确定磁场最小面积

1、确定磁场最小面积的方法电磁场容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而 这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度吃，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度 为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60 角斜向下的匀强电场中，通过了 b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试 求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。图1解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的

2、方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁 场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律 有：咔解得 必过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积， 则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：图2=cos304由得所以圆形匀强磁场的最小面积为：带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动 的合成知识有：s cos30 = at而 朋联立解得T二、参数方法例2.在xOy平面有许多电子(质量为m、电荷量为e)，从坐标原点O不断地以相同的速 率沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于应平面向里，磁

3、感应强 度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求 符合该条件磁场的最小面积。图3解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为 qB的圆。该电 子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上 边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度召时，作出轨迹图4，当电子达到磁场 边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为g ，由图4可知：图42 5 m，消去参数召得：可以看出随着山的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即

4、是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形 面积减去等腰直角三角形面积的2倍。图5带电粒子在磁场中运动之磁场最小围问题剖析近年来在考题中多次出现求磁场的最小围问题，这类题对学生的平面几何知识与物 理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进 入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如 运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类 问题进行分析。一、磁场围为圆形例1 一质量为地、带电量为的粒子以速度从O点沿轴正方向射入磁感强度为占 的一圆形匀强磁

5、场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从占处穿过X轴， 速度方向与“轴正向夹角为30，如图1所示（粒子重力忽略不计）。h试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达右点所经历的时间；（3）点的坐标。解析：（1 ）由题可知，粒子不可能直接由0点经半个圆周偏转到万点，其必在圆周运动 不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到&点。可知，其离开磁场时的临界点与0点都 在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2,过石点逆着速度坨的方向作虚线，与轴相 交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于轴上，距O点距离和到虚线上点】垂直距离相等的1点即为圆周运动的圆心，圆的半径R 00_ =处

6、。弦长口由为：/ =启*要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：2 0# ，瞄5 宛竟面积E 1 丁 2 兄？ / v02 渤（2）粒子运动的圆心角为1200，时间 33 箱刁=新=竺也竺也（3）以距离次，故&点的坐标为（猝，0）。点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临 界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的 直径等于粒子运动轨迹的弦长。二、磁场围为矩形例2 如图3所示，直角坐标系把第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现 虹 v 有一质量为刑，电量为舀的电子从第一象限的某点尹（，&）以初速度沿盂轴的L负方向开

7、始运动，经过*轴上的点口（4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进 入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、显轴重合，电子偏 转后恰好经过坐标原点O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过。点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度吕和磁场的最小面积解析：(1)电子从点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到。点，可知竖直方向：y = L =x = L = vniS 2，水平方向：4。廿=宇 为=杰=手1解得 史 。而。 ，所以电子经过*点时的速度为：，设”与方向的夹角为。，可知 ，所以。= 300。(2)如图4，电子以与一*成30进入第四象限后先沿。相故匀速直线运

8、动，然后进入 匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿轴向上的速度经过O点。可知圆周运动的圆心 一定在X轴上，且夕点到O点的距离与到直线。”上M点(M点即为磁场的边界点) 的垂直距离相等，找出点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下 边界就确定了。，解得，方向垂矩形磁场的长度设偏转半径为 直纸面向里。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关 键要注意矩形磁场边界的确定。，解得，方向垂矩形磁场的长度设偏转半径为 直纸面向里。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关 键要注

9、意矩形磁场边界的确定。三、磁场围为三角形艮，由图知OQ =-L8 ，宽度例3如图5, 一个质量为弛，带电量的粒子在BC边上的M点以速度u垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点(CM=CN)垂真于AC边飞出ABC， 可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布 在一个也是正三角形的区域，且不计粒子的重力。试求：r _#)=?/nn、曰人夕中看出，即(x0，y0)，这是个圆方程，圆心在(0，R)处，圆的4圆弧部分即为磁场区域的下边界。点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和围，磁场下边界 的处理对学生的数理结合能力和分析

10、能力要求较高。由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形 式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的 部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用 数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。2011-2012年高二培优(9)磁场最小面积的确定方法电磁场容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点， 而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。【教你一手】一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v 0，从O点沿y轴 ?+ 正方向射入磁感

