出有电介质存在时的高斯定理的另一表达形式。作高斯面如图，

15、 设两个无限大带电导体板，其间充满均匀电介质。同样对此高斯面，求 通量：带电导体板的电荷面密度为 ，介质被均匀极化，极化强度为 ，极化电荷面密度为 。由高斯定理：1有电介质时高斯定理（续）或令这是有电介质存在时的高斯定理。由此两式得：得其中 称为电位移矢量。 它表明，静电场中通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。2电位移矢量 、 、 之间的关系 这是电位移、总电场强度、电极化强度三个矢量之间的关系式。电介质存在时的高斯定理。这是电位移矢量和总电场强度之间的关系式。其中 在有电介质存在的情况下，可以利用以上两个式子求 E ：先用有电介质存在时的高斯定理求 D ，再由

16、D 与 E 的关系求 E 。这是解电介质中的静电场问题的关键。式中“ ” 称为介质的介电常数，与介质性质有关。4. 有介质存在情况下场强的计算 例1：两平行导体板间充满一均匀电介质 ，介电常数为 ，两导体板所带电荷分别为 ，板面积为 S 。求介质中的 、 、 。由有电介质存在时的高斯定理解：下底面上底面 作高斯面 S，S 是底面为 的圆柱面。极化强度：极化电荷面密度： 例2：一半径为 a 的导体球，带电为 q ，在它的外面放一同心介质球壳，相对介电常数为 ，内外半径分别为 a 和 b ，介质球壳外为真空。求：（1）电场分布；（2）导体球和电介质内的电势； （3）介质内、外表面的极化电荷。解：

17、（1）求 E 分布。用有电介质时的高斯定理（ r b ) 时，作半径为的 r 球面 S 为高斯面。 ( a r b ) 时，作半径为 r 的球面 S 为高斯面。 例2（续）：（2）求电势导体球内（到球心的距离为 r ）的电势电介质内（到球心的距离为 r）的电势（ r b ) ( a r b ) （a r b ）例2（续）： （3）介质内、外表面的极化电荷。介质中的场强内表面的极化电荷面密度：外表面的极化电荷面密度： ( a r b ) 例3：两个无限长直导体圆筒，半径分别为 a 和 b ，同轴放置。它们之间充满相对介电常数为 的均匀电介质。内、外圆筒均匀带电，单位长度带电分别为 、 。求电介质

18、中的 D、E、P 及其内外表面的 。解：用有电介质时的高斯定理先求 D 。在介质内作半径为 r 长为 l 的圆柱面 S 为高斯面。关于电位移矢量的几点讨论电位移矢量和总电场强度之间的关系式。电介质存在时的高斯定理的表达形式。 （1） 电位移线(a) D 线某点的切向代表场中该点的 D 方向；(b) D 线的稀密与的 D大小成正比；(c) D 线不能相交，也不能相切；(d) D 线由自由正电荷或无穷远发出， 终止于自由负电荷或无穷远。关于电位移矢量的几点讨论（续） （2）通过一个封闭曲面 S 的电位移通量，只与 S 内的自由电荷有关，与 S 内的极化电荷无关。但并不是说 D 只与自由电荷有关，与

19、极化电荷无关。 两个平行带电平面之间没有电介质，D 是均匀场。 两个平行带电平面之间放一球形电介质，电介质被均匀极化。D 是非均匀场，与极化电荷有关。 三. 电容器的电容（7-7 ） 主要掌握如何求一个导体电容器的电容。1 . 孤立导体的的电容 : 使导体每升高单位电势所需之电量。例：一个孤立导体球，半径为R。求它的电容 。 解：令孤立导体球带电 q ，由高斯定理可以求得场强：球内（ r R )2 . 电容器的电容 电容器的电容 ：每升高单位电压所需要的电荷量。 电容器的电容的求解方法 ： 如果电容器的两个极板带电量分别为 Q、 Q，两个极板的电势差为 ，则其电容为（1） 令极板带电 Q、；（

20、）求极板间的电场；（）求极板间的电势差；（）由电容的定义式即可得：例1：平行板电容器。平行板电容器是由两块靠得很近的金属板组成，极板的面积为 S ，极板间距为 d ，两导体板之间是真空，求其电容。（可以将板看成无限大，板间场强是均匀的）解： （1）令两导体板带电 q 、q ，（2）求极板间的场强： 作高斯面 S，S 是底面为 的圆柱面。 极板上的电荷面密度为： （3）求极板间的电势差： 例2：球形电容器 由两个同心导体球壳组成，半径分别为 a 和 b ，两个导体球壳之间为真空。求其电容。（两个导体球壳很薄，可忽路其厚度） 解：（1）令两导体球壳带电 q 、q ， （2）求极板间的场强： 作高斯

