经济应用数学 经济应用数学微积分

1、PAGE PAGE 37经济应用数学微积分部分习题解答（参参考）习题一（P377）1设函数 求：f(0) ， f(-11) ， f() ，f(a+1)解：分析：即求求当x为0，-1，（aa+1）时的的函数值。 f(0) = = -1 ; f(-1) = = f() = ; f(aa+1) = 3.下列各组函函数是否表示示相同的函数数？为什么？ （1）y= lg 与 y= 2lgx (22)y = 1 与 y = sinx + cosx (3) y= 与 y = x+1 (4) y = -xx 与y = -x解：分析：相同同函数的条件件是D与f相同。（定定义域与对应应规则）（1）不同，DD不同

2、（2）相同同 定义域与对对应法则相同同（3）不同，DD不同 （4）不同 对应法则不不同（当x= -1，对对应y不同）4求下列函数数的定义域： （1） yy= (22) y= (3) y= lg (4) y= lgg lg(xx+1) (5) y= arcsiin (66) y= tan(22x+1) (2xx+1) 解：求定义域域应记住：分母0 a0 x0 三角函数的的限制。 y= 解D: x0 或(-)（2）y= (4)lgg lg (x+1)解: D:-1x1 解: D:(0,+)(3) y= lg (5) yy= arcsiin 解: D:-2,1 解: DD:-1,3(6) y = t

3、an(22x+1)解:2x+1 D: x5判断下列函函数的奇偶性性。（1） f(xx) = (33)f(x) = lgg (x+ 解:f(-x) = =f(xx) 解:f(-x) = lgg(-x+ f(x)是偶偶函数。 =llg =llg=lg(x+ = -lg(x+) = -f(x) f(x)是奇奇函数。(4) f(xx) =xee 解: f(-xx)= -xx e f(x) 也也-f(x) f(x)是非非奇非偶函数数。(5) f(xx) = llog解:f(-x)=log 分析析：判断奇偶偶函数= log（ （1）f(-x)=ff(x), f(x)是是偶函数 = -llog (2) f(

4、-x)= -f(x), ff(x)是奇奇函数 = -ff(x) 否则非奇非偶偶。 f(x)是奇奇函数。（6）设f(xx) = 求 f(0)， f(-1)， f (1) ，ff(-2) ，f(2)，并作出函函数图像。解：分析：求分分段函数的函函数值D先确定x0的所属的区间从向向确定其解析析式尔后代之，作图需分段作作图。0 -1x1 -1 x-1 f(0) = 0 =00f(-1) = (-1)+2 =11 , ff(1) = 1 =11 f(-2) = (-22)+2 =0 , ff(2) = 2-2 =0 7设f(x) = 求 f ,解：分析：视ff中的为中间变变量代替f(x)中的变变量x而成

5、。 f=; = 10求下列函函数的反函数数（3） y = 2x+11 (4) yy = 1-lg (xx+2)解: x = 解: lgg(x+2)=1-y xx = x+2 = 110 即 y = x = 10-2 即 yy = 100-214下列变量量中哪些是无无穷小，哪些些是无穷大（在在指定的变化化过程）分析：在指定变变化过程中，变变量0是无穷小小。变量 是无穷大大。（1）x+2xx (x0) (2) (x0)解: 当x00， x+2x0 解: 当x0，2x+11， x0 是无无穷小。 是无穷大大。 (当x00， x无穷小， x是无穷小小)(3) (-11) (nn) (4) (n)解:当

6、n时时(-1)是是有界量 解法一： 是无穷小小量。 =0+0 =0是无穷小。 是无穷小。（5）e (xx0+)解: x0+ , , ee 是无穷大.( x0+)(6) e (x0-)解: x0- , , ee 是无穷穷小.( x0-)(7) lg x (x0+)解: x0+ , lgg x , 是无穷大.( x0+)(8) (x1)解: x1 , x-10 , 是无穷大.( x1)(9) (x)解: , 是有有界量, x时, 是无穷穷小, 0是无穷小小.( x)(10) 2 (x+)解: x+, 2+ 是无穷大大.( x+)15.求下列极极限.(1) 解: 连续函数数= 2(-22)2+5(-

