1.3条件概率与全公式

1、1.3 条件概率 例如 在10个产品中有7个正品,3个次品,按不放回抽样,每次一个,抽取两次,已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。解 设第一次取到次品为事件A,第二次又取到次品为事件B,记所求概率为P(B|A),则条件概率与乘法公式1.3定义 设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式; (2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.称 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为条件概率也是概率, 故具有概率的性质： 非负性 归一性 可列可加性 例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和

2、不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 设A=掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出6点。应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算例2: 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解:设A=能活20年以上, B=能活25年以，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，所求为P(B|A) 。利用条件概率求积事件的概率即乘法公式推广乘法公式解:例 3: 一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。 设Ai =第i次取到正品,

3、i=1,2,3。 A=第三次才取到正品。 则:解:例4: 某人忘记电话号码最后一位，因而任意的按最后一个数，求（1）不超过4次能打通电话的概率；（2）若最后一位是偶数，则不超过三次能拨通的概率是多少？设Ai=第i次能拨通电话, i=1,2,3,4，（1）设A=不超过4次能拨通电话, 则:（2）设B=最后一位是偶数，不超过3次能拨通电话, 则:解:例5: 袋内有n个球，其中n-1个白球，1个红球，n个人依次从袋中各随机的取一球，取后不放回，求第i个人取到红球的概率。设Ai=第i个人取到红球,i=1,2,n，则:例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个

4、, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.解 令 Ai 为第 i 次取到一等品（1）例3(3)提问：第三次才取得一等品的概率, 是（2）直接解更简单（2）(4)条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时

5、至少有一个报警设备有效的概率.设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知求解例4解由即故解法二 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 全概率公式和贝叶斯公式例5 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？解 设A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品, =(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9)=6/15例6: 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱

6、装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。解：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球。即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥。B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15。 设A1,A2,An是两两互斥的事

7、件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组。则对任一事件B，有全概率公式:在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有 之和计算P(B)。由上式不难看出:“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率 之和。它的理论和实用意义在于: 某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概

8、率公式。我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系 。A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果证明 例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。 设B=飞机被击落， Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3。 由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |

9、A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则 B=A1B+A2B+A3B，解:依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。可求得 为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3。 将数据代入计算，得P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3)=0.458， =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458。练习 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲

10、厂是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2%,2%,4%,求市场上该种商品的次品率. 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:=0.025即市场上该种商品的次品率为 2.5%.解该球取自哪号箱的可能性大些?实际中还有下面一类问题已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。 某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球, 求该球是取自1

11、号箱的概率。1231红4白或者问:接下来我们介绍解决这类问题的贝叶斯公式 有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 。1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。 记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球。求P(A1|B)。运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白? 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发

12、生的每个原因的概率。贝叶斯公式： 设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 例 8: 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”. 求解如下:设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，求P(C|A)。已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95

13、, 现在来分析一下结果的意义由贝叶斯公式，得 代入数据， 计算得 P(CA)= 0.1066。 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066 。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。从0.005增加到0.1066, 将近增加约21倍。1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P

14、(CA)=0.1066。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认。 贝叶斯公式在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息(知道B发生), 人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8

15、;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。 求:所用的枪是校准过的概率。 设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过, B2=使用的枪未校准,则B1,B2是一个划分,由贝叶斯公式解:例9解:例 10: 一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的概率各为多少? 设A=螺钉是次品, B1=螺钉由1号机器生产, B2=螺钉由2号机器生产,B3=螺钉由3号机器生产。则:由贝叶斯公式，得同理,P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。例11 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号“ ”