数列不等式的证明方法

1、数列型不等式的证明数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放效的方法：数学归纳法。1、重要不等式法若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。ab（1）a b 2ab(a,bR); （2） ab (a,bR )222x x x x（3） n x x x (x ,x ,x R)n123nn1212nn2、比较法比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。3、放缩法常用的放缩结论：1111111、 k k ,其中（ 2）k1 k(k 2 k(k

2、k 1 kk111111、;(2n2 (2 2 (2n(2 (2n2 2 (2 2)n nnnnn2212k k 1kk k 1用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前 n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。1例 1、已知函数 f(x)对任意实数 p,q都满足 f(pq) f(p) f(q)，且 f ，33 nN f(n)a nf (n)(nN )T 是其前nT .nnn411分析

3、：不难求得 f(n) ( ) ，于是a n( ) .对于T ，这是一个“差比”数列的和，可以用nn33nn3错位相减法求出T ，然后再与 比较大小.于是有：4n1113( )31T 1( )2( )nn( ) ，23n333131111T 01( ) 2( ) 3( ) n( ) ，234n13333n21 11111两式相减得： T ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) ，234nn133 33333n13 32n 13化简得T ( ) ，显然有T .n4434nn高考数列不等式证明一般用此法的较多，对此法往往又有以下几个具体情况。进而进行求和证明；或变形出能使用重要不等式法的结构，使题

4、目便于证明。的不等关系。缩的目的。、先分组在放缩比较 例 a 满足a a na 1,n 1,2, a 2a ,a ,a ，2n1nn1234n并由此猜想出a a 3时，证明对所有的 1，有（）a n2；nn1n1111（） .1a 21a 1a12na a (a n)1a n2可知a 2a 1，n1nnnn1n11 111从而1a 2(a 1)， ，1a2 1a1a 2n1nn1n1n111( )n11111 1 2 2211212于是 ) .11a 1a1a 1a2n1 1a1a 2112n1112说明：对于一些复杂的数列不等式，考虑将每一项进行确当的放大或缩小是一种常见的方法，11放缩。请

5、你思考一下，直接由a n2得，能证明这个问题吗1a n3nn a 2a (1) ,n1例 a ns sn的nnnnn1 1 a a a1 7 ,a ,aam4a.8123n45m21,a 0,a 2,a 2 (1) a2nn3123n 23 n且 an41131132 23 2 23 1 (2 21n1n2n1n2a a () )，2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 222n32n1n2n12n3n1n2n2nn111 1 a a111 1 ( ) (a a114 m )a且 maaa45m456m1m1 3 1 1 ( 2 2 2 211 3) 2 811 3 7) 2 8 8；2m22m4341 1 a a11 1 a a a11784 m