11、应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸 面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴 0 正方向的夹角为30，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成 60角斜向下的匀强电场中，通过7b点正下方的c点，如图所示， 粒子的重力不计，试求：圆形匀强磁场区域的最小面积；c点到b点的距离。解析：(1)先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在 磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：八V 2Bqv = m-Rmv 解得R =洞过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场

12、区域的直径，由几何关系知：3mv过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：3mv由得r = 2qB 0r-=cos30R口3兀m2v 2S = Kr 2 =0min4q 2 B 2所以圆形匀强磁场的最小面积为：带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由 运动的合成知识有：s sin30 =vts cos30 =at22qE而a =m4t 3mv 2联立解得s=Eq二、参数方法例2 在xOy平面有许多电子(质量为m、电荷量为e)，从坐标原点O 不断地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如图所

13、示。现加一个 垂直于工。平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过 磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面 积。解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察 速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为R = 二0的圆。该电子沿圆弧o cp运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就 qB是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图， 当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为s3巧，由图可知：x = R sin , y = R - R cos，消去

14、参数得：x = R sin , y = R - R cos，消去参数得：可以看出随看 的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即 是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图所示。则符合条件的磁场最 小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。Smin(11、=2 X nR 2 R 2142)丸一2( mv)I eB )三、带电粒子在磁场中的运动例题例3 在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀 强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区 - 域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力 不计）从O点为以初速度vo沿+

15、x方向进入磁场，已知粒子经过y轴 上p点时速度方向与+y方向夹角为0=30，OP=L求：磁感应强度的大小和方向；该圆形磁场区域的最小面积。解：（1）由左手定则得磁场方向垂直xOy平面向里粒子在磁场中1做弧长为3圆周的匀速圆周运动，如图所示，粒子在Q点飞出磁场设其圆心为O，半径为R 由几何关系有（LR） sin30=R，所以 R=1L 3v 2 一 mv由牛顿第二定律有qvB = m节，故R = B03mv由以上各式得磁感应强度B=0qL（2）设磁场区的最小面积为S 由几何关系得直径OQ所以S=兀=L2 .12四、穿越有界场的轨迹分析例4 如图所示，在y0区域存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指

16、向纸外，磁感应强 度为B，一带正电的粒子从Y轴上的A所以S=兀=L2 .12四、穿越有界场的轨迹分析例4 如图所示，在y0区域存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强 度为B，一带正电的粒子从Y轴上的A点，以速度v0与Y轴负半轴成夹角。射出，进入 磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A点，A点的坐标为(0，a) 试问该粒子的比荷 为多少？从A点射出到再次经过A点共要多少时间？mv 2Bqv =0RR = tan 9cos9解析：几何关系+ 29m( + 29)在磁场中偏转时间t = T =12qB2-9匀速运动的时间12 = CSo联立及分别可得q v cos9粒子的比荷-=BOan

17、O Ba sin 92am( + 29)+ -qB2av cos9v cos29一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示，磁感强度B的方向与离子的运动方向垂直，x x x X并垂直于纸面向里.求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角(9跟t关系是9 = 羿t2m一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中 心的一个圆形区域。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始 运动，初速为V，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上

18、的P点，此时速度 方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求 磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。设在地面上方的真空室存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m,磁感应强度的大小B=0.15T.今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函 数表示).如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ；在乂轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子

19、从坐标原点O 沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s出时的速度v和运动的总路程s(重力不计)。如图所示，在y0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向； 在y0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面) 向外。一电量为如图所示，在y0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向； 在y0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面) 向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y =h处的点P时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴 上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y=2h处的P3点。 不计

20、重力。求(1)电场强度的大小。(2)粒子到达P2时速度的大小和方向。磁感应强度的大小。1解析：()离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。 设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得：v2. .一mvBqv = m 一 ，解得 r =-rBq如图所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以AO =2mvBq(2)当离子到位置P时，圆心角：a = = -!-1 r m因为a = 20，所以0 =。2m2解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r，八 v 2 qvB = m r据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P 点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作 圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地 点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。由图中几何关系得：L=3r3mv由、求得B = qL图中皿的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得R = *解：根据带电质点做匀速直线运动的条件，得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三尸曲个力在同一竖直平面，如右图所示，质点的速度垂直纸面向外.尸二3解法一：由合力为零的条件，可得全mg =pq求得带电质点的电量与质量之比 =1.96C / kg理m因质点带负电，电场方向与电场力方向相反，因而