7、2)-1=-3(2) (122) 解: 分析:分分子.分母极极限均存在,可用法法则 解:原式= = =0 =11 (3) (13)解: 解:原式= = = =2 = 1-(4) (14) 解 解: 原式= = 分析:无穷小的的倒数是无穷穷大.(11)解:分析:分子子、分母同除除以n50=16.设函数ff(x) 解：本题的解解法可参照书书中P13 例3 （1）当当x0 左极限右极限限 f(x)极限不存在在. (当xx0) (22) 当x1 左极限右极限限f(1)=2 当x1时f(x)的极极限为2 (33) 当x 18. (1)解法1: 原式式= 解法2: 原式= = = = = = = = =

8、= 解法3: “用用洛必达” (3) 原式= 解: 原式= = = = = 0 = = （2）解法1: 原式式= 解法22:可用等价价无穷小解之之= 原式= = = (4) (55) 解: 解: 原式= (当x0 arctaanxx) = (6) 解: 原式= = = 1-1 = 019.求下列极极限(1) (2) 解: 原式 = 解: 原式 = = e6 = ee(3) (44) 解: 原式= 解: 原式= = = (5) 解: 原式 = = 20.求下列函函数的间断点点并指出其类类型。 (1) y = (2) y = xx sin解: 解: (无穷小小x有界量) x = -11是无穷间断断

9、点 = 0 是第二二类间断点 x = 0是第一一类间断点为为可去间断点点(3) y = (4) yy = (11+x)解: 解:x = 5是可可去间断点 x = 0是第第一类间断点点，可去间断断点第一类间断点 (5) y = (6) y = 解: 解:= x = 00是第一类可可去间断点= -2 但x=k (k=1 , 2)x = 1是第第一类可去间间断点 时 llim y不不存在 x=k (kk=1 , 2)= 时是第二二类无穷间断断点x = 2是第第二类无穷间间断点23下列函数数在x=0是否连连续？为什么么？(1) f(xx) 解: 但 ff(0)=00 f(x) 在x=0不不连续.(2)

10、 f(xx) 解: f(xx) 在x=0连连续.(3) f(xx) 解: f(xx) 在x=0连连续.24.求下列函函数的极限。 (1) (22) 解: 原式 = 解解: 原式 = x-1, ccos(1+x)1(3) x-1 ,coot(1+xx) 解: 原式 = (5) (6) 解原式： 解原式式： = = = =27某厂生产产产品10000t，定价为1130元/tt，当售出量量不超过7000t时，按原定定价出售，超超过700tt的部分按原原价的九折销销售，试将销销售收入表示示成销售量的的函数。解：设销售收入入为R元，销售量量为q吨(t)则700t1130元/tt=910000R= 习题二

11、 (PP61) 1.根据导数数的定义，求求下列函数的的导数. （1） y = 解: ; (3)设f(xx)=coss x, 求解: , , 3求下列函数数的导数。 （1）f(x) = 2 求解: (2) ff(x) = , 求 解:(3) f(xx) = , 求 解:(4) f(xx)= , 求 解: 4. 求下列列函数的导数数。 (1) yy = 3xx2-x+7 (2) yy = 5(2x-5)(x-8)解: 解:= 6x-1+0 = 6x-1 =52(x-8)+2x-5 =5(4xx-21)(3) y = (4) y = 解: 解: = = （5）y = 解法1: y = 解法法2: =

