第一课时 等差数列的概念及通项公式

1、第一课时 等差数列的概念及通项公式第1页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六21等差数列第2页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第一课时等差数列的概念及通项公式第3页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六1理解等差数列的概念2掌握等差数列的判定方法3掌握等差数列的通项公式及通项公式的简单应用. 第4页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六1能利用定义判定等差数列，会由等差数列的通项公式求特定项(重点)2利用等差数列解决简单实际问题(难点)3三种题型均可涉及，一般为中低档题. 第5页，共45页，2022年，5月20日，

2、18点24分，星期六第6页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六1数列an的前4项为1,1,3,5，则其一个通项公式为an2n3.2若数列an的通项公式是an5n1，则其前5项依次为6,11,16,21,26，第10项为51.3观察下面的几个数列：(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有22,22.5，23,23.5,24,24.5，；(2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30；(3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为89,83,77,71,65,59,53,47.这几个数列有什么共同的特点？第7页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六

3、1等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与前一项的差是称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的，通常用字母表示2等差数列的通项公式(1)如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是，也可写为anam(nm)d.2同一个常数公差dana1(n1)d第8页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六(2)若通项公式变形为andn(a1d)，当d0时，可把an看做自变量n的函数 ，从而等差数列an的图像为分布于上的一群孤立的点一次一条直线第9页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六答案：D第10页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星

4、期六2数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列答案：A第11页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六3等差数列an中，已知a310，a820，则公差d_.答案：64已知等差数列13、15、17、，那么数列的第1 000项为_答案：2 0115如果数列an满足an1an2(an1)，且a1017，求它的通项公式解析：an1an2(an1)，an1an2.an是公差为2的等差数列，又a1017，a19217，a11，an2n3.第12页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六

5、第13页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六若an是等差数列，a158，a6020，求a75.先由条件求出首项a1和公差d，写出通项公式，再求a75，也可以利用通项公式的变形公式进行求解第14页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第15页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六题后感悟在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 第16页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六

6、1在等差数列an中，已知a470，a21100.(1)求通项公式an；(2)an中有多少项属于区间18,18?第17页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六(2)由题意，得1810n11018，解得9.2n12.8，nN，n10,11,12.属于区间18,18的项有3项，它们是a10，a11，a12.第18页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六已知等差数列an：3,7,11,15，(1)135,4m19(mN)是an中的项吗？并说明理由(2)若am，at(m、tN)是数列an中的项，则2am3at是数列an中的项吗？并说明你的理由首先写出数列的通项公式再判

7、断所给数是否与通项公式相符第19页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六解题过程(1)依题意有a13，d734，an34(n1)4n1.设an4n1135，则n34.所以135是数列an的第34项由于4m194(m5)1，且mN，所以4m19是数列an的第m5项(2)am、at是数列an中的项am4m1，at4t1.2am3at2(4m1)3(4t1)4(2m3t1)1.2m3t1N，2am3at是an中的项第20页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六题后感悟一个数列的通项公式代表了这个数列中所有项的共同特征，因此，已知数列中的某项，则它必符合通项公式，反

8、之，要判断某个数是否为该数列中的项，只要看它能否表示为通项形式 第21页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六2已知等差数列an中，a1533，a61217，判断153是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？解析：方法一：设等差数列的公差为d，则ana1(n1)d.第22页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六解得a123，d4，an23(n1)44n27.令an153，则4n27153，得n45N，153是所给数列的第45项方法二：数列an不是常数列，数列an的通项公式是关于n的一次函数假设153是该数列的第n项，则(15,33)，(61,217)，(n,

9、153)三点共线第23页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第24页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第25页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六策略点睛第26页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第27页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六题后感悟(1)目前证明数列an为等差数列的方法有两种：定义法：an1and(d为常数，n1)an为等差数列或anan1d(d为常数，n2)an为等差数列通项法：ana1(n1)dan是等差数列(2)本题对于an来说是已知递推关系求通项公式的问题，采用了借助

10、等差数列bn进行求解的方法，体现了转化思想的应用，这也是由数列的递推公式求通项公式的基本方法之一 第28页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第29页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第30页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六 某地区2004年年底沙漠面积为9105hm2.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况从2005年开始进行连续5年的观测，并在每年年底将该地区现有沙漠面积比2004年年底沙漠面积增加数(单位：hm2)记录如下表：年份20052006200720082009增加数(hm2)2 0004 0006 0017

11、99910 001第31页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六(1)如果不采取任何措施，到2019年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少？(2)如果从2010年年初开始，采取措施，每年改造8 000hm2，沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8105hm2.由表可看出各年的增加数比上年增加，增加的面积数大约都是2000hm2，因此可利用等差数列来解决第32页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六解题过程(1)从表中数据看，各年沙漠面积增加数量基本相同，即约为2 000hm2.设该地区从2005年开始，现有沙漠面积比2004

12、年年底沙漠面积增加数组成数列an由题意知数列an是首项a12 000，公差d2 000的等差数列，则2019年年底沙漠面积比2004年年底沙漠面积增加数为a152 000142 00030 000故2019年年底这个地区沙漠面积大约为910530 0009.3105(hm2)第33页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第34页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六题后感悟在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决若这组数依次成直线上升或递减，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题

13、 第35页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六4甲虫是行动较快的昆虫之一下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？时间t(s)123？60距离S(cm)9.819.629.449？第36页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六第37页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六1理解等差数列的定义需注意的问题(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项

14、的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻第38页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列2判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)定义法：anan1d(常数)(n2且nN)等价于an是等差数列(2)等差中项法：2anan1an1(n2且nN)等价于an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b为常数，nN)等价

15、于an是等差数列第39页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六3关于等差数列的通项公式的理解等差数列的通项公式为ana1(n1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下几点：(1)确定a1和d是确定通项的一般方法(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一第40页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六(3)等差数列与一次函数的异同点等差数列一次函数解析式anknb(nN)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N，图像是一系列均匀分布的孤立的点(在同一直线上)定义域为R，图像为一条直线相同点其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，都是最简单的、也是最基本的(数列和函数)第41页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六已知数列an，a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式【错解】(1)anan12，anan12(为常数)，an是等差数列(2)由上述可知，an12(n1)2n1.第42页，共45页，2022年，5月20日，18点24分，星期六【错因】忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误事实上，数列an从第2项起，