经济数学第二章极限与连续

1、经济数学第二章极限与连续第1页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2、数列极限的定性描述一个确定的常数A,增大时的极限， 收敛于a或称数列 记为或则称常数A为数列当n无限若当n无限增大时,或称数列发散则称数列 的极限不存在，第2页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 C=C（常数列的极限就是这 个常数） 设a0，则特别地 设q(-1，1)，则 qn=0； 或 不存在。几个常用极限第3页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2.1.3函数的极限自变量变化过程的六种形式:沿x轴的正向与负向同时无限远离原点沿x轴的正向无限远离原点沿x轴的负向

2、无限远离原点x从x0点的左侧趋向于x0 x从x0点的右侧趋向于x0 x从x0点的两侧趋向于x0第4页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二函数极限主要讲两个内容:1、自变量趋于无穷大时函数的极限2、自变量趋于有限值时函数的极限第5页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二1、自变量趋于无穷大时函数的极限 直观定义: 设 在 ( )时有定义,若 无限增大时, 无限趋近于确定常数A ,则称 时, 以A为极限,记为第6页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二由极限的直观定义可知所以f（x）=的极限是0记为：例：当 时，研究f（x）= 的极限。第7页

3、，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二直观定义: 设函数 在点 的某一邻域内有定义(点 可以除外),若 以任意方式趋近于 时, 无限趋近于确定常数 ,则称 时, 以 为极限.记为2、自变量趋于有限值时函数的极限第8页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二函数的左右极限的定义函数的左右极限统称为单侧极限记作：记作：第9页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二函数的左右极限的定义定理：第10页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 结合图示法 .因为 显然所以不存在 .第11

4、页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二讨论分段函数在分段点处的极限时，当分段点两侧函数表达式不同时，要用左右极限讨论解：因为：第12页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2.2极限的运算法则则有法则1 ：若法则2： 若则有第13页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二法则 3： 若且 B0 , 则有推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )第14页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二特别：若则有第15页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例1求 解：原式=第16页，共45页，2

5、022年，5月20日，18点26分，星期二例2求 解：原式第17页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解运用法则1、2及推论可得:例3 因此第18页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二解：因为例 4，在分式里分母不能为0，所以要对分子和分母进行因式分解，得：第19页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二作业3 求解: 时,分子分子分母同除以则分母原式第20页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例 6第21页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二

6、2.3极限存在准则与两个重要极限1.夹逼准则(两边夹定理）一 极限存在准则定理 如果函数g（x）、f（x）及 h（x）满足下列条件:那么函数f（x）的极限存在,第22页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例1解由夹逼准则得第23页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:第24页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二证：(舍去).)n例2(的极限存在式重根证明数列第25页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二二、两个重要极限1、第26页，共45页，2022年，5月20日，18

7、点26分，星期二BD弧BCACsinxxtanx上式同时除以sinx,得：再进一步处理，得：上式子对于也成立由于由夹逼准则得：第27页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例1. 求解: 第28页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例2 （1）解:第29页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2、定义第30页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2、 无穷大量 1、 无穷小量 2.4、无穷小与无穷大,无穷小的比较3、无穷小的比较第31页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二当1、 无穷小量定义1 . 若

8、时 , 函数则称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;为时的无穷小 量.简称无穷小第32页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2、 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 3、常数与无穷小的乘积是无穷小 .4、有限个无穷小的乘积是无穷小 .无穷小运算法则1、有限个无穷小的代数和还是无穷小说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !第33页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二其中 为时的无穷小量 . 定理 2.1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )注：时结论也成立。第34页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义2 . 若时 ,

9、函数的绝对值无限增大，为时的无穷小大量.简称无穷大则称记为：2.4.2无穷大第35页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2、 极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大无穷大的性质1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大第36页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.2. 在自变量的同一变化过程中,说明:第37页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例： 求解(由无穷小与无穷大的关系)

10、 x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,因第38页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二2.4.3、无穷小的比较例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限第39页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二定义2.11：设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小，记作=0（ ） 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小，记为 是 的 k 阶无穷小第40页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二等价无穷小替换定理2.3(等价无穷小替换定理)证第41页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二常用等价无穷小:第42页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例1解第43页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二例2解第44页，共45页，2022年，5月20日，18点26分，星期二内