12、 = - = = = = = = （6） y = (7) y = 解:y = 解: = = = (8) y = 解: = = = (9) y = (111) y = 解: 解: = = = =(10) y = (12) y = 解: 解: = = = =6. 求下列函函数的导数。 (1) y = (33) y = 解: 解: = =(7) y = (10) y = ln ( ln x )解: 解: = = =7. 求隐函数数的导数. ( 指 )(1) （3） 解:原方程两边边对x求导 解:两边取取对数 两边求求导 9.求高阶导数数.(1) y = ln(11+x) 求 (33) 求 解: 解解

13、: 由不不完全归纳法法的 10.求下列函函数的微分.(1) y = (4) yy = 解: 解: = 11.利用微分分求近似值.解:分析:近似似公式: (1) (2) 解:设 解:设 =1.02 =11-0.0002=0.9998 习题三（P922）3利用洛必达达法则求下列列极限。 (2) (4) 解：原式= 解：原原式= = = = =(6) *(14)解：原式= 解：设 y = = = 则 = = = 4.求下列函数数的单调区间. (1) y = x（0，100） 100（100，+） + 0 f 解 : D: x0 , (x-100) 即 X100 函数在 ( 0 , 1100) 在 (

14、1100 , +) 5.证明下列列不等式. (1) 当0 x时, xsinn xx x证明: 当0 x0 证: ssin x x设f(x)=xx-sinxx 令gg(x)=(x)=1-ccosx 0 x0 , ff(x)=xx-sinxxf(0)=0 对对于x0 , tannxx x siinx gg(x) 在在 (0 , ) 即 xg() 两g()= g(x) 0 即 即sinnxx的证6求下列函数数的极值。（1） x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+) + +f极大 极小解 : =6（x-33）(x+11)驻点： x=3 xx= -1 函数的的极大值为ff（-1）=177 函数的的极小

15、值为ff（3）= -477求下列函数数在所给区间间上的最大值值和最小值。 解：分析：不必列表，只只须将可纯的的极值点的极极值与端点值值比较之求极。 （2）y=, x-2,22 解： x=0 xx=1 ， ， ， ， 比较之 ， ， 12某商品的的总成本函数数为C=10000+3QQ，需求函数数Q= -1100P+11000，其其中P为商品品单价，求能能使利润最大大的P值。解：L=R-CC , R=Pq L=RR-C=P(-100PP+10000)-10000+3(-100PP+10000) = -1000P2+13000P-40000 L=13000-200PP 令LL=0 P=6.55答：能

16、使利润最最大的P值是是6.5。 17.确定定下列函数图图形的凸向区区间和拐点。 （1） y = x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +00+y拐拐 解： 令 x=1 图形下下凸区间为 (-,-1) ，(1,+) 上凸区间间为 (-11,1) 拐点是（-1，-100）， （11， -100）18求下列曲曲线的渐近线线。 (1) yy = (2) y = 解： 解： x= -2是yy的铅垂渐近近线。 y = 0是是曲线的水平平渐近线。 y=1为为曲线的水平平渐近线 XX=0和x= -为曲线线的铅垂渐近近线。19.按照作图图步骤，描绘绘下列函数的的图象。 解：函数数作图步骤：求出函数的的定义

17、域考查函数的的奇偶性，周周期性。求出方程=00的根，列表表判别函数的的升降区间及及极值点求出方程=00的根，列表表确定函数凸凸凹性与拐点点求出函数的的渐近线计算几个点点的函数值，画画出图形。(1) y = x+ 解：函数定定义域为（-，0）（0，+），f(xx)为奇函数数，无周期性性。 , =00 x=1 无零零点 x0 , x00 X=0处 ff , 均不不存在x(-，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+ ) + + +f-22 , a= , bb=x=0为铅垂渐渐近线,无水水平渐近线。 y=x为斜斜渐近线。 习题四1求解下列问问题：（1）已知曲线线上任一点切切线的斜率为为3x，且该

