最短路径问题课件

1、八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短温故知新 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？ 垂线段最短张村河流泵站 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求ABlP为什么？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得P

2、A+前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA精通数学、物理学

3、的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马 问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 BAl这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ BAl（1）从A

4、 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； 追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图） lABCC追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（3）现在的如果点A、B在直线l的异侧时联想：lABC如果点A、B在直线l的异侧时联想：lABC思考：能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？ 分析：lABClABC如何将B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度

5、相等？ BlA思考：分析：lABClABC如何将B“移”到l 的另一侧作法及思路分析1.作点B关于直线 l 的对称点B ，连接CB。，问题可以转化为：当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.lABCB 2.由上步可知AC+CB=AC +CB，思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB最短？作法及思路分析，问题可以转化为：当点C在直线 l 的什么位置lABCBC根据前面的分析，我们认为的最短路径是AC+CB=AC+C B= AB你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在

6、直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短lABCBC根据前面的分析，我们认为的你能用所学的知识证若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 BlABCC证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 若直线l 上任意一点（与点BlABC

7、C证明回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ BlABCC轴对称1、化同侧为异侧2、化折为直 两点之间,线段最短回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A. 草 地小 河A问题：请你确定这一过程的最短路径.变式练习1草 地小 河A问题：请如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?l1l2AMNAA转化为数学问题如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点l1l2走A-M- N 路线最短. MNAAAl1l2走A-M- N 路线最短. MNAAAABPQlMN变式练习2如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线