专题二利用非负数性质解题

1、专题二 利用非负数的性质解题一考点知识：1 初中学过的几种非负数：实数的绝对值是非负数.若 a 是实数，则a0 .实数的偶数次幂是非负数.若 a0 是实数，则 a 2n0 （ n 是正整数） .算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若 a 是二次根式，则a 0; a0.一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程 ax 2bx c0(a0) 有两个实数根，则 b24ac 0 .若 b2 4ac 0( a 0) ， 则二次方程 ax 2 bx c 0有两个实数根 .数轴上， 原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离， 图形中的线段、 面积、体积的量数也都是非负数

2、.2非负数的性质：非负数集合里，有一个最小值，它就是零.如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.有限个非负数的和或积仍是非负数.若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.【例 1】已知 3xy20 ，求 xy 的值？分析：由于ao 所以已知条件可以分成四种情况（分类讨论思想）。讨论：000 000 0 0解：由题意得3x03x0y20 y20 x3 ， y2 ；xy325答 :x y 的值为 5.【例 2】已知2x423y20，求 2x y 的值？1分析：因为 a20 ；所以本题变成了两个非负数相加的形式，和例1 的解题思路相同了。解：由题意得2x40 ； 13y0 ；x1

3、2; y.32xy5.35答: 2x y 的值为.3【例 3】已知32xx2 y0 ，求 x, y 的值？分析：由于a0 ；由例 1 解题思路可解。解：由题意得32x0;x2 y0;x3 ; y3 ;24答： x 的值为3 ； y 的值为3。24结论：由前面三个例子可得到几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。也就是若ab20 ；则有 abc0 。c【例 4】 若 a 122c 1 0 ；b 3a 10a10a1则 (b 3) 20即 b 3 0 b3 .2c102c10c0.5【例 5】求证：方程x43x22x60 没有实数根证明：把方程左边分组配方，得( x42x21) (x22x 1)

4、 4 0即 ( x21)2(x 1)24; ( x21)20 ， ( x1)20 ， ( x21)2(x 1)20 .但右边是 4.不论 x 取什么实数值，等式都不能成立 .方程 x43x22x60 没有实数根 .【例 6】 a 取什么值时，根式(a 2)( a 1)( a 2)(1 a ) 有意义？解：二次根式的被开方数(a2)( a 1) 与 (a2)(1 a ) 都是非负数，且 (a2)( a1) 与 (a2)(1a ) 是互为相反数， ( a 2)( a1)0.（非负数性质2） a20; 或 a1 0。a12, a21,a31.答：当 a2或 a1或 a1 时，原二次根式有意义 .2x

5、2【例 7】要使等式21 x16 8x0 成立， x 的值是 .3x4（ 1991 年泉州市初二数学双基赛题）12x2168x解：要使原等式成立2x0 ，3x40 。x2168xx41,( x40)x4x41 x2 21，且 x40.3（2 1 x)21x3或x 9即3解得x4x40 x3 .答： x 的值是 3.【例 8】当 a, b 取什么实数时， 方程 x22(1a)x3a24ab 4b22 0 有实数根？（ 1987 年全国初中数学联赛题）解：当0 时，方程有实数根.解如下不等式：24 3a24ab4b2202 1 a8a216ab16b28a402a24ab4b22a10a+2b） 2+(a 1)20 ( a2b)20且 a201，得 ( a2b) 2a120只有当 ( a 2b) 20 且 a20不等式和才能同时成立 .1答：当 a1 且 b1时，方程 x22(1a) x 3a24ab 4b220 有实数根 .2练习题：1已知在实数集合里x33x 有意义，则 x_.2要使不等式 a20 成立，实数 a _.13已知a1b2210ab100101，则 , ,ab_.b4.已知 a, b是实数且 ab111b.2化简4a 24ab1a2 b2ab 1 后的值是 .(1990 年泉州市初二数学双基赛题 )5.当 x_.时，3x2有最大值 .（ 1986 年泉州市