18、该曲线过点（11，1）求此此曲线方程。解：分析；若所所求曲线方程程为y=f（xx），则已知知f（x）=33x即已知f（xx）=3x，求求f（x）用用方法。=x+c 即即y=x+c 过（1，1）点点 ，1=1+c c= 所求曲线方程程为y=x，即3 x2y11=02求不定积分分（1） （2）解：原式=+ 解：原式式= =2+x+cc =3+c（3） （44）解：原式= 解：原原式= = = = =（5） （6）解：原式= 解：原式= = =（7） （8）解：原式= 解：原式式= = = = =3求不定积分分（1） （2）解：分析用凑微微法 解：方法同同（1）原式= 原式= （=） = （=） =

19、4求不定积分分（1） （22）（第二换元法）解：原式= 解解：令 = = 原式= = = =5求下列不定定积分（分部部积分公式）（1） （2）解：形式，用分分部积分法 解：原原式=原式= = （第二次用用公式）= = =（3） （4）解：原式= 解：原式= = = = = = =*8求下列微微分方程的通通解和满足条条件（初始）的的特解（1）解：分函变量： 两边积分 （2） , 解： 习题五1不计算积分分，比较下列列各组积分值值大小（1）与 （22）与解：根据定积分分性质与（1） （2）当 2估计下列积积分值的大小小：（1）解：根据积分性性质6，而在1，4 （2）解： 3求下列函数数的导数（1）

20、 （2）解：依据定理55.1 （1）= （22） （3） （44）解： 解： = =4求下列极限限（1） （2）解：原式 解解：原式= = = =0 =（有界量无穷穷小量=无穷穷小） （二二次用洛必达达法则）5求函数在区区间-1，55上的最大大值和最小值值解：令 x=0 ， x=4 为驻点又， ， 上最大值为，最最小值为6计算下列定定积分（1） （22）解：原式= 解：原式= = = = =（4） （5）解：原式= 解：是奇函数，原式式=0 = =57计算下列定积积分（1） （2）解：原式= 解解：令 = = = = = = =8利用函数的的奇偶性计算算定积分（1） （2）解：原式 解：原式式

21、=0 =9计算下列定定积分（分部部积分法）（1） （2）解：原式= 解：原式= = = = = = =10计算下列列广义积分（1） （22）解：原式= 解：原式= = = = =00+1=1 11求下列各各题中平面图图形的面积（1）由曲线与与围成的图形形解： 交点坐坐标为（1，11）（-1，11）12某产品产产量为Q单位位时，边际成成本为C（Q）=880（元/单单位），固定成本为为C（0）5500元，求求生产1000个单位产品品时的总成本本和平均成本本。解： C（00）=5000 若生产100个个单位产品时时的总成本是是8500元元/单位，平平均成本量885元/单位位。13某投资总总额为100

22、0万元，在110年中每年年可获收益225万元，年年利率为5%，试求（1）该投资的的纯收入贴现值值，（2）回收该项项投资的时间。解：（1） = 贴现值为回收投资时间为为（2） 习题六1求下列函数数的定义域，并并用联立不等等式表示（1） （2）解： 解：解得：2求下列函数数的极限（1）（解法依依据定义6.3）解：原式= =22+4 =66（2）解：原式=3讨论下列函函数的连续性性 解：分析：由于于y与x同阶阶时分子、分分母同阶，所所以可选用路路线加以讨论。由于K的不同可可以解得不同同的极限值，原极限不存在 Z在（0，00）不连续。4求下列函数数的偏导数（1）解：分析P1660，对于求求关于x的偏偏导，只需将将y视为常量量，对x求导导；求关于yy的偏导，只只需将x视为为常量，对yy求导即可。解： （2）解：数学（微积分）在在经济问题中中的应用一、经济问题中中常见函数1需求函数、供供给函数、成成本函数、收收入函数、利利润函数。习题一2633126设某商品品的销售收入入R是销售量量Q的二次函函数，已知QQ=0，2，44时，相应地地R=0，66，8 试确确定