21、面 S，S 是半径为 r 的同心球面。 （3）求极板间的电势差： 例：同轴圆柱形电容器 该电容器是由两个同轴圆柱形导体所组成，长为 L，内外半径分别为 a 、 b ，其间充满相对介电常数为 的均匀电介质 。而且 ， 求其电容。（可看成无限长）（2）先求 D 。在介质内作半径为 r长为 l 的圆柱面 S 为高斯面。 解： （1）令两极板带电 q 、q 。单位长度带电为 （3）求极板间的电势差：3. 电介质对电容器的的影响（1）可以使电容 C 增加；球形电容器（极板间为真空）平行板电容器（极板间为真空）圆柱形电容器（极板间充满介相对电常数为 的均匀电介质 ） （2）极板间其间充满均匀的电介质可以

22、增加电容器的耐压能力（与空气相比）。物质 真空 空气 云母 玻璃 纸 钛酸钡 1 1 3.77.5 510 3.5 物质 空气 云母 玻璃 纸 钛酸钡 介电强度 3 80200 513 1640 （KV/mm） 其中 是电容器极板间为真空时的电容。4. 电容器的并联、串联并联电容两端电压相等 有 n 个电容器，电容分别为 、 ，将其并联成一个电容器的电容是并联等效电容器极板上的电量等于每个电容极板上的电量之和。（1）电容器的并联并联等效电容器的电容等于每个电容的电容之和。4. 电容器的并联、串联 串连电容极板上 q 相等，串联等效电容器极板上的电压等于每个电容极板上的电压之和。（2）电容器的串

23、联 有 n 个电容器，电容分别为 、 ，将其串联成一个电容器的电容是 串联等效电容器的电容的倒数等于每个电容的电容的倒数之和。四. 静电场的能量（7-9 ） 1点电荷间的相互作用能 静电场是保守场，可引进势能。 点电荷 相距为 r 时相互作用能为： 可将上面的式子改成下面的形式（先看两个点电荷）。其中 是 在 处产生的电势， 是 在 处产生的电势。其中 是除了 之外，其余所有的电荷在 处激发的电势之和 。多个点电荷：相当于将各个 从无穷远移来克服电场力作功，或将各个 移到无穷远电场力作功。多个（ n个）点电荷：四. 静电场的能量2. 电荷连续分布时的静电能其中 是除了 之外，其余所有的电荷在

24、处激发的电势之和 。多个（ n个）点电荷：与 r 有关。其中 是带电系统形成之后，dq 所在处的电势。而一个导体为等势体，各 dq 的电势相同，这时只对 q 积分即可。 对于一般的带电体，不同的 dq 处， 不相同。例如，均匀带电球，距球心 r 的 dq 处的电势为 上式所表达的是将各 dq 从无穷远处移来时，克服电场力所作的功。包括相互作用能和固有能，称为静电能。 如果只有一个带电体，则是它的固有能（自具能）。电荷连续分布时四. 静电场的能量3. 静电场的能量现在以平行板电容器贮能为例导出静电场能量的重要表达式。 设充电过程的某一瞬时，电容器极板上电荷为 q，再将 dq 从负极移到正极，外力

25、克服电场力作功 两极板上分别带电 时 ，外力作总功：此功以能量的形式贮存在电容器中，成为电容器的静电能。两极板电势差为Q 一定， ； U 一定， 。 3.静电场的能量电容器贮存的静电能静电场中某点的电能密度其中 为电容器内 区间的体积。对于一般的非均匀场，电场能量为：电容器内的能量密度，即单位体积静电能为例：一个半径为 a ，带电量为 q 的导体球的静电能。 解：求电场强度 E 。 电荷 q 只分布在外表面，且外表电势处处相等。 球外，作高斯面 S，S 是半径为 r 的同心球面。 由静电平衡条件得：例：一个半径为 a ，带电量为 q 的导体球的静电能。利用公式 求W。导体球外 导体球内 在导体球外取半径为 r 、厚为 dr 的同心球壳为体元 dV。例：一个半径为 a ，带电量为 q 的