集合中含参数问题的分类讨论

1、集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了， 第一章集合的学习也已经结束 . 有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助 .对于两个集合 A 与 B， A 或 B 中含有待确定的参数（字母） ，若 A? B 或 A=B，则集合 B 中的元素与集合 A 中的元素具有“包含关系” ，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法 .（1）分类讨论是指：A? B 在未指明集合 A 非空时，应分 A=?和 A?两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由 A? B 或 A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情

2、况可能有多种，因此需要分类讨论 .（2）数形结合是指： 对 A=?这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来， 分清实心点与空心圈， 确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来 .（3）解决集合中含有参数问题时， 最后结果要注意验证 . 验证是指： 分类讨论求得的参数的值， 还需代入原集合中看是否满足互异性； 所求参数能否取到端点值 .根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类， 一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的 .下面通过具体例子作进一步分析：例 1：已知集合 A=x|x 2-3x-10 0（1）若 B? A，B=x|m+1 x2m-

3、1，m为常数 ，求实数 m的取值范围；（2）若 A? B，B=x|m-6 x2m-1，m为常数 ，求实数 m的取值范围；（3）若 A=B，B=x|m-6 x 2m-1， m为常数 ，求实数 m的取值范围 .解析：（1）B? A说明 B 是 A 的子集，即集合 B 中元素都在集合 A 中，注意 B 是 ?的情况 .由 A=x|x 2 -3x-10 0 ，得 A=x|-2 x5因为 B? A，所以当 B=?时，则 m+12m-1，即 m2，此时满足 B? A当 B?时，则如图1-2m+12m-15x?+ 1 2?- 1所以 -2 ?+ 1，解得 2 m 32?- 1 5由 得， m3（2）A? B

4、 且 A 不是 ?，说明 A 是 B 的子集，注意此时B 不是 ?.2?-1 ?- 6若，依题意有 ?-6 -2, 解得A ? B2? -1 5? -5 ? 4 ，故 3m4 ? 3（3）A=B说明两集合元素完全相同.若 A=B，则必有 ?- 6 = -2 ，此方程无解2?- 1= 5即不存在使得 A=B的 m值.点评：解决“ A? B”或“ A? B 且 B?”的相关问题时，一定要分A=?和 A?两种情况进行讨论，其中A=?的情况容易被或略，应引起足够的重视.变式练习： 1. A=x|2a xa+3 ，B=x|x -1 或 x5 ，若 AB=，则 a 的取值范围为.解：由 AB=?得若 A=

5、?, 则 2a a+3，因此 a3；若 A?，则如图2-12aa+35x2?-1所以 ?+ 3 5 ，解得 - 1 a222? ?+ 3综上所述， a 的取值范围为 a| - 1a2 或 a32已知 A=x|x -2 或 x 3 ，B=x|a x2a-1 ，若 B? A，求实数 a 的取值范围 .解：因为 B? A，所以 B 的可能情况有 B ?和 B?两种当 B?时，因为 B? A所以 ? 31或2?- 1 -2? 2?-?2?- 1解得 a3当 B ?时，由 a 2a-1 ，得 a1综上可知，实数 a 的取值范围是 a|a 1 或 a3例 2：已知集合 A=x|x 2 -3x+2=0 ，B

6、=x|x 2-ax+a-1=0 ，C=x|x 2 -mx+2=0，且 AB=A，AC=C，求 a 与 m的值或取值范围 .解析：由已知条件可得， A=1，2 ，B=x|(x-1)x-(a-1)=0因为 AB=A，所以 B? A又因为 1B，所以 B?，则 a-1 A所以 a-1=1 或 a-1=2解得 a=2 或 a=3因为 AC=C，所以 C? A因此集合 C 有以下三种情况2的判别式20，解得 -2 2 ? 22当 C=?时，方程 x -mx+2=0=m-82当 C 为单元素集合时，=m-8=0 ，解得 m=-2 2或 m=223若 m=-2 2，则 C= - 2 ，不满足 C? A；若

7、m=22，则 C= 2 ，不满足 C? A；当 C 为双元素集合时， C=1，2即 1， 2 是关于 x 的方程 x2-mx+2=0的两根，所以 m=3代回方程检验， m=3符合题意综上所述， a=2 或 a=3； -2 2 ? 22或 m=3.点评：在集合的关系中，若集合 B 为双元素集，且 A? B，则可对集合 A 按元素的个数分为三类， 即 A 为?，A为单元素集， A 为双元素集 . 若 B 为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.变式练习： 1. 已知 A=x|x 2-2x-8=0 ， B=x|x 2+ax+a2-12=0 ，若 B A A，求实数 a 的取值范围 .解：若

8、，则 B? A因为 A=x|x 2-2x-8=0=-2，4所以集合 B 有以下三种情况：当 B=?时，=a2-4(a 2-12)16所以 a-4 或 a4当 B 是单元素集合时，=0，即 a=-4 或 a=4若 a=-4，则 B=2 ，不满足 B? A 若 a=4，则 B=-2 ，满足 B? A当 B 是双元素集合时， B=-2 ，4 ，即 -2 ，4 是关于 x 的方程 x2+ax+a2-12=0的两根-? = -2+ 4，解得 a=-2所以 2?- 12= -2 4综上，当 BA=A时， a 的取值范围为 a| a-4或 a=-2 或 a4所以，当 BAA 时， a 的取值范围是 a|-4a4，且 a-2已知集合 A=x|x 2-ax+a 2 -19=0 ，集合 B=x|x 2 -5x+6=0 ，是否存在实数 a，使得集合 A，B 同时满足下列三个条件：4AB；AB=B；? (AB)；若存在，求出这样的实数a 的值；若不存在，请说明理由.解：由已知条件可得B=2，3 ，因为 AB=B，且 A B，所以 A? B又因为 A?，所以 A=2 或 A=3