微积分基本定理

1、微积分基本定理牛顿（1642. 12. 251727. 3. 20）生平简介牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头 脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。 牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都

2、有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄傲，让我们为之欢呼吧！”莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育。1661

3、年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年5月获学士学位；1664年1月获哲学硕士学位；1667年2月，获法学博士学位。莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果 遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解 剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著名。莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他的工作领 域是广泛的，他的业余活动的范围是庞大的。1716年他无声无息的 死去。直到1793年，汉诺威人才为他建了一座纪念碑；1883年，在 莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕象。莱布尼兹（1646. 7. 11716. 11. 14）生平简介1定

4、积分的概念(1)定积分的定义和相关概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，基础知识梳理，n)，作和式 ，当n时，上述和式无限接近 ，这个 叫做函数f(x)在区间a，b上的定基础知识梳理某个常数常数积分，记作 ，即 基础知识梳理a与ba，b函数f(x)x基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理解：xyf(x)=sinx1-1若 是奇函数，则若 是偶函数，则a-a定积分的几何意义-aa补充规定：abxx+dx无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。可推广至有限个函数的代数和的情

5、形。bcaacb（3）、定积分的基本性质若则其中 是 的最小值， 是 的最大值。设 在 上连续，则在 上至少有一点使（定积分之中值定理）定积分的基本性质基础知识梳理F(b)F(a).微积分中常用的计算公式答案：A三基能力强化三基能力强化答案：B三基能力强化答案：D三基能力强化答案：1三基能力强化求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满足F(x)f(x)正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系课堂互动讲练考点一求已知函数的定积分课堂互动讲练例1【思路点拨】(1)(2)先利用定积分的性质将被积函数化简再求(3)先化简，再求定积分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动

6、讲练【规律总结】计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值课堂互动讲练1分段函数的定积分(1)分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细课堂互动讲练考点二求分段函数的定积分课堂互动讲练课堂互动讲练例2【思路点拨】(1)f(x)在0,5上的定积分，可按照f(x

7、)的分段标准，分成0,1，(1,4，(4,5三段的定积分的和；课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【点评】分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可课堂互动讲练利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值课堂互动讲练考点三定积分的几何意义课堂互动讲练例3利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(2)yx2，xy2.【思路点拨】先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿莱布尼兹公式计算课堂互动讲练(2)曲线所围成的平面区

8、域如图(2)所示：SA1A2.课堂互动讲练课堂互动讲练求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积. 【分析】先求出抛物线y2=2x与直线y=4-x的交点,将积分区间确定,再求定积分. y2=2x y=4-x解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4). 解法一:选x作为积分变量, 由图可看出S=A1+A2,【解析】由方程组在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y= ,下半支方程为y=- ，所以 = = , = =于是：S= =18.解法二：选y作积分变量，将曲线方程写为x= 及x=4-y.S=30-12=18. 【评析】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大概图形,然后

9、根据图形的特点,选择相应的积分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式,再进行求解.【训练】如图，函数y=f(x)在区间a，b上，则阴影部分的面积S为( )(A) f(x)dx(B) f(x)dx f(x)dx (C) f(x)dx f(x)dx(D) f(x)dx+ f(x)dx 【解析】选D.由图可知，在a，c上，f(x)0；在c，b上，f(x)0，所以函数y=f(x)在区间a，b上的阴影部分的面积S=- f(x)dx+ f(x)dx，故选D.课堂互动讲练利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求课堂互动讲练考点四定积分在物理中的应用课堂互动讲练例4【思路点拨】从图上可以看出物体在0t1时做加速运动，1t3时做匀速运动，3t6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